第26章 二次函数综合压轴题 题型分类解答题专题训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数与几何综合，通过分类题型构建"问题情境-方法提炼-模型迁移"的解题体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |面积问题|6题|铅垂高法、参数法求最值|二次函数表达式→动态面积→代数化求解| |角度问题|5题|构造全等/相似、斜率转化|角度关系→几何性质→方程思想| |线段周长问题|6题|轴对称化折为直、参数优化|线段关系→对称变换→函数最值|

二次函数综合压轴题题型分类解答题专题训练 一、面积问题 1．如图，抛物线与x轴交于点A、，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)P是线段上方抛物线上的一动点，连接，求面积的最大值以及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点B的对应点为F，M是平移后抛物线上一点，直线交直线于点N，且．请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 2．如图，抛物线与轴交于点和、与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是抛物线对称轴上的一点，且是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (3)点、分别从点、以每秒个单位长度的速度沿轴同时出发相向而行．当点到达原点时，点立刻掉头并以每秒个单位长度的速度向点方向移动，当点到达抛物线的对称轴时，两点停止运动．过点的直线轴，交或于点．求点的运动时间秒与的面积的函数关系式． 3．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)若为直线上方的抛物线上一动点，过点作于点，当的面积最大时，求线段的值． (3)抛物线上是否存在一点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，点B，与y轴交于点，顶点为D，连接，． (1)求该抛物线的解析式及点D的坐标； (2)求的面积； (3)①当时，求y的取值范围； ②若将该函数图象向下平移到与x轴有唯一公共点，则平移后的函数解析式是___________． 5．如图，抛物线（为常数）经过坐标原点和点，点在轴上． (1)求抛物线顶点的坐标； (2)连接，，若点在轴下方的抛物线上，且，求点的坐标． 6．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． (1)求二次函数的表达式． (2)求的面积． 二、角度问题 7．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数（b、c为常数）的图像与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），交y轴于点C，对称轴为直线，． (1)求二次函数关系式： (2)连接、，抛物线上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由． (3)如图2，在x轴上方的抛物线上找一点Q，作射线，使，点M是线段上的一动点，过点M作轴，垂足为点N，连结，求的最小值． 8．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于点，． (1)求该抛物线的表达式； (2)是直线上方抛物线上一动点，且点位于抛物线对称轴左侧，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，过点作轴的平行线交直线于点，点是轴上的一个动点，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最大值； (3)直线上有一点，直线上有一点，连接，点是线段的中点．将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为抛物线上一点．连接，，，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 9．如图①，抛物线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，交轴于点，已知点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图②，若点是直线上方抛物线上的一个动点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标和最大距离； (3)直线上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点坐标．若不存在，请说明理由． 10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），连接，点P为抛物线上一动点（不与点A、B、C重合），其横坐标为m． (1)直接写出点A和点C的坐标：A______，C______； (2)设抛物线上点P与点C之间的部分（包含点P和点C）为图像G，当图像G的最高点和最低点的纵坐标之差为8时，求m的值： (3)如图2，点P在第四象限抛物线上，且四边形是轴对称图形时，求． (4)连接、，若的内角或中至少有一个角与相等，请直接写出点P的坐标． 11．如图，已知二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，其中点坐标为． (1)求的值； (2)点是抛物线上第四象限的一动点，当时，求线段的长． 三、线段周长问题 12．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，与抛物线交于点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点．过点P作垂直于x轴于点D，交线段于点E，使． ①求点P的坐标； ②在直线上是否存在点M，使为以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若点Q是第一象限内抛物线上的一个动点，过点Q作轴，交直线于点D，请你求出线段的最大值； (3)点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，使得为直角三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 14．如图，已知二次函数图象的对称轴为直线，且过点．直线l：与y轴交于点F． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线l：下方的抛物线上是否存在点P，使得点P到直线l：的距离为？若存在，求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)过点F的直线与二次函数图象交于A，B两点，无论k取何值，都存在点，使得，请直接写出m的值． 15．如图，抛物线：与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，其顶点记为． (1)求抛物线的解析式和点坐标； (2)点是轴上任意一点，连接、、，当周长取到最小值时，求点的坐标； (3)将抛物线向右平移个单位长度得到新的抛物线； ①抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），当点是线段三等分点时，求的值； ②点、是抛物线上两点，当时，请直接写出的取值范围． 16．如图，抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点，． (1)求抛物线表达式； (2)点是第三象限内抛物线上一点，过作轴交直线于．求的最大值； (3)抛物线上是否存在点，使得．若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P是位于第二象限抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为D，线段与直线相交于点E．连接，线段与直线相交于点F．求的最大值及点P的坐标； (3)在（2）的结论下，若线段在y轴上滑动（点M在点N上方），且线段，连接，，求的最小值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2)2； (3)点M的坐标为或， 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）首先求出所在直线表达式为， 过点P作于F，交于E，设点，则，可得，然后利用三角形的面积公式结合二次函数的最值求解即可； （3）首先求出，然后分当点N在x轴上方时和当点N在x轴下方时两种情况求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得 ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵， ∴， 设所在直线表达式为， ∴ ∴ ∴所在直线表达式为， 如图，过点P作于F，交于E， 设点， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的面积的最大值为， ∴点； （3）解：由题意得， ∵，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， ∴平移方式为将抛物线向左平移1个单位，向下平移1个单位， ∴， ∵，点B的对应点为F， ∴，即， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， ∵直线在一三象限的角平分线上，与x轴的夹角为， ∴直线与直线与x轴所成的夹角相等， ∴， ∴， 情况1： 如图，取点，当点N在x轴上方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点N在直线上， ∴设， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴可得直线的表达式为， ∴将和联立得，， 解得，（舍去）， ∴； 情况2： 如图，当点N在x轴下方时， 过点C作交直线于点L，与x轴交点K，过点A作交直线于点N， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 此时直线与抛物线的交点即为所求的M， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， ∴，即， 设直线的解析式为， 将点C，K分别代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入，， ∴直线的解析式为， 将和联立得， 解得，（舍去）， ∴， 综上所述，点M的坐标为或． 2．(1) (2)点T的坐标是； (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设直线上一点，根据，利用勾股定理列式计算即可求解； （3）分两种情况讨论，当时，证明，推出，，根据三角形的面积公式求出即可；当时，证明和都是等腰直角三角形，求得，，，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】（1）解：把和代入得： ， 解得：，， ∴抛物线的解析式是：； （2）解：， ∴抛物线的对称轴为直线， 直线交x轴于点D， 设直线上一点， 令，则， ∴， ∴点， ∵，， ∴， 解得， ∴点T的坐标是； （3）解：当时， ∵，，， ∴， 由题意得，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 当时， 作轴于F， ∵， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 综上，． 3．(1) (2) (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）对于抛物线，令，求得．运用待定系数法求出直线的解析式为．过点P作轴，交于点M，设（），则，，通过解直角三角形得到，则，根据二次函数的性质即可求解； （3）分点Q在x轴上方和下方两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：对于抛物线，令，则， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 过点P作轴，交于点M， 设（），则， ∴． ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴ ∴当时，有最大值，此时． （3）解：存在，点Q的坐标为或．理由如下： 分两种情况讨论： ①若点Q在x轴的上方，如图， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 解方程组得，， ∴点Q的坐标为． ②若点Q在x轴的下方，如图， 由（2）有是等腰直角三角形， ∴， ∴， 延长交y轴于点E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 解方程组得，， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为或． 4．(1)，点D的坐标为 (2) (3)①；②． 【分析】（1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再利用配方法求出顶点坐标； （2）先求出点的坐标，再利用三角形面积公式求解即可； （3）①根据抛物线顶点式可知，抛物线开口向下，在处有最大值为；当时，为最小值，即可得解； ②根据题意可知，平移后的函数图象顶点在x轴上，即向下平移个单位长度，即可得解． 【详解】（1）解：将点，代入二次函数得， ，解得：， 二次函数， ， 顶点D的坐标为； （2）解：令，则， 解得：，， ， ， 的面积； （3）解：①， 抛物线开口向下，在处有最大值为， 当时，；当时，， 当时，y的取值范围为； ②由①可知，抛物线开口向下，顶点坐标为， 该函数图象向下平移到与x轴有唯一公共点， 平移后的函数图象顶点在x轴上，即向下平移个单位长度， 平移后的函数解析式是． 5．(1) (2)或 【分析】（1）将点代入求出的值，再写出顶点的坐标即可； （2）由可得，代入即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为； （2）解： ∵，， 又∵， ∴， 解得， 将代入，得， 解得或， ∴点的坐标为或． 6．(1) (2) 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，过点M作y轴的平行线交于点H，利用分割法求出三角形的面积即可. 【详解】（1）解：设函数的表达式为， 将点代入得，解得， 故二次函数的表达式为， 即； （2）解：∵， ∴当时，， ． ∵A点坐标为，对称轴为直线， ， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴直线函数表达式为， 把代入得， 过点M作y轴的平行线交于点H，则点， ∴． 7．(1) (2)抛物线上存在点，使，的坐标是或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，轴对称的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由对称轴为和得，，再由得，，，将代入得，，故二次函数关系式为； （2）设，根据点的坐标可得，，分两种情况讨论，①当P在直线的下方时，以为斜边在的下方作等腰直角三角形，设C关于的对称点为E，则，验证可得点P与点E重合，得出，②当P在的上方时，作点P关于的对称点，即，即可求解； （3）在上取一点，使得，得出，过点B作轴，垂足为点B，交于点G，则，作B关于的对称点，连接交于点T，根据轴对称性质得当M在上时取得最小值，最小值为的长，等面积法求得，则，进而得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，， ，即， 二次函数解析式为， 抛物线的对称轴为直线，， ， 将代入得， 解得：， 二次函数关系式为； （2）解：在中， 当时，，则， ， 由可知， 又， ， 设，则， ①当P在直线的下方时， 如图，以为斜边在的下方作等腰直角三角形， ，， 设C关于的对称点为E，则， ，， ，， 又， 点P与点E重合，． ②当P在的上方时，作点P关于的对称点， ，都是等腰直角三角形，， 在y轴上，， ， 设直线解析式为，，，则 ，解得，， 直线解析式为， 联立， 解得：或， ， 综上所述，抛物线上存在点，使，的坐标是或； （3）解：如图，在上取一点，使得， ， 设，则， 在中，，，， ，即， 解得：， ， ， 过点B作轴，垂足为点B，交于点G， ， ， ， 即， 如图，作B关于的对称点，过点作轴， 垂足为点N，连接交于点T， ， 当M在上时取得最小值，最小值为的长，在中，，， ， ，， ， 又，， ，， 的最小值为． 8．(1) (2)，的最大值为 (3)解：点的坐标为或． ，，点向右平移个单位，向上平移个单位得到点， ， 抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， 抛物线向右平移个单位，向上平移个单位， ， 对于，令，得， ， ，对称轴为直线， ， ，， ，， ， ， 设直线的解析式为， 将点，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 设，， 点是线段的中点，， ，解得， ，，则点与点重合， ，， ， ， 当点在轴下方时，则点、、共线， 设直线的解析式为， 将点，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 联立，解得（不合题意，舍去），， ； 当点在轴上方时，设，如图，设抛物线与轴的一个交点为， ，， ， ， ，即， 整理得， 解得（不合题意，舍去）或， ； 综上，点的坐标为或． 【分析】（1）先求出直线的解析式，再求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求得抛物线的表达式； （2）设出点的坐标，然后表示出点和点的坐标，进而表示出，根据二次函数的性质即可求得点的坐标；再根据三角形两边之差小于第三边可确定的最大值； （3）根据平移方式可确定抛物线的解析式，利用待定系数法可求得直线和的解析式，结合点是线段的中点可求得点和点的坐标，通过解直角三角形证明，得到，将转化为，然后分两种情况讨论：当点在轴下方时，根据点、、共线求解即可；当点在轴上方时，通过锐角三角函数求解即可． 【详解】（1）解：将点代入直线得，，解得， ， 令得，，解得， ， 将，代入抛物线得， ，解得， ； （2）解：对于， 对称轴为直线； 设，则，， 是直线上方抛物线上一动点，且点位于抛物线对称轴左侧， ， ，， ， ， 抛物线开口向下， ， 当时，取得最大值，此时， ，， 如图，作关于轴的对称点， 由三角形两边 之差小于第三边，的最大值为的长度： ， 即的最大值为； （3）略 9．(1) (2)点到直线的距离最大为， (3)解：存在，点的坐标为，理由如下， 在中，令，则， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入可得， ，解得：， ∴直线的解析式为， 如图：当点在的下方时， ∵， ∴， ∴设直线的解析式为， 将代入可得，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， 此时点的坐标为； 如图：当点在的上方时，作轴于， ∵，， ∴，， ∴， 设，则，， ∵点在的上方且在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：（不符合题意，舍去）， 综上所述，点的坐标为． 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）先证明为等腰直角三角形，得出，作轴交于点，设，则，表示出，作于，则为等腰直角三角形，得出，当最大时，的值最大，即点到直线的距离最大，结合二次函数的性质计算即可得出结果； （3）求出，直线的解析式为，分两种情况：当点在的下方时，当点在的上方时，作轴于，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将，代入抛物线可得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：联立， 解得或， ∴抛物线与直线的另一个交点坐标为， 在直线中，令，则， ∴，即， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 如图，作轴交于点， 设，则， ∴， 作于， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴当最大时，的值最大，即点到直线的距离最大， ∵，且， ∴当时，的值最大，为， ∴点到直线的距离最大为，此时，即； ∴点到直线的距离最大为，； （3）略． 10．(1)， (2)或 (3) (4)或 【分析】（1）先令，解一元二次方程，求出点的横坐标，然后令，求出点的纵坐标，再根据点在点左侧直接写出坐标； （2）先把抛物线配方，得到对称轴和顶点坐标，然后按分情况讨论；再分别确定图像的最高点、最低点，由纵坐标之差为8列方程，最后解方程并舍去不合题意的解，求出； （3）先求抛物线对称轴，然后由四边形是轴对称图形，且关于对称，得关于对称，求出点；由对称性关于对称，设交于点，则点在对称轴上，先求得，由轴对称的性质得出，求得，用勾股定理求，，在中求； （4）先在中求出，然后分两种情况：；每种情况：先作垂线构造等腰直角三角形，求出辅助点坐标；再求直线或的解析式，最后联立抛物线解析式，求出交点并舍去重合点，得到点的坐标． 【详解】（1）解：当时，， 解得， 点在点左侧， ， 当时，， ， ； （2）解：抛物线， 抛物线开口向上，顶点坐标为， ①当时，图像的最高点为，最低点为， 由题意：， 即：， 解得：(舍去)， ②当时，随的增大而减小， 图像的最高点为，最低点为点， 顶点是抛物线的最低点， ，即， 纵坐标差为，不符合题意，舍去； ③当时，图像的最高点为，最低点为顶点， 纵坐标差为，不符合题意， ④当时，图像的最高点为，最低点为顶点， 由题意：， 即：， 解得：（舍去）， 综上，或． （3）解：由抛物线， 得抛物线的对称轴为直线， 四边形是轴对称图形，且点关于直线对称， 四边形的对称轴为直线， 点关于直线对称， 对角线与关于对称， 设，交于点，则点在对称轴上， ， ， 在中，， 由对称性可知：， ，， 在中，， 由勾股定理，得， 在中，，， 在中，， ． （4）解：由题意，抛物线为， 在中，， ， 情况1：， 如图，过点作，交y轴于点M，交的延长线于点，则， 在中，， ， 在中，， ， ， 设的解析式为，把点代入，得 解析式为， 在中，， ， 由，得， ， 设由，得， 解得或（舍去）， ， 设直线的解析式为，将点代入，得， 解得，， 直线的解析式为， 联立与 ， 解得(舍去)或， ； 情况2：， 如图，过点C作，交x轴于点，交的延长线于点F，则， 在中，， ， ， 设直线的解析式为：， 把点代入，得， 解得，， 的解析式为：， 在中，， ， ， ， 设，由，得， 解得或（舍去） ， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入，得， 解得， 直线的解析式为， 联立与， ， 整理得， 解得(舍去)或 ， 综上，满足条件的点的坐标为：或． 11．(1) (2) 【分析】（1）将代入中，进一步可得答案． （2）如图，记点关于轴对称点为，作直线交二次函数于点，此时，求解点坐标为，直线解析式为，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：将代入中， 得 ． 解得； （2）解：将代入中，得 ∴， 解得，， ∴点坐标为， 将代入中，得 解得， ∴点坐标为． 如图，记点关于轴对称点为，作直线交二次函数于点， 此时， ∵关于轴对称点为． ∴点坐标为． 设直线解析式为， 将、代入， 得， 解得， ∴直线解析式为． 联立方程， 解得，， ∴点坐标为． ∴． ∴的长为． 12．(1) (2)①点P的坐标为；②存在，点M的坐标为或 【分析】（1）根据题意，分别求出点C的坐标，利用求出点A的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）①设点P的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式，用含a的式子表示出点E的坐标，用含a的式子表示出和的长度，由，得到关于a的方程，求得a的值，即可得到点P的坐标； ②设点M的坐标为，分别求得、、的长度，根据是以为直角边的直角三角形，所以可分为两种情况：一是为斜边，二是为斜边，利用勾股定理列出关于m的方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵直线与抛物线交于点， ∴点坐标为， 把点、坐标代入解析式 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：①∵是直线上方的抛物线上一点 ∴设点的坐标为 设直线解析式： 将点、坐标代入解析式，得 解得： ∴ ∵轴于，交于点，如图， ∴点坐标为 ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去）， 当时， ∴点坐标是 ②∵点M在直线上， ∴设点M的坐标为 ∵点，点， ∴， ∵为以为直角边的直角三角形， Ⅰ：当为斜边时，可得：， ∴， ∴， ∴点M的坐标为， Ⅱ：当为斜边时，可得：， ∴， ∴ ∴点M的坐标为 综上所述，符合题意的点M的坐标为或． 13．(1) (2)QD的最大值为 (3)或或或 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的表达式为，设点，则点，得到．根据二次函数的性质进行解答即可； （3）分、、三种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∵， ， 把此点坐标代入得：， 即抛物线的解析式为：． （2）解：∵点，对称轴为直线， ∴点， 把代入中，得， ∴点， 设直线的表达式为， 则， 解得：，， ∴直线：， 设点，则点， ∴． ∴当时，取最大值． （3）解：为直角三角形分三种情况： ①当时， 如图，过P作x轴的平行线，交y轴于N，过B作于M，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 设P点为，即， 解得：或， 即或， ②如图，当时，过P作轴于H，同理可得：， 即， 解得：， 即． ③当时，如图所示，同理知，， 即，解得：， 即． 综上所述，满足条件的点P的坐标为：或或或． 14．(1) (2)存在点P，点P的坐标为或 (3) 【分析】（1）先根据图象的对称轴为直线，得出，再利用待定系数法即可解答； （2）先过点作，与轴交于点，过点作于点，直线l与轴的交点记为点,进一步得出，，进而得出为等腰直角三角形，进一步得出，根据平行线间的距离相等得出，利用勾股定理得出，进一步得到直线的解析式为，进而得出方程，即，解方程即可解答； （3）先过点作轴于点，过点作轴于点，设，，根据，得到，再根据当时，得出方程，利用根与系数的关系得出，，最后根据题意得出，即可解答． 【详解】（1）解：二次函数图象的对称轴为直线， ， 解得，， ， 二次函数图象过点， ， 解得，， ． （2）解：存在点P， 如图，过点作，与轴交于点，过点作于点，直线l与轴的交点记为点, ． 直线l：， 当时，； 当时，即，解得， ，， ． ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 点P到直线l：的距离为，即（平行线间的距离相等）， ， ． 又，即直线l向下平移个单位长度可得到直线， 直线的解析式为， 当时，整理得， 解得，， 当时，； 当时，， 点P的坐标为或． （3）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ，． 根据题意，设，， ，，，． ， ， ， ， ，或者， 当时， 整理得， ∵， ∴， 此时点与点重合，不符合题意； 当时， 整理得，， 直线与二次函数图象交于A，B两点， 当时，即， ，， ，整理得，． 无论k取何值，都存在点，使得， 令，解得． 综上，． 15．(1)， (2) (3)①或；② 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）点关于轴的对称点为，当、、共线时，取等号，有最小值，利用待定系数法求得直线的解析式，即可求解； （3）①先得到新的抛物线的解析式，求得，，根据点是线段的三等分点，再分类求解即可．②将分别代入，根据建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线：过点，且对称轴为直线， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为； （2）解：令，则， ∴点的坐标为， 为定值， ∴当最小时，周长取得最小值， ∵点关于轴的对称点为， ， 当、、共线时，取等号，有最小值， 设直线的解析式为， 把点的坐标为代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点的坐标为； （3）解：①根据题意，新的抛物线的解析式为：， 解方程， 得， ∵点在点的左边， ，， 对于抛物线，令，则， 解得：或1， ∴点的坐标为， ∵点是线段的三等分点，则点在线段上， ，， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，的值为或； ②当时，， 当时，， 当时，， 解得：． 16．(1) (2)当时，的最大值是4 (3)存在，点坐标为或 【分析】（1）求出点坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，设，则，作于点，得到，将转化为二次函数求最值即可； （3）分2种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：与轴交于点， ， ． ， ， ， 将代入中，得， 抛物线的表达式为； （2）解：由（1）知：，， 设直线：，将，代入， 得，解得． ． 设，则． ∴， 过点作于点，则，， ，， ，又， ， ， ． ∵，， 当时，有最大值，最大值是4． （3）解：存在， ∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵， ∴点关于对称轴的对称点为． ①如图1， 由，可知点关于的对称点为点， ． ②如图2， 设，作轴，则，． ，， ， 解得（舍），． ， 综上所述，点坐标为或． 17．(1) (2)1； (3) 【分析】（1）利用待定系数法，将点，的坐标代入解析式中求解即可； （2）设出点的坐标，易得，，当取最大值时，取得最大值，利用二次函数的性质即可求出点P的坐标； （3）设滑动后，的对应点分别为，，过点作的平行线，截取，连接，易证四边形是平行四边形，推出，求出，根据为定值，当，，三点共线时，有最小值，得到有最小值，利用两点间距离公式求解即可； 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ， 解得． 该抛物线的解析式为． （2）解：抛物线与轴交于点，且当时，， ， ， 设直线的解析式为， 直线经过点，， ， 解得， 直线的解析式为， 设点，则，， ， 轴， ， ， 当取最大值时，取得最大值， ， 当时，取得最大值， 则， 的最大值为1，点的坐标为． （3）解：过点作的平行线，截取，连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵为定值， 当，，三点共线时，有最小值，即有最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $