江苏省震泽中学2026-2027学年高二上学期数学第一次月考模拟卷1

**基本信息** 以数列知识为核心，融合《算法统宗》文化情境与积木堆放实际应用，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题/40分|等差等比数列性质、递推关系|第5题引用古代数学名著，渗透文化传承| |多选题|3题/18分|数列单调性、前n项和性质|第11题通过递推关系分析增减性，考查逻辑推理| |填空题|3题/15分|等差等比综合、错位相减求和|第14题积木堆放面积计算，体现数学建模| |解答题|5题/77分|通项公式推导、分组与错位相减求和|第18题结合等比中项证明等差数列，凸显综合应用|

震泽中学高二数学月考模拟卷1 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 1．已知数列满足，对一切，，则数列是（ ） A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．不确定 2．已知等差数列满足，则中一定为零的项是（ ） A． B． C． D． 3．已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　) A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9 4．已知不等式x2－5x－6<0的解集中有三个整数解，构成等比数列{an}的前三项，则数列{an}的第四项是(　　) A．8 B. C．8或2 D．8或 5.《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．那么该人第1天所走路程里数为(　　) A．96 B．126 C．192 D．252 6.若数列满足：，则数列的通项公式为（ ） A． B． C． D． 7.将一些数排成如图所示的倒三角形，其中第一行各数依次为1，2，3，…，2 025，从第二行起，每一个数都等于它“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数M，则M等于(　　) A.2 025×22 022 B.2 026×22 023 C.2 025×22 023 D.2 026×22 024 8．已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（   ） A．2022 B．4036 C．2023 D．4038 二、多项选择题(本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分，在每个给出的四个选项中，有多项符 合题目要求， 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分) 9.已知数列的通项为，，则（ ） A．数列的最小项为 B．数列的最大项为 C．数列的最小值为－0.8 D．数列的最大值为2.4 10．已知数列的前n项和为，则下列结论正确的是（    ） A．若是等差数列，且，则 B．若是等比数列，且，则 C．若，则是等差数列 D．若是公比大于1的等比数列，则 11.在数列中，对于任意的都有，且，则下列结论正确的是（ ） A. 对于任意的，都有 B. 对于任意的，数列不可能为常数列 C. 若，则数列为递增数列 D. 若，则当时， 三、填空题(本大题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分) 12．数列共有5项，前三项成等差数列，且公差为，后三项成等比数列，且公比为.若第1项为1，第2项与第4项的和为18，第3项与第5项的和为35，则 . 13.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an－1(n∈N*)，则数列{nan}的前n项和Tn为________． 14.将n个大小不同的正方体形状的积木从上到下，从小到大堆成塔状，平放在桌面上．上面一个正方体积木下底面的四个顶点正好是它下面一个正方体积木的上底面各边的中点，按此规律不断堆放．如果最下面的正方体积木的棱长为1，且这些正方体积木露在外面的面积之和为Sn，则Sn＝________. 四、解答题(共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15（13分）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 16（15分）已知数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，，求数列的前项和. 17.（15分）已知正项数列，其前项和为． （1）求数列的通项公式： （2）设，求数列的前项和． 18．（17分）设数列的前项的和为且数列满足且对任意正整数都有成等比数列.   （1）求数列的通项公式.    （2）证明数列为等差数列. （3）令问是否存在正整数使得成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 19.（17分）已知数列的各项均为非零实数，其前项和为，且. (1)若，求的值； (2)若，，求证：数列是等差数列，并求其前项和. 1．已知数列满足，对一切，，则数列是（ ） A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．不确定 【答案】B 【解析】因为，所以数列为等比数列，， 又，则，所以得，，故数列是递减数列.故选：B. 2．已知等差数列满足，则中一定为零的项是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设数列的公差为，则，，∴．故选：C． 3．已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　) A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9 答案　B 解析　∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号， ∴b＝－3，且a，c必同号，∴ac＝b2＝9. 4．已知不等式x2－5x－6<0的解集中有三个整数解，构成等比数列{an}的前三项，则数列{an}的第四项是(　　) A．8 B. C．8或2 D．8或 答案　D 解析　不等式x2－5x－6<0的解集为{x|－1<x<6}，其中成等比数列的三个整数为1,2,4， 若数列前3项为1,2,4，则第4项为8，若数列前3项为4,2,1，则第4项为. 5.《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．那么该人第1天所走路程里数为(　　) A．96 B．126 C．192 D．252 答案　C 解析　由题意得，该人每天走的路程形成以a1为首项，以为公比的等比数列， 因为该人6天后到达目的地，则有 S6＝＝378， 解得a1＝192， 所以该人第1天所走路程里数为192. 6.若数列满足：，则数列的通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由①得，当时② 由①②得 当时也满足上式 故选：D 7.将一些数排成如图所示的倒三角形，其中第一行各数依次为1，2，3，…，2 025，从第二行起，每一个数都等于它“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数M，则M等于(　　) A.2 025×22 022 B.2 026×22 023 C.2 025×22 023 D.2 026×22 024 答案　B 解析　记第n行的第一个数为an， 则a1＝1，a2＝3＝2a1＋1，a3＝8＝2a2＋2， a4＝20＝2a3＋4，…，an＝2an－1＋2n－2， ∴＝＋1，即是以＝2为首项，1为公差的等差数列. ∴＝2＋(n－1)×1＝n＋1， ∴an＝(n＋1)×2n－2， 又每行比上一行的数字少1个， ∴最后一行为第2 025行， ∴M＝a2 025＝2 026×22 023. 8．已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（   ） A．2022 B．4036 C．2023 D．4038 【答案】C 【分析】根据题意结合等比数列的性质可得，根据函数解析式可得，利用倒序相加法运算求解. 【详解】因为正项数列是公比不等于1的等比数列， 且，则，即， 结合等比数列性质可得， 又因为函数，则， 令，则， 可得， 所以． 故选：C. 9.已知数列的通项为，，则（ ） A．数列的最小项为 B．数列的最大项为 C．数列的最小值为－0.8 D．数列的最大值为2.4 【答案】BCD 【解析】 ，当时，，则单调递增； 当时， ，则单调递减，又，，，所以数列的最大项为，无最小项，故A错误，B正确； ， 当时， 单调递减，； 当时，各项为正且单调递减， 所以数列的最小值为，数列的最大值为，故CD正确， 故选：BCD 10．已知数列的前n项和为，则下列结论正确的是（    ） A．若是等差数列，且，则 B．若是等比数列，且，则 C．若，则是等差数列 D．若是公比大于1的等比数列，则 【答案】AB 【详解】对于A，若是等差数列，则， 且，故 ，故A正确； 对于B，若是等比数列，则当时，， 且，则； 当时，，舍去，故B正确； 对于C，若，则，， ，故，所以不是等差数列，故C错误； 对于D，若，则, 此时，不满足，故D错误. 故选：AB 11.在数列中，对于任意的都有，且，则下列结论正确的是（ ） A. 对于任意的，都有 B. 对于任意的，数列不可能为常数列 C. 若，则数列为递增数列 D. 若，则当时， 【答案】ACD 【解析】A：由，对有，则，即任意都有，正确； B：由，若为常数列且，则满足，错误； C：由且， 当时，此时且，数列递增； 当时，此时，数列递减； 所以时数列为递增数列，正确； D：由C分析知：时且数列递减，即时，正确. 故选：ACD 12．数列共有5项，前三项成等差数列，且公差为，后三项成等比数列，且公比为.若第1项为1，第2项与第4项的和为18，第3项与第5项的和为35，则 . 【详解】由题意可知：数列的有5项为， 因为，则， 可得， 整理可得，解得或（舍去）， 若，可得，即，所以. 故答案为：5. 13.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an－1(n∈N*)，则数列{nan}的前n项和Tn为________． 答案　(n－1)2n＋1 解析　∵Sn＝2an－1(n∈N*)， ∴n＝1时，a1＝2a1－1，解得a1＝1，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－1－(2an－1－1)，化为an＝2an－1， ∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列， ∴an＝2n－1. ∴nan＝n·2n－1. 则数列{nan}的前n项和Tn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n·2n－1. ∴2Tn＝2＋2×22＋…＋(n－1)×2n－1＋n·2n， ∴－Tn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝(1－n)·2n－1， ∴Tn＝(n－1)2n＋1. 14.将n个大小不同的正方体形状的积木从上到下，从小到大堆成塔状，平放在桌面上．上面一个正方体积木下底面的四个顶点正好是它下面一个正方体积木的上底面各边的中点，按此规律不断堆放．如果最下面的正方体积木的棱长为1，且这些正方体积木露在外面的面积之和为Sn，则Sn＝________. 答案　9－ 解析　最底层正方体的棱长为1，则该正方体的除底面外的表面积为5×12＝5； 第二个正方体的棱长为1×＝， 它的侧面积为4×2， 第3个小正方形的边长为×＝2， 它的侧面积为4×2×2； 第n个小正方形的边长为n－1， 它的侧面积为4×2(n－1)＝4×n－1， 则它们的表面积为 5＋4× ＝5＋4×＝9－＝9－. 15（13分）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2)，. 【详解】（1）由，则当时 两式相减得，所以. 将代入得，， 所以对于，故是首项为2，公比为2的等比数列， 所以. （2）. ， 因为当时，当时， 所以当时，， 当时，. 故. 16（15分）已知数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由题意，数列的前项和为， 可得，， 因为，所以，解得， 所以，， 因为当时，， 所以. 当时，符合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，可得， 所以， ， ， ……， ， 所以， 又由，可得， 当时，，满足上式， 所以. 所以， 所以 17.（15分）已知正项数列，其前项和为． （1）求数列的通项公式： （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）． 【解析】1）由已知，① 所以有，② ②-①，得，即，∴， 所以数列是公比为的等比数列． 又，∴．所以 （2）由（1）得， 当n为奇数时， 当n为偶数时， 综上所述， 18．（17分）设数列的前项的和为且数列满足且对任意正整数都有成等比数列.   （1）求数列的通项公式.    （2）证明数列为等差数列. （3）令问是否存在正整数使得成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1）（2）见证明；（3）见证明 【分析】（1）利用项和公式求数列的通项公式.(2)由题得，，即，再求出，再利用等差数列的定义证明数列为等差数列.(3) 先求出，所以，根据成等比数列得，即，再求出m，k的值. 【详解】（1）因为数列的前项的和， 所以当时，； 当且时，， 当时，上式也成立， 所以数列的通项公式为. （2）证明：因为对任意正整数都有成等比数列， 所以，即， 所以， 两式相除得，对任意正整数都有， 即， 当为奇数时，，所以， 当为偶数时，，而，所以， 所以. 所以， 所以数列为等差数列. (3)因为， 所以， 因此存在正整数，使得成等比数列 ， 因为都是正整数，则， 即时，对应的. 所以存在或或使得成等比数列. 19.（17分）已知数列的各项均为非零实数，其前项和为，且. (1)若，求的值； (2)若，，求证：数列是等差数列，并求其前项和. 【解题思路】（1）令得到，结合得到，利用求出； （2）得到，累乘法得到，当时，，相减后得到，得到数列为等差数列，首项为，公差为，数列为等差数列，首项为，公差为，利用，求出，写出和的通项公式，合并得到，利用定义法证明出数列是等差数列，并求出其前项和. 【解答过程】（1）中令得：， 因为数列的各项均为非零实数，所以， 因为，所以，即，解得：； （2），即， 所以，，，……，，以上式子相乘得： ， 因为数列的各项均为非零实数，且，所以， 即，当时，， 所以， 因为，所以， 所以，， 故数列为等差数列，首项为，公差为， 数列为等差数列，首项为，公差为， ，所以， 所以， ， 故，所以，所以数列是等差数列， 其前项和. 学科网（北京）股份有限公司 $