30.1 切线的性质（第3课时）教学设计 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“切线的性质定理”核心知识点，通过火车车轮与铁轨相切、小球圆周运动等生活情境导入，结合上节课切线判定定理（垂直→切线）的互动提问，构建“判定→性质”的逆向思维学习支架。 此资料亮点在于用反证法推导定理培养逻辑推理，“见切线连半径得垂直”口诀强化几何直观，综合例题结合直角三角形、等腰三角形等提升数学运算。逆向探究与对比学习法助学生区分判定与性质，既提升学生综合解题能力，又为教师提供清晰教学路径和实例支撑。

人教版（2024）九年级上册“学·融”课时教学设计 年级组 九年级 学科组 数学 主备人 审阅人 授课教师 授课时间 课 题 30.1 切线的性质（第3课时） 课 型 新授课 教学 目标 1.掌握切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径，能运用性质定理进行角度计算和线段计算。 2.理解切线的判定与性质的互逆关系，能在综合题中灵活运用判定和性质解决问题。 3.经历切线性质的探究和应用过程，体会逆向思维和转化思想，提高综合运用知识解决几何问题的能力。 ★核心素养：逻辑推理（性质定理的推导与应用）、数学运算（角度和线段计算）、几何直观（切线图形的分析） 重点 切线的性质定理及其应用，特别是"见切线，连半径，得垂直"的辅助线思路。 ★关键：切线的性质是判定定理的逆定理——切线→垂直，判定是垂直→切线 难点 切线性质与其他几何知识（等腰三角形、直角三角形、圆周角等）的综合运用，以及辅助线的合理添加。 ★突破策略：①见切线必连过切点的半径（得直角）；②利用直角三角形的性质（勾股定理、30°角、三角函数）计算；③结合等腰三角形、圆周角定理进行角度转化；④必要时构造直角三角形 教学 方法 逆向探究法、性质应用法、综合训练法、对比学习法 ★学法指导：见切线→连半径→得直角→用直角三角形性质计算，与判定定理对比学习 教学过程设计 教 学 过 程 及 方 法 目标导学 二次备课 一、情境导入 1.生活情境： ①火车车轮在铁轨上滚动，铁轨与车轮相切，车轮的半径与铁轨在接触点处有什么位置关系？ ②用一根绳子拴住一个小球做圆周运动，当绳子突然断开时，小球沿什么方向飞出？（沿切线方向飞出，此时速度方向与半径垂直） 2.互动提问：上节课我们学习了切线的判定定理——"经过半径外端且垂直于半径的直线是切线"。反过来，如果已知一条直线是圆的切线，那么它是否一定垂直于过切点的半径？ 3.揭示课题：今天我们来学习切线的性质定理，并运用它解决角度和线段的计算问题。 任务驱学 任务1：逆向思考——切线的判定定理是"垂直→切线"，那么它的逆命题"切线→垂直"是否成立？尝试用反证法证明：假设切线l不垂直于半径OA，过O作OM⊥l于M，则OM<OA=r，即d<r，直线l与圆相交，与l是切线矛盾。 任务2：性质归纳——根据反证法的结论，归纳切线的性质定理，并用几何语言表述。 任务3：应用尝试——已知PA切⊙O于点A，连接OA，你能得到哪些结论？（OA⊥PA，△OAP是直角三角形） 【设计意图】通过反证法让学生经历性质定理的推导过程，理解判定与性质的互逆关系，培养逆向思维能力。 二次备课 二、合作探究 探究1 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径。 几何语言：∵直线l是⊙O的切线，切点为A，∴OA⊥l。 ★深度剖析： ①性质定理与判定定理是互逆的：判定是"垂直→切线"，性质是"切线→垂直"； ②性质定理的前提是已知切线，结论是得到垂直关系（直角）； ③推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； ④推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 （即：圆心、切点、垂直于切线的直线，三者知二推一） ★易错点提示： ①运用性质时，必须连接过切点的半径，不能直接说"切线垂直于半径"而不指明是哪条半径； ②性质定理得到的是直角，要善于利用直角三角形的性质进行计算。 探究2 切线性质的应用 常见题型： ①角度计算：利用切线性质得直角，结合三角形内角和、等腰三角形、圆周角定理求角； ②线段计算：利用切线性质得直角三角形，用勾股定理、三角函数求线段； ③综合证明：切线性质与判定定理结合使用。 ★数学思想渗透：转化思想——将切线条件转化为直角条件，将几何问题转化为直角三角形的计算问题。 教 学 过 程 及 方 法 激思展学 例1 如图1，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，已知∠P=30°，求∠AOB的度数和弧AB的度数。 解：∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA（切线的性质），∴∠OAP=90°。 在Rt△OAP中，∠P=30°，∴∠AOP=90°-30°=60°， 即∠AOB=60°。 ∵圆心角∠AOB=60°，∴弧AB的度数为60°。 【方法总结】见切线连半径得直角，在直角三角形中利用两锐角互余求角度，圆心角的度数等于所对弧的度数。 图1 例2 如图2，直线l是⊙O的切线，T为切点，TA是⊙O的一条弦，已知∠OTA=35°，求切线l与弦TA的夹角（弦切角）的度数。 解：∵l是⊙O的切线，T为切点，∴OT⊥l，∴∠OTl=90°。 ∵OT=OA（都是半径），∴△OTA是等腰三角形，∠OAT=∠OTA=35°， ∴∠TOA=180°-35°×2=110°。 切线l与弦TA的夹角=90°-∠OTA=90°-35°=55°。 （也可利用弦切角定理：弦切角等于所夹弧所对的圆周角） 【方法总结】切线性质得直角后，结合等腰三角形性质求角度，注意弦切角与圆心角、圆周角的关系。 例3 已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点P，若∠P=20°，求∠A的度数。 解：连接OC。∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP=90°。 在Rt△OCP中，∠P=20°，∴∠COP=70°。 ∵OA=OC，∴∠A=∠OCA。 ∵∠COP是△AOC的外角，∴∠COP=∠A+∠OCA=2∠A， ∴∠A=35°。 【方法总结】见切线连OC得直角，利用三角形外角和等腰三角形性质求角度。 图2 二次备课 展示交流，深化理解 1.学生板演例1和例3，重点展示辅助线的作法和角度推导过程，小组互评。 2.讨论问题： ①切线的判定定理和性质定理有什么区别和联系？（判定：未知切线证切线；性质：已知切线用垂直） ②在例3中，如果不连接OC，能否求出∠A？为什么连接OC是关键？（连接OC才能利用切线性质得到直角） ③切线的性质有哪些推论？"圆心、切点、垂线"三者知二推一如何理解？ 3.教师强调： ①"见切线，连半径，得垂直"是解决切线问题的基本思路，必须形成条件反射； ②切线性质常与直角三角形、等腰三角形、圆周角定理综合考查； ③注意区分判定和性质的使用场景，不要混淆因果关系。 ★拓展思考：在例1中，如果PA=6，⊙O半径为3，你能求出PO的长度和PB的长度吗？（PO=√6²+3²=3√5，PB=PO-OB=3√5-3） 教 学 过 程 及 方 法 评价促学 反馈测学 课堂检测，反馈学情 1.填空：圆的切线____于过切点的____。 2.填空：如图1，PA切⊙O于A，则∠OAP=____°。 3.选择：如图1，PA切⊙O于A，PO交⊙O于B，若∠P=40°，则∠AOB=（　） A.40° B.50° C.60° D.70° 4.解答：已知直线l切⊙O于点T，OT=5，点P在l上，PT=12，求OP的长。 5.拓展：如图2，直线l是⊙O的切线，T为切点，弦TA与切线l的夹角为50°，求圆心角∠TOA的度数。 【参考答案】1.垂直，半径；2.90；3.B（∠AOB=90°-40°=50°）；4.OP=√5²+12²=13；5.∠TOA=180°-2×(90°-50°)=100° 反馈订正：第5题先由弦切角50°得∠OTA=90°-50°=40°，再由等腰三角形得∠TOA=180°-2×40°=100°。 二次备课 课 堂 小 结 1.切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 2.几何语言：∵l是切线，切点为A，∴OA⊥l。 3.辅助线口诀："见切线，连半径，得垂直"。 4.推论：圆心、切点、垂直于切线的直线，知二推一。 5.判定与性质的关系：判定（垂直→切线）与性质（切线→垂直）互逆。 6.常见应用：角度计算（直角三角形两锐角互余）、线段计算（勾股定理）。 ★知识网络：切线→性质定理→垂直→直角三角形→角度、线段计算 课后 作业 1.必做：课本30.1练习第4题；习题30.1第6、7题。 2.选做： ①如图1，PA切⊙O于A，PO交⊙O于B，延长PO交⊙O于C，若∠P=30°，求∠ACB的度数； ②已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过C的切线与AB的延长线交于P，若PC=4，PB=2，求⊙O的半径。 3.预习：阅读课本30.1切线长定理部分，思考：过圆外一点可以作圆的几条切线？这些切线有什么性质？ 板 书 设 计 30.1 切线的性质 一、性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 几何语言：l切⊙O于A ⇒ OA⊥l 二、辅助线：见切线，连半径，得垂直 三、推论：圆心、切点、垂线，知二推一 四、判定与性质：互逆关系 判定：垂直→切线 性质：切线→垂直 五、典型例题 例1 ∠AOB=60°，弧AB=60° 例3 连OC，∠A=35° 课 后 反 思 教学反思 1.通过反证法推导切线性质定理，学生体会了逆向思维的严谨性，但反证法的表述对部分学生有难度，可适当降低要求。 2."见切线连半径得垂直"的辅助线口诀学生记忆牢固，应用较好，这是本节课的亮点。 3.例2的弦切角问题涉及角度较多，部分学生在角度转化时容易出错，需要理清角之间的关系。 4.切线判定与性质的综合运用是难点，学生容易混淆使用条件，需通过对比练习强化。 5.课堂检测第5题正确率约65%，说明弦切角与圆心角的转化还需加强。 6.改进方向：增加判定与性质对比的综合练习题；利用几何画板演示切线性质的动态过程；加强解题后的反思总结，归纳常见基本图形。 学科网（北京）股份有限公司 $