2.3 二次根式 课后同步练习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 本练习以“基础巩固-能力提升-拓展应用”分层设计，覆盖二次根式核心概念与运算，通过问题情境与规律探究培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|二次根式识别、有意义条件、最简判断、基本化简|单选题1-5聚焦概念辨析，填空题11-13强化基础计算，培养抽象能力与运算能力| |能力提升|同类二次根式、混合运算、大小比较|单选题6-10结合高空抛物等情境，解答题16综合运算，提升推理意识与模型意识| |拓展应用|规律探究、实际问题解决、近似估算|解答题18-20涉及数字规律、矩形截正方形等探究，发展创新意识与应用意识|

2.3 二次根式 课后同步练习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 2．二次根式有意义，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．下列二次根式中，最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 4．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B． C． D．2 5．化简的结果是（    ） A．5 B．25 C． D．10 6．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（　　） A． B． C． D．12s 7．化简的结果是（   ） A．10 B．20 C．40 D． 8．二次根式①②③④中，与不是同类二次根式的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 9．已知，则与最接近的整数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．若，则关于的大小，以下说法正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为__________. 12．已知，则的值为_______． 13．已知x＝3﹣2y，则＝___． 14．对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，，现在对进行如下操作：，即对只需进行次操作后变为．类比上述操作：对只需进行________次操作后变为． 15．将1，，，按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之差是_________. 三、解答题 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 17．嘉嘉和淇淇玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放有四个大小相同且标有不同数字的小球.游戏规则：将从容器中摸取到的小球上所表示的数相加． (1)若嘉嘉摸到如图1所示的两个小球，请计算出结果． (2)如图2，若嘉嘉摸出全部的四个小球，计算结果为，淇淇说的值能与合并．你认为淇淇的说法正确吗？请说明理由． 18．观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 19．小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为83的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为 ； (2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 20．现有两块长和宽分别相等的矩形木板，甲木工采用如题图1所示的方式，在矩形木板上截出两个面积分别为和的正方形木板A，B． (1)求矩形木板的面积； (2)乙木工想采用如题图2所示的方式，在矩形木板上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A C A C B B A B 1．【答案】C 【知识点】二次根式的识别 【分析】根据二次根式的定义，只需判断各选项的被开方数是否恒为非负数，即可得出正确结果． 【详解】解：∵选项A中被开方数，∴不是二次根式； ∵选项B中a的符号不确定，当时被开方数为负数，∴ 不一定是二次根式； ∵，∴，被开方数恒为非负数，符合二次根式定义，∴选项C是二次根式； ∵选项D中，当时，，被开方数为负数，∴不一定是二次根式． 2．【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可． 【详解】解：∵ 二次根式有意义的条件是被开方数为非负数， ∴ 有意义需满足 ， 解不等式得． 3．【答案】A 【知识点】最简二次根式的判断 【详解】解：∵ ，，，均能化简，∴ B、C、D都不是最简二次根式， ∵ 不能再化简，∴ A是最简二次根式． 4．【答案】C 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题考查二次根式，将已知数值代入原式并进行正确的运算是解题的关键．将代入二次根式中计算即可． 【详解】解：当时， 原式， 故选：C 5．【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查二次根式的性质．根据二次根式的性质计算即可． 【详解】解：． 故选：A 6．【答案】C 【知识点】二次根式的应用 【分析】直接将代入公式，化简二次根式即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 7．【答案】B 【知识点】二次根式的乘法 【分析】运用二次根式乘法法则化简计算即可得到结果． 【详解】解： 因此化简结果为． 8．【答案】B 【知识点】同类二次根式 【分析】先将所有二次根式化为最简二次根式，再比较最简二次根式的被开方数，被开方数与不同的即为所求． 【详解】解： ①，被开方数为，与是同类二次根式； ②，被开方数为，与不是同类二次根式； ③，被开方数为，与是同类二次根式； ④，被开方数为，与是同类二次根式； 与不是同类二次根式的是②． 9．【答案】A 【知识点】运用平方差公式进行运算、无理数的大小估算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方差公式，掌握估算无理数的大小方法，平方差公式是解题的关键．先根据二次根式的混合运算计算，得出，然后估算的近似值，即可得出答案． 【详解】解：∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴与最接近的整数是3， 故选：A． 10．【答案】B 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查了比较二次根式的大小，分别求出，进而即可判断求解，掌握二次根式的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ， ， 故选：． 11．【答案】7 【知识点】利用二次根式的性质化简、求二次根式中的参数 【分析】此题考查了二次根式的化简，二次根式的定义，关键是掌握．首先把进行化简，然后根据是整数确定n的最小值． 【详解】解：， ∵是正整数，是整数， ∴是完全平方数， ∴n的最小值是7. 故答案是：7． 12．【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算，方程两边同时除以，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】二次根式的除法、已知条件式，化简求值 【分析】由x＝3﹣2y得，原式化简为，从而可求得值． 【详解】解：∵x＝3﹣2y ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题是化简求值问题，考查了二次根式的除法运算，二次根式的化简，求代数式的值，涉及整体思想，关键是二次根式的除法运算． 14．【答案】 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、新定义下的实数运算 【分析】理解题目给出的新定义，用表示不小于的最小整数，按照操作规则逐步计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意，对36逐步进行操作： ∵ ， ∴ 可得第一次操作结果； ∵，， ∴ ，可得第二次操作结果； ∵， ∴，可得第三次操作结果． 15．【答案】 【知识点】与实数运算相关的规律题、数字类规律探索 【分析】此题主要考查了数字的变化规律，实数的减法运算，找准数字变化规律是关键． 根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第排有个数，从第一排到排共有：个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第排第个数到底是哪个数后再计算． 【详解】解：根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第排有个数，从第一排到排共有：个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回， 表示第5排从左向右第4个数是， ∵前11排共有 (个)数， 表示第12排第4个数即第70个数， ， 表示的数是， 与表示的两数之差是， 故答案为：． 16．【答案】(1)3 (2) (3) (4) 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的乘除混合运算、二次根式的混合运算 【分析】利用二次根式的乘除法法则进行计算，即可解答； 利用二次根式的乘法法则进行计算，即可解答； 先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； 利用二次根式的乘法法则进行计算，即可解答． 本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： .； （4）解：原式 17．【答案】(1) (2) 解：淇淇的说法正确，理由如下： ， ∴， ∵， ∴的值能与合并， ∴淇淇的说法正确． 【知识点】二次根式的加减运算、同类二次根式 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，同类二次根式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可列出式子计算求解即可； （2）根据题意结合二次根式的加减计算法则求出x的值，再判断x与是否为同类二次根式即可得到结论． 【详解】（1）解： ； （2）略 18．【答案】(1) (2)第个等式为 (3) 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、与实数运算相关的规律题、数字类规律探索 【分析】本题考查了二次根式的规律探究与化简计算，通过观察等式特征总结规律是解题的关键． （1）通过分析已知等式中被开方数的分子、分母与等式序号的关系，推导第个等式的形式； （2）归纳每个等式中被开方数的分子、分母及结果与正整数的关联，得出第个等式的通用表达式； （3）利用总结的规律将每个根号内的式子转化为分数形式，通过约分简化根号内的乘积，最终计算出结果． 【详解】（1）解：被开方中，分子为，分母为，结果为， 第个等式：分子为，分母为，结果为， 第个等式：． （2）解：根据第（1）问得出的结论，第个等式为． （3）解：原式 ． 19．【答案】(1)11 (2) 【知识点】无理数的大小估算、实数运算的实际应用、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了无理数的估算和实数混合运算的应用，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键； （1）利用夹逼法求解即可； （2）仿照题干中的解题思路解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分的值为11； 故答案为：11； （2）解：∵面积为127的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得， 解得， 即． 20．【答案】(1) (2)不能截出，理由如下： 假设根据乙木工采用的方式知两个相同正方形的面积为是可行的，则正方形的边长为，可知两个相同正方形的总长为． ， 乙木工采用的方式不能截出． 【知识点】二次根式的应用、比较二次根式的大小 【分析】（1）根据正方形的面积，求出边长，得出矩形木板的长和宽，即可解答； （2）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：根据甲木工采用的方式可知：小正方形的面积为，大正方形的面积为， 小正方形的边长为，大正方形的边长为． 矩形木板的长为，宽为． 矩形木板的面积为． （2）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $