2.3 二次根式 课后作业 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册“二次根式”同步练，以“基础巩固-能力提升-综合应用”三阶分层设计，覆盖概念识别、运算化简及实际应用，通过梯度题型培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|二次根式定义、有意义条件、最简二次根式|单选1-7直接考查核心概念，如识别二次根式（题1）、化简（题5）| |中档|同类二次根式、新定义运算、规律探究|填空13结合新运算“※”考查根式乘除，题15通过数阵排列培养推理意识| |提升|实际应用、近似值估算、综合计算|解答20以跨海大桥坠物为情境建立模型，题19通过面积示意图渗透几何直观|

2.3 二次根式 课后作业2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列各式一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．当时，二次根式的值是（     ） A． B． C． D． 3．二次根式有意义，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 5．下列式子是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 6．化简的结果为（   ） A． B． C．7 D． 7．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 8．我们把形如（，为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（   ） A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数 9．已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 10．如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为2和6，那么阴影部分的面积为（   ） A．4 B． C． D． 二、填空题 11．已知是一个正整数，是整数，那么的最小值为__________． 12．计算的结果是______． 13．对于任意不相等的两个非负实数a，b，新定义一种运算“※”如下：（），则_______________． 14．已知，则_________． 15．将1，，，按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之差是_________. 三、解答题 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 17．已知二次根式． （1）如果该二次根式，求的值； （2）已知为最简二次根式，且与能够合并，求的值，并求出这两个二次根式的积． 18．观察下列等式： ① ② ③ …… (1)写出第④个等式： (2)利用规律计算： ． 19．小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为83的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为 ； (2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 20．在跨海大桥的建设工程中，工程师需要进行高空坠物的实验．如果空气阻力忽略不计，物体的下落高度h（单位：）与它的入水速度v（单位：）满足：．实验中，测试物体从距离海平面的桥面下落． (1)求该物体的入水速度；（结果保留根号） (2)若物体的入水速度超过会触发红色警报，请判断本次实验是否会触发红色警报，并说明理由．（参考数据：） 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D B A C D B D B 1．【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、二次根式的识别、二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式的定义判断，二次根式需同时满足两个条件：根指数为2，被开方数是非负数，据此逐一判断选项即可 【详解】解：二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式，需同时满足根指数为2，被开方数为非负数两个条件 选项A中，当时，无意义，不一定是二次根式，不符合要求； 选项B中，被开方数，无意义，不是二次根式，不符合要求； 选项C中，根指数为2，被开方数，满足二次根式的所有条件，一定是二次根式，符合要求； 选项D中，根指数为3，是三次根式，不是二次根式，不符合要求 2．【答案】C 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、求二次根式的值 【分析】本题考查二次根式的代入求值，将给定x的值代入二次根式后化简即可得到结果； 【详解】解：∵ ， ∴ 把代入， 得 ． 3．【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可． 【详解】解：∵ 二次根式有意义的条件是被开方数为非负数， ∴ 有意义需满足 ， 解不等式得． 4．【答案】B 【知识点】二次根式的乘法 【分析】根据二次根式的乘法法则求解． 【详解】解：． 5．【答案】A 【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断选项，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：∵最简二次根式的定义为:被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式的二次根式， 对选项A，满足定义，是最简二次根式； 对选项B，，被开方数9含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 对选项C，，被开方数12含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 对选项D，，被开方数含分母，不是最简二次根式； 故选A． 6．【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的平方运算，掌握积的乘方规则以及二次根式的平方等于其被开方数是解题的关键． 平方运算会使负号消失，因为负数的平方是正数，且平方根平方后得到原数． 【详解】解：∵， ∴结果为7． 故选：C． 7．【答案】D 【知识点】同类二次根式、化为最简二次根式 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再看被开方数是否与的被开方数相同即可得到答案. 【详解】解：∵ 选项A，，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； 选项B，，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； 选项C，，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； 选项D，，被开方数为，与的被开方数相同，是同类二次根式. 8．【答案】B 【知识点】无理数、二次根式的混合运算 【分析】本题考查完全平方公式和二次根式的化简，关键是将结果化为指定形式． 先利用完全平方公式展开，再化简二次根式，得到结果的形式后判断类型． 【详解】解： ， 故为型无理数， 故选：B． 9．【答案】D 【知识点】分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，分母有理化， 先分别表示出，再比较分母即可. 【详解】解：，，， ， ， 即. 故选：D. 10．【答案】B 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据正方形的面积公式求出两个正方形的边长是解题的关键． 由正方形的面积求出各自的边长，进而表示出阴影部分的长与宽，即可求出面积． 【详解】解：长方形内两个相邻正方形的面积分别为和， 两个正方形的边长分别为和． 阴影部分的长与宽分别为、， 阴影部分的面积为 故选：B． 11．【答案】3 【知识点】利用二次根式的性质化简、求二次根式中的参数 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，首先得到，然后根据是整数求解即可． 【详解】解：∵，是整数， 的最小值为3， 故答案为：3． 12．【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算、化为最简二次根式 【分析】本题考查二次根式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用二次根式的乘除法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的混合运算，理解新定义是解题的关键． 根据新定义运算的规则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14．【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知条件式，化简求值 【分析】利用完全平方公式对所求代数式变形，得到，结合已知条件求出平方后的结果，最后开方取正根即可得到答案． 【详解】解： 将代入得： ， ∵， ∴． 15．【答案】 【知识点】与实数运算相关的规律题、数字类规律探索 【分析】此题主要考查了数字的变化规律，实数的减法运算，找准数字变化规律是关键． 根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第排有个数，从第一排到排共有：个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第排第个数到底是哪个数后再计算． 【详解】解：根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第排有个数，从第一排到排共有：个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回， 表示第5排从左向右第4个数是， ∵前11排共有 (个)数， 表示第12排第4个数即第70个数， ， 表示的数是， 与表示的两数之差是， 故答案为：． 16．【答案】(1) (2)1 (3) (4) 【知识点】二次根式的加减运算、实数的混合运算、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，二次根式的乘法运算，正确计算是解题的关键． （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）利用平方差公式计算即可； （3）利用完全平方公式计算即可； （4）根据实数的混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．【答案】（1）a=7；（2）a=8，两个二次根式的积为5． 【知识点】同类二次根式、二次根式的乘法、最简二次根式的判断 【分析】（1）两边同时平方得关于a的方程，求解即可； （2）根据同类二次根式的意义可求出a的值，从而确定二次根式，进一步得出答案． 【详解】解：（1）∵ ∴a+2=32 解得a=7 （2）化简，得 ∵为最简二次根式，且与能够合并 ∴ 解得a=8 ∴两个二次根式的积为. 【点睛】本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键． 18．【答案】(1) (2)10 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查数字规律，求算术平方根，解题的关键是根据规律发现被开方数是几个连续的奇数和，结果为奇数的个数； （1）根据题目规律求解即可； （2）根据题目规律求解即可． 【详解】（1）解：① ② ③ ④， 故答案为：； （2）解：∵到有个奇数， ∴． 19．【答案】(1)11 (2) 【知识点】无理数的大小估算、实数运算的实际应用、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了无理数的估算和实数混合运算的应用，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键； （1）利用夹逼法求解即可； （2）仿照题干中的解题思路解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分的值为11； 故答案为：11； （2）解：∵面积为127的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得， 解得， 即． 20．【答案】(1) (2)本次实验不会触发红色警报． 理由如下： ∵，， ∴本次实验不会触发红色警报． 【知识点】二次根式的应用、利用平方根解方程 【分析】（1）先把代入公式即可得出v的值． （2）先计算出，然后再和30比较即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得：，负值舍去． 答：该物体的入水速度为． （2）解：略； 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $