2.3 二次根式 同步练习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册“二次根式”同步练，以“基础认知-技能应用-综合探究”分层设计，覆盖概念理解、运算技能及实际应用，强化从单一知识点到综合问题解决的思维进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|二次根式识别、有意义条件、最简二次根式|单选题聚焦概念辨析，如第1-3题强化抽象能力| |技能应用|化简、求值、同类二次根式、大小比较|填空题结合运算与规律，如第14题培养推理意识| |综合探究|混合运算、实际应用、规律探究|解答题融入模型应用（如海啸速度计算）和创新探究（如近似值估算），发展应用意识与创新意识|

2.3 二次根式 同步练习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列各式中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．二次根式有意义，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 4．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B． C． D．2 5．化简的结果是（    ） A．5 B．25 C． D．10 6．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（　　） A． B． C． D．12s 7．计算：（   ） A． B．10 C． D． 8．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 9．估计的值应在（   ）之间 A．5和6 B．6和7 C．7和8 D．8和9 10．比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为__________. 12．若，则_________， _________． 13．已知，，则代数式的值是_______． 14．有一列数按如下顺序排列：，，，，…，则第10个数是_______． 15．若一个四位数M的各个数位上的数字互不相同，千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，且，把M的前两位数字组成的两位数记为，后两位数字组成的两位数记为，交换M的百位数字和十位数字，得到一个新的四位数N，记，，若是整数，则______；在此条件下，若是一个完全平方数，则满足条件的N的最大值与最小值的差为______． 三、解答题 16．计算： (1) (2) (3) (4) 17．已知与最简二次根式可以加减合并，是27的立方根，． (1)求的值； (2)判断以为边的三角形的形状，并说明理由． 18．海啸是一种破坏力极强的海浪，在广阔的海面上，海啸的行进速度可按公式计算，其中v表示海啸的速度（单位：），d表示海水的深度（单位：），g表示重力加速度，且．若在海水的深度为处发生海啸，求海啸行进的速度．（结果化为最简二次根式） 19．观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 20．小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为83的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为 ； (2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C C A C C D C D 1．【答案】C 【知识点】二次根式的识别 【分析】二次根式要求形如的式子中被开方数，题目要求“一定是”，即无论字母取何值都满足被开方数非负，据此逐个判断即可. 【详解】A、，，不是二次根式； B、，，不是二次根式； C、，，一定是二次根式； D、，当时，不是二次根式. 2．【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可． 【详解】解：∵ 二次根式有意义的条件是被开方数为非负数， ∴ 有意义需满足 ， 解不等式得． 3．【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断 【详解】解：A、的被开方数含分母，不是最简二次根式； B、的被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； C、的被开方数为整数，且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； D、的被开方数含分母，不是最简二次根式． 4．【答案】C 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题考查二次根式，将已知数值代入原式并进行正确的运算是解题的关键．将代入二次根式中计算即可． 【详解】解：当时， 原式， 故选：C 5．【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查二次根式的性质．根据二次根式的性质计算即可． 【详解】解：． 故选：A 6．【答案】C 【知识点】二次根式的应用 【分析】直接将代入公式，化简二次根式即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 7．【答案】C 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，解题的关键是掌握二次根式乘法运算法则． 需结合有理数乘法的符号法则与二次根式乘法法则求解． 【详解】解：， 故选：C． 8．【答案】D 【知识点】同类二次根式、化为最简二次根式 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再看被开方数是否与的被开方数相同即可得到答案. 【详解】解：∵ 选项A，，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； 选项B，，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； 选项C，，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； 选项D，，被开方数为，与的被开方数相同，是同类二次根式. 9．【答案】C 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，以及无理数的估算，解决本题的关键是正确化简二次根式． 先将原式化简为，再通过估计的范围确定整体值的区间即可． 【详解】解：∵， 又∵，即， ∴， ∴原式的值在7和8之间． 故选：C． 10．【答案】D 【知识点】二次根式的乘法、比较二次根式的大小 【分析】本题考查比较二次根式的大小，利用平方法进行比较即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴； 故选D． 11．【答案】7 【知识点】利用二次根式的性质化简、求二次根式中的参数 【分析】此题考查了二次根式的化简，二次根式的定义，关键是掌握．首先把进行化简，然后根据是整数确定n的最小值． 【详解】解：， ∵是正整数，是整数， ∴是完全平方数， ∴n的最小值是7. 故答案是：7． 12．【答案】 2 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】利用二次根式的乘除运算法则计算，可得结果． 【详解】解：∵ 即， ∴ ∴， 故答案为：，2． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握相应的运算法则． 13．【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、已知条件式，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，平方差公式．二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．利用平方差公式把原式变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 14．【答案】 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查算术平方根，数字的变化类，掌握算术平方根的定义以及数列的变化规律是正确解答的关键． 通过观察数列的符号、分子和分母的变化规律，推导出第10项的表达式，符号由 决定． 【详解】解： 数列可以写为： ，，，，…， 由此可得： 数列的符号为 ，第10项为偶数，故符号为正． 分子中的数字规律：，故第10项，分子为． 分母中的数字规律：，故第10项，分母为． 因此第10个数为． 故答案为：． 15．【答案】 9 4752 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】要使得是整数，则与应能被9整除，而已满足能被9整除，只需要能被9整除即可，进而可得的值；是完全平方数，则N能被33整除，且是完全平方数，列举出各值，找出符合题意的数，再作差求值． 本题考查了因式分解的应用，读懂题意，找出各数值之间的内在关系，通过估算列举找出符合题意的值是解本题的关键，综合性较强． 【详解】解：要使得是整数，则与应能被9整除，而已满足能被9整除，只需要能被9整除，只需能被9整除，则能被9整除，而c与d都是大于0且小于10的整数，所以； N是四位数，则， 即， 是完全平方数，，则N的值有： ，不是四位数，不符合要求； ，不满足各个数位数字不同的要求，不符合要求； ，不满足各个数位数字不同的要求，不符合要求； 不满足各个数位数字不同的要求，不符合要求； ，满足各个数位数字不同的要求，符合要求； ，不满足各个数位数字不同的要求，不符合要求； ，不满足各个数位数字不同的要求，不符合要求； ，满足各个数位数字不同的要求，符合要求； ，不满足各个数位数字不同的要求，不符合要求； ，不满足各个数位数字不同的要求，不符合要求； ，满足各个数位数字不同的要求，符合要求； ，不满足各个数位数字不同的要求，不符合要求； ，满足各个数位数字不同的要求，不满足，的要求，不符合要求； ，不是四位数，不符合要求， 的最大值为7425，最小值为2673，， 的最大值与最小值的差为4752 16．【答案】(1) (2) (3)5 (4) 【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则和正确化简二次根式． （1）先化简二次根式，再进行合并即可； （2）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可； （3）先计算加法，再计算除法即可； （4）利用完全平方公式和平方差公式进行乘法计算，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．【答案】(1)，， (2) 解：直角三角形，理由如下： ， ∴以为边的三角形是直角三角形． 【知识点】同类二次根式、判断三边能否构成直角三角形、求一个数的立方根、化为最简二次根式 【分析】本题考查了二次根式的化简，最简二次根式，勾股定理逆定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先化简，然后根据同类二次根式的定义求出，再根据立方根和算术平方根的定义求解； （2）根据勾股定理逆定理证明即可． 【详解】（1）解：， 由题意，得：，解得， ∵是27的立方根， ； ∴； （2）略 18．【答案】 【知识点】二次根式的应用 【分析】直接根据所给公式计算求解即可． 【详解】解：由题意得，， 答：海啸行进的速度为． 19．【答案】(1) (2)第个等式为 (3) 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、与实数运算相关的规律题、数字类规律探索 【分析】本题考查了二次根式的规律探究与化简计算，通过观察等式特征总结规律是解题的关键． （1）通过分析已知等式中被开方数的分子、分母与等式序号的关系，推导第个等式的形式； （2）归纳每个等式中被开方数的分子、分母及结果与正整数的关联，得出第个等式的通用表达式； （3）利用总结的规律将每个根号内的式子转化为分数形式，通过约分简化根号内的乘积，最终计算出结果．【详解】（1）解：被开方中，分子为，分母为，结果为， 第个等式：分子为，分母为，结果为， 第个等式：． （2）解：根据第（1）问得出的结论，第个等式为． （3）解：原式 ． 20．【答案】(1)11 (2) 【知识点】无理数的大小估算、实数运算的实际应用、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了无理数的估算和实数混合运算的应用，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键； （1）利用夹逼法求解即可； （2）仿照题干中的解题思路解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分的值为11； 故答案为：11； （2）解：∵面积为127的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得， 学科网（北京）股份有限公司 $