30.1.1　直线与圆相离、相切、相交 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“直线与圆相离、相切、相交”核心知识点，通过复习点与圆位置关系类比引入，结合太阳升起情境观察公共点变化，构建从点到直线的知识迁移支架。 以动手操作（移动钥匙环模拟位置）和多媒体演示（d与r关系）为特色，培养数学眼光（几何直观）、数学思维（类比推理），通过填表归纳d与r数量关系，例题结合直角三角形应用提升数学语言表达，助力学生掌握判断方法，为教师提供清晰教学流程与反思指导。

30.1.1　直线与圆相离、相切、相交 　　　　　　　　　　　　　　 课题 30.1.1　直线与圆相离、相切、相交 授课人 教 学 目 标 　　1.理解直线与圆的三种位置关系的定义. 2.掌握用数量关系判断直线与圆的位置关系的方法. 3.通过运动的观点探究直线与圆的三种位置关系,培养学生观察、发现和分析问题的能力. 4.通过直线与圆的位置关系的应用,尝试从数学的角度提出问题,理解问题,并能运用知识和技能解决问题,提高学生的应用意识. 教学 重点 　　探索并掌握直线与圆的三种位置关系. 教学 难点 　　能够用数量关系判断直线与圆的位置关系. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 　　问题: 1.点与圆有哪几种位置关系?怎样判断点与圆的位置关系? 2.怎样过直线外一点作已知直线的垂线段? 师生活动:学生进行抢答,教师做好评价与总结. 点与圆的位置关系的判定方法有观察图形、比较点到圆心的距离d和圆的半径r之间的数量关系等. 教师强调d所表示的意义. 　　通过复习点与圆的位置关系,类比发现直线与圆的位置关系. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 图30-1-5 你看过日出吗?你知道在太阳升起的过程中,太阳和地平线会有几种不同的位置关系吗? 师生活动:教师利用多媒体演示太阳升起的过程,指导学生观察太阳与地平线的公共点的情况,并倾听学生交流,引导学生进行探究. 　　由实际问题入手,设计情境问题,激发学生的学习兴趣,导入本课课题. 活动 二: 探究 与 应用 【探究】 直线与圆的位置关系的判定 一、用定义判断直线与圆的位置关系 思考:如图30-1-6,在纸上画一条直线l,把钥匙环看作一个圆,在纸上移动钥匙环.在移动钥匙环的过程中,圆与直线l会有几种位置关系?它们的公共点个数又是如何变化的? 图30-1-6 师生活动:学生进行操作后,小组内合作、交流,表述自己的观点,教师进行鼓励与评价,最后归纳出结论. 教师出示直线与圆的三种位置关系的定义,并引导学生总结直线与圆不同位置的公共点的个数情况. 判断: 1.直线与圆最多有两个公共点. (√) 2.若直线与圆相交,则直线上的点都在圆上. (×) 3.若A是☉O上一点,B是☉O外一点,则直线AB与☉O相切. (×) 4.若C是☉O外一点,则过点C的直线与☉O相交或相离. (×) 5.若直线a和☉O有公共点,则直线a与☉O相交. (×) 二、用数量关系判断直线与圆的位置关系 思考:“直线与圆的位置关系”能否像“点与圆的位置关系”一样进行数量分析? 如图30-1-7,设☉O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.在直线与圆的三种位置关系中,d与r具有怎样的大小关系?反过来,你能根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系吗? 　　1.在活动中教师为学生提供参与的时间和空间,调动学生的主观能动性,激发学生的好奇心和求知欲. 2.教师在活动中引导学生找出直线与圆的公共点的个数,通过学生的思考与回答,加深对相关概念的理解. 活动 二: 探究 与 应用 图30-1-7 教师提出问题,根据发现和认识,指导学生填表: 直线与圆的位置关系 公共点的个数 公共点的名称 直线的名称 圆心到直线的距离d 与圆的半径r的关系 　　师生活动:学生通过对直线与圆的位置关系的概念理解填空,根据学生的回答,教师出示相关答案. 教师利用课件演示直线与圆的位置关系,引导学生观察圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系,学生合作交流,讨论出不同位置关系时的d和r的数量关系. 教师根据学生回答,教师引导学生总结直线与圆的位置关系及判断方法,适时总结并板书. 教师板书:直线与圆的位置关系: 直线与圆相离:没有公共点,d>r; 直线与圆相切:只有一个公共点,d=r; 直线与圆相交:有两个公共点,d<r. 判断直线与圆位置关系的方法: ①利用圆心到直线的距离d和半径r的大小关系; ②利用直线与圆的公共点个数. 即时小练:已知☉O的半径为5 cm,点O到直线l的距离为d,当d= 4 cm时,直线l与☉O　相交　;当d=　5 cm　时,直线l与☉O相切;当d=6 cm时,直线l与☉O　相离　.  　　3.通过多媒体演示,借助观察,使问题形象化,有效地帮助学生理解直线与圆不同位置关系时的d和r的大小关系. 4.指导学生在讨论的过程中体会类比思想和分类讨论思想. 【理解应用】 例1　如图30-1-8,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12.以边AB的中点D为圆心,以r为半径作☉D.若r=2.5,分别判断AC,BC与☉D的位置关系. 图30-1-8 分析:要判断AC,BC与☉D的位置关系,只需求出圆心D到AC,BC的距离,再根据其与半径的大小关系作出判断. 　　学以致用,从做题中加强对知识的理解和运用. 活动 二: 探究 与 应用 　　解:如图30-1-9,过圆心D分别作AC,BC的垂线,垂足分别为E,F,则DE,DF的长分别为圆心D到AC,BC的距离. 图30-1-9 连接CD,由D为AB的中点,得CD=AD=BD,因而E,F分别为AC,BC的中点,∴DE=BC,DF=AC. ∵BC=12,AC=5,r=2.5,∴DE>r,DF=r, ∴AC与☉D相离,BC与☉D相切. 师生活动:学生自主解答,教师进行个别指导,最后让学生说明做题理由,教师做好总结. 【拓展提升】 例2　如图30-1-10,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5.若以点C为圆心,r为半径作圆. (1)当直线AB与☉C相切时,求r的取值范围; (2)当直线AB与☉C相离时,求r的取值范围; (3)当直线AB与☉C相交时,求r的取值范围. 图30-1-10 答案:(1)r=　(2)0<r<　(3)r> 师生活动:教师引导学生思考,要根据圆心为C的圆与直线AB的位置关系求r的取值范围,需要求出圆心C到直线AB的距离d,根据三角形的面积公式可求出d,然后再运用直线与圆的位置关系确定r的取值范围. 　　例题将本节所学内容与以前的知识紧密结合,能使学生很好地进行知识的迁移,在练习中加深对本节知识的理解. 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【当堂训练】 1.已知圆的直径为13 cm,设圆心到直线的距离为d. (1)若d=4.5 cm,则直线与圆　相交　,直线与圆有　2　个公共点;  (2)若d=6.5 cm,则直线与圆　相切　,直线与圆有　1　个公共点;  (3)若d=8 cm,则直线与圆　相离　,直线与圆有　0　个公共点.  2.已知☉O的半径为5 cm,圆心O与直线AB的距离为d cm,根据条件填写d的值或取值范围: (1)若直线AB与☉O相离,则　d>5　;  (2)若直线AB与☉O相切,则　d=5　;  (3)若直线AB与☉O相交,则　0≤d<5　.  3.如图30-1-11,在Rt△ABC中,AC=3 cm,BC=4 cm,∠ACB=90°.若以点C为圆心,r为半径的圆与直线AB不相离,求r的取值范围. 　　当堂训练是为了加深学生对所学知识的理解运用,在问题的选择上以基础为主,疑难点突出,增加开放型、探究型问题,使学生思维得到拓展,能力得以提升. 活动 三: 课堂 总结 反思 图30-1-11 解:如图30-1-12,过点C作CD⊥AB于点D. 图30-1-12 在Rt△ABC中,∵AC=3 cm,BC=4 cm,∠ACB=90°, ∴AB==5(cm). ∵S△ABC=AB·CD=AC·BC, ∴CD==2.4 cm, ∴当以点C为圆心,r为半径的圆与AB不相离时,r的取值范围为r≥2.4 cm. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在指导教学的过程中,类比点与圆的位置关系,探究直线与圆的位置关系,让学生在独立思考、合作探究中发现问题、解决问题,学生能够轻松地得到结论,获取知识. ②[讲授效果反思] 引导学生注意以下两点:(1)d所表示的意义;(2)直线与圆相切时各部分的名称. ③[师生互动反思] 从课堂表现来看,学生能够自主思考,勇于发表自己的看法,善于总结归纳,在探究过程中,展现出积极、认真的学习态度. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $