第11讲 乘方（12大题型共71题+解题技巧）同步讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“乘方”核心知识点，系统梳理乘方、幂、底数、指数的概念，乘方运算的符号法则，以及含乘方的有理数混合运算顺序，构建从概念定义到运算应用的学习支架，衔接有理数乘法与复杂代数运算。 资料特色在于题型多样且注重素养培养，如拉面拉扣、折纸厚度等应用题型发展模型观念，规律探究题型提升抽象能力，混合运算及24点问题强化运算能力。课中辅助教师分层教学，课后通过综合检测和中考真题帮助学生查漏补缺，巩固知识。

第11讲 乘方 学习目标 1、理解乘方、幕、指数、底数的概念. 2、掌握乘方与幂的表示方法. 3、会进行有理数乘方运算及有理数混合运算. 核心素养： 抽象能力 模型观念 运算能力 知识结构 知识点一 乘方 与乘方有关的概念 知识点 内容 示例 定义 求个相同乘数的积的运算，叫作乘方 有关的概念 ①乘方的结果叫作幂:②在中, 叫作底数，叫作指数 例如:在中,底数是5,指数是4,读作“5的4次方”或“5的4次幂” 点拨：指数就是相同乘数的个数,底数就是相同的乘数. 【基础练习1-1】（24-25七年级上·云南昆明·期中）表示的意义是（    ） A．2和5相乘的相反数 B．5个2相乘的相反数 C．5个相乘 D．2个5相乘的相反数 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数乘方的意义，表示的是5个2相乘，再根据前面有个负号即可得到答案． 【详解】解：表示的是5个2相乘的相反数， 故选：B． 【基础练习1-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）在中，底数是__________，指数是__________； 【答案】 【详解】解：根据有理数乘方的定义，表示个相乘，其中为底数，为指数 ∵表示个相乘，括号将负号和括为整体，负号属于底数， ∴ 本题中底数是，指数是． 乘方运算 知识点二 1、乘方运算 乘方运算是一种新的运算,可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算,即 2、符号法则 点拨：乘方运算的关键 有理数的乘方运算同有理数的加、减、乘、除运算一样，确定幂的符号是解题的关键，确定符号时一般先看底数，后看指数. 【基础练习2-1】（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】 (1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式． （4）解：原式 ． 【基础练习2-2】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）在，，，中，结果是负数的有_________个． 【答案】1 【分析】分别计算四个数的结果，判断正负性，统计负数的个数． 【详解】解：逐个计算各数并判断正负： ，结果为正数，不是负数； ，结果为负数，是符合要求的数； ，结果为正数，不是负数； ，结果为正数，不是负数； 统计可得，结果是负数的共有个． 有理数的混合运算 知识点三 1、运算顺序 (1)先乘方,再乘除,最后加减:(2)同级运算，从左到右进行;(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行. 2、运算方法 运用有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方法则进行计算. 巧记：混合运算分三级，运算顺序高到低.乘方乘除再加减.只有同级左到右. 提醒：在遵守运算顺序的前提下，灵活运用运算律，可使运算准确、快捷. 【基础练习3-1】（25-26七年级上·陕西安康·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“有括号的先算括号里面的，再算乘方，然后算乘除，最后算加减；同级运算，从左到右依次进行”．根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【基础练习3-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）淇淇计算时，步骤如下： 解：原式① ② ．③ （1）在淇淇的计算过程中，开始出现错误的步骤是________（填序号）． （2）正确的答案是________． 【答案】 ；. 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握“乘方的运算法则”. 【详解】（1）： 所以出现错误的步骤为 （2）原式 故答案为： （1）；（2）． 题型1 有理数乘方的概念 【典例】（24-25八年级上·福建厦门·期中）的含义是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查乘方的意义，熟练掌握乘方的意义是解题的关键；因此此题可根据表示有n个a相乘求解即可． 【详解】解：表示有5个2相乘，即． 故选B． 【变式练习1-1】（24-25七年级上·天津河西·期中）关于，下列语句不正确的是（    ） A．表示 B．底数是，指数是3 C．读作的3次方 D．计算结果等于125 【答案】D 【分析】本题考查了有理数幂的概念理解，乘方的运算，根据的底数为，指数为3，表示3个的乘积，即，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：的底数为，指数为3，表示3个的乘积，即，读作的3次方，故正确，不符合题意；错误，符合题意． 故选：D． 【变式练习1-2】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）________（结果用含的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了乘法及乘方的定义，根据乘方及乘法的定义进行表示即可． 【详解】解：． 故答案为：． 乘数相乘化乘方，乘数来把底数当，乘数个数当指数，乘方结果称为幕. 题型2 有理数乘方的运算 【典例】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】 (1)625 (2) (3)0.027 【分析】（1）表示4个相乘，即可得出答案； （2）先计算2的立方，即可得出答案； （3）根据在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，乘方是几个相同因数的简便运算，可得答案． 【详解】（1）； （2）； （3）． 【点睛】本题考查了乘方的定义，理解乘方的意义是解题的关键． 【变式练习2-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）老师出了一道计算题，计算：． 嘉嘉的计算过程如下： 解：原式（第一步） （第二步） ．（第三步） (1)请问嘉嘉的计算过程是从第几步开始出错的？ (2)请把正确的计算过程写出来． 【答案】 (1)第一步开始出错 (2) 解： 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据有理数的乘方运算可进行求解 【详解】（1）嘉嘉的计算过程是从第一步开始出错的． （2）略 【点睛】本题主要考查有理数的乘方运算，熟练掌握有理数的乘方运算是解题的关键． 【变式练习2-2】（25-26七年级上·福建福州·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘方，通过直接计算每个选项，判断其正确性．A中负数的奇次幂为负；B中指数运算优先于负号；C中绝对值结果为非负；D中分数的平方需分别计算分子和分母． 【详解】解：A．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； B．∵，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意； C．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； D．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 乘方运算的两种方法 (1)按照乘方的定义，先将乘方化为乘法，再根据乘法法则进行计算； (2)根据乘方的符号法则，先确定家的符号，再求幂的绝对值. 题型3 有理数乘方的逆运算 【典例】（25-26七年级下·四川成都·期末）若，，则______． 【答案】 【详解】解：，则， ，则， ． 【变式练习3-1】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若，则______． 【答案】 【分析】先根据已知乘方等式求出的值，再将代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 将代入得． 【变式练习3-2】（25-26七年级上·四川泸州·期中）若，且，则的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是有理数的运算与绝对值的性质，结合不等式条件确定、的取值是解题的关键．根据先确定、的所有可能值，再利用的条件筛选出符合要求的组合，进而求出的值． 【详解】解：， 或， ， ， 或， 又， 当时，不满足，满足， ， 当时，不满足，满足， ， 的值为或． 故选：． 乘方运算 是已知底数和指数求幂。逆运算则是已知结果（和其中一个量），反求底数或指数。解题的关键是把“求幂”的思维反过来，从“结果”出发，寻找它是“谁的几次方”。 题型4 含乘方的有理数混合运算 【典例】（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）计算： 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“有括号的先算括号里面的，再算乘方，然后算乘除，最后算加减；同级运算，从左到右依次进行”．根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式练习4-1】（25-26七年级上·安徽安庆·期末）计算： (1) (2)． 【答案】 (1)5 (2) 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算. （1）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算，有括号先计算括号内的运算. （2）先计算乘方，绝对值，再计算乘除，最后计算加减运算. 【详解】（1）解： . （2）解： . 【变式练习4-2】（25-26七年级上·全国·单元测试）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（   ） 甲： 乙： 丙： 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，需按照运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内，逐一验证各选项的正确性，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：甲： 正确步骤：先算乘方，再算除法，最后减法，甲错误， 乙： 正确步骤：括号内先算乘方，再算乘法，最后减法，乙错误， 丙： 正确步骤：先把除法变成乘法，再用乘法分配律得，丙正确， 丁： 正确步骤：先算乘方，再从左到右依次运算：，接着，丁错误， 综上，只有丙的计算正确， 故选：． 有理数的混合运算有妙招 (1)可以以加减号为界,把算式分成几部分，各部分可同时单独运算。 (2)计算时，通常把小数化成分数，带分数化成假分数：做乘除或乘方运算时，应先确定积、商或暴的符号。 题型5 乘方的应用 【典例】（26-27七年级·全国·小升初衔接）手工拉面是我国的传统面食，制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为一扣），如此反复操作，连续拉扣若干次后，便成了许多细细的面条．你能算出拉扣7次后共有多少根面条吗？ 【答案】 拉扣7次后共有128根面条 【分析】每次拉扣后，面条根数变为拉扣前的2倍，可推得拉扣次后面条总根数为，代入计算即可得到最终结果. 【详解】解：根据题意可得 初始有1根面条， 第1次拉扣后面条根数是， 第2次拉扣后面条根数是， 第3次拉扣后面条根数是， …… 故第7次拉扣后面条根数是. 答：拉扣7次后共有128根面条. 【变式练习5-1】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）将厚0.1毫米的一张纸对折，再对折，这样对折4次后，这张纸厚( )毫米． 【答案】1.6 【分析】每对折一次，纸的厚度扩大为原来的倍，对折次后，纸的厚度扩大为原来的倍，本题对折次，代入计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意，对折次后，纸的厚度为（毫米） 【变式练习5-2】（25-26七年级上·福建漳州·期中）如图，某种细菌在适宜环境下，细胞每过30分钟便会由1个分裂成2个，经过4小时，1个细胞能分裂成（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据每过30分钟便会由1个分裂成2个，由4小时求出分裂的次数，即可确定出分裂的个数． 【详解】解：4小时求出分裂的次数为（次）， 经过30分钟，这种细胞由1个能分裂成个 经过60分钟，这种细胞由1个能分裂成个， ...， ∴经过4小时，这种细胞由1个能分裂成个． 题型6 程序流程图与有理数的计算 【典例】（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）如图是一个数值转换机，若输入的数为3，则输出的数是___________． 【答案】60 【分析】此题主要考查了程序流程图与有理数运算，输入的数为3，根据流程图的步骤进行计算即可． 【详解】解：当输入的数为3，则第一步为， 第二步为， 第三步为， 则当时，输出数为60． 故答案为：60． 【变式练习6-1】（25-26七年级上·贵州铜仁·阶段检测）根据流程图中的程序，若输入x的值为，则输出y的值为（    ） A．21 B．35 C．7 D．16 【答案】A 【分析】根据题意列出算式进行计算，再判断即可． 本题主要考查代数式求值，有理数的混合运算，理解题意是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式练习6-2】（24-25七年级上·河南商丘·期中）仔细观察下图的操作步骤，然后回答问题．（写出计算过程） 求当输入的数分别是和4时，输出的数分别是多少？ 【答案】； 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据题意列出相应的算式，计算即可． 【详解】解：当输入的数是时，，相反数是， ； 当输入的数是时， ， ． 1. 解题步骤：1、读图：标出流程图中每一步的运算和判断条件，明确“从输入到输出”的完整路径。 2. 2、定方向：判断题目是正向计算、逆向推导，还是循环/多分支处理。 3. 3、逐步执行或反推：正向时严格按顺序代入；逆向时符号取反、顺序颠倒。 4. 4、处理循环：若有多轮循环，算到出现规律为止，用周期或收敛值快速定位。 5. 5、验证：把结果代回流程图，确认它确实满足输出条件。 题型7 偶次方的非负性运用 【典例】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）若，则______． 【答案】7 【分析】根据绝对值和平方的非负性，得到，，解方程求出，的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：， 又，， ，， 解得，， ． 【变式练习7-1】（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）若与互为相反数，那么______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性．根据相反数的定义得到两个非负数的和为0，再利用非负数的性质求出x、y的值，代入计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：1 【变式练习7-2】（25-26七年级上·浙江温州·期末）根据下边的数值转换器，当输入的x、y满足时，求输出的结果_______． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，先根据非负数的性质求出，，再代入计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，， 代入可得， 故答案为：． 解题步骤： 1. 1、识别非负项：找出式子中哪些项具有非负性（偶次方、绝对值等）。 2. 2、选择方法：“几个非负数之和 = 0” → 用 “0 + 0 = 0”模型，分别令各项为0； 3、求解方程：解出未知字母的值。 3. 4、代回验证：将结果代入原式检验是否满足条件。 题型8 含乘方的新定义问题 【典例】（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）数学老师规定了一种新运算：若，是有理数，则，请你计算：；． 【答案】， 【分析】根据所给的新定义结合含乘方的有理数混合计算法则求解即可． 【详解】解：由题意得，， ． 【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【变式练习8-1】（25-26六年级上·上海·阶段检测）请阅读材料，并解决问题 生活中常用“分贝（）”衡量声音响度，规定：若（L为声音的响度值），则k称为L的“分贝指数”，记为．由定义可知：与表示k、L之间的同一关系．“分贝指数”有如下运算性质： 若A、B为正响度值，则，． (1)根据“分贝指数”的定义，填空： ， ； (2)根据运算性质，填空： （m为正响度值且）； (3)若，计算的值． 【答案】 (1)1，3 (2)4 (3) 【分析】本题主要考查了新定义，有理数的乘方计算，正确理解新定义是解题的关键． （1），，再根据新定义可得答案； （2）根据新定义可得，据此可得答案； （3）根据新定义可得，，再根据可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）解：， ∴； （3）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴． 【变式练习8-2】（25-26七年级上·广东珠海·期中）规定一种运算符号“”的法则为：，则的值______． 【答案】48 【分析】本题主要考查了新定义运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．先计算括号内的，再计算即可． 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以． 故答案为：48． (1)解读:新定义题是指题目提供一定的材料介绍一个新概念或给出一种新解法 等，在理解材料的基础上，获得探索解决问题的方法，从而加以运用，进而解决问题.这类问题一般由“阅读理解”和“提出问题”两部分组成.解决问题时需要通过类比、分析、推理等探索活动来确定解决问题的方法. (2)通法：解决此类问题一般要经过三步，即①深刻理解“新定义”;②重视“举例”:③类比新定义中的概念、原理、方法，解答提出的问题. (3)分类：新定义题分为方法模拟型、新知识学习型、信息处理型、阅读操作发四种. (4)能力、素养：主要考查创新思维能力、推理能力、归纳总结能力，提升模型观念、推理能力、抽象能力的数学素养。 题型9 计算器与有理数 【典例】（25-26六年级上·山东淄博·期末）使用科学计算器进行计算，其按键顺序为： 则输出结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了计算器计算含有乘方的有理数的混合运算，掌握计算器的计算方法，含有乘方的有理数的混合运算法则是关键． 根据图示得到，根据乘方的混合运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意得到，， 故选：B． 【变式练习9-1】（25-26七年级上·全国·周测）用操作计算器的方法计算，第5个按键是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查计算器的用法，要求学生熟悉计算器的各项功能与正确的操作． 根据计算器操作方法，结合题意操作可得答案． 【详解】解：用操作计算器的方法计算，前次要依次按：，，，第个需要键入次方，则要先按上档键，再输入，故第个按键是． 故选：B． 【变式练习9-2】（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图若用我们数学课本上采用的科学计算器按顺序输入，它表示的计算式是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学计算器的使用和有理数的混合运算，熟练掌握科学计算器的使用方法是解题的关键． 根据按键的顺序得出算式即可． 【详解】解：根据按键顺序可知算式为, 故答案为：． 1. 解题步骤： 2. 1、分析算式结构：先看清运算类型（加减乘除、乘方、混合运算），确定运算顺序。 3. 2、判断符号与近似范围：根据有理数法则先判断结果的符号。 4. 3、确定按键顺序：按算式书写顺序输入，注意负号键和括号键的正确使用。 5. 4、读取并处理结果：根据题目要求保留符合题意的结果。 6. 5、结合算理验证：用有理数法则判断结果是否合理，矛盾则检查按键。 题型10 24点问题 【典例】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）游戏“ 点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为 ，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出符合规则的算式． 【答案】（答案不唯一）. 【详解】解：由题意得： （答案不唯一）． 【变式练习10-1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． (2)想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 【答案】 (1) 所选数字为，算式： (2) 可以， 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，在理解有关规则的基础上灵活应用有理数的混合运算法则求解是解题关键； （1）根据运算结果为和已知给定的三个数，筛选出合适的数字； （2）根据已给数字有，按照题干所给方法进行判断即可． 【详解】（1）解：当选时， ∵， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 任选其一即可； （2）答：可以，． 【变式练习10-2】（25-26七年级上·贵州铜仁·阶段检测）同学们；经典算24是随机抽取4张不同的扑克牌，把牌面数字用加减乘除四则运算、括号得到24的一种数学游戏．中文名算24英文名Calculate．我们新学习了乘方运算后，再加上乘方运算，算得24的可能性无疑就会增多．某同学一次游戏中抽到：2，5，3，4四张牌面．请利用加减乘除、括号经典算法或者再加上乘方写出五种不同组合类型的算法算式（雷同、重复不计分）：①______，②______，③_______，④_______，⑤______． 【答案】①；②；③；④；⑤． 【分析】根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解：①， ②， ③， ④， ⑤． 故答案为：①；②；③；④；⑤． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 1. 方法总结： 2. 1、观察数字：看四个数中有没有3、8、4、6、2、12这些24的因数； 3. 2、考虑乘方：如果没有直接可用的因数，尝试对某个数做乘方，把它变成需要的因数（特别是、、2、3等容易变形的小数）； 4. 3、确定符号：判断结果需要正还是负，用奇次方或偶次方调整； 5. 4、套用模型：尝试六种常用模型，用乘方替换其中的某个数； 6. 5、验算：把算式完整算一遍，确认每步运算正确、每个数只用一次。 题型11 进制问题 【典例】（24-25七年级上·广西南宁·期中）综合与实践 【知识介绍】进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．我们常用的数是十进制数，如：要用个数码（又叫数字）：，，，，，，，，，．在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：和，如二进制中：等于十进制的数，等于十进制的数21． （注意：对于任何非零数都有，例如：） 【解决问题】 (1)二进制中的数等于十进制中的哪个数？ 【应用拓展】 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满四进一，用来记录孩子自出生后的天数． (2)下图中“结绳记数”表示的四进制数是______． (3)求该妇女的孩子出生了多少天？（结果用十进制数表示） 【答案】（1）二进制中的数等于十进制中的；（2）；（3）该妇女的孩子出生了天 【分析】本题考查了有理数的乘方，掌握二进制和四进制转化为十进制时数位表示的方法是解题的关键． （1）根据材料中二进制转化为十进制的方法求解即可； （2）根据“结绳记数”图写出数字即可； （3）根据题意可得：，进而计算即可求解． 【详解】（1）（1）， 二进制中的数等于十进制中的； （2）由图可知，“结绳记数”表示的四进制数是， 故答案为：； （3）， 该妇女的孩子出生了天． 【变式练习11-1】（25-26九年级上·重庆·期末）阅读下列材料并解决问题 进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为，即可称进制．现在最常用的是十进制，通常使用个阿拉伯数字进行记数，特点是逢十进一． 对于任意一个用进制表示的数，通常使用个阿拉伯数字进行记数，特点是逢进一．我们可以通过以下方式把它转化为十进制： 例如：五进制数，记作∶， 七进制数，记作∶ (1)请将以下两个数转化为十进制：____________，____________ ； (2)若一个正数可以用七进制表示为，也可以用五进制表示为，请求出这个数并用十进制表示． 【答案】 (1)82，83； (2)满足关系的整数a、b、c共有两种情形：（1），，，此数用十进制表示为：51；（2），，，此数用十进制表示为：102． 【分析】本题考查知识迁移以及有理数的运算．正确理解十进制和其它进制转化为十进制的方法是解题的关键． （1）根据进制的计算规则列式计算即可得； （2）由题意得出，即，结合，，，且a、b、c均为整数得出a、b、c的值，表示成十进制即可． 【详解】（1）解：由题意得：；； 故答案为：82，83； （2）解：∵ ， ， 根据题意，得：， 整理得：， ∵，，；且a、b、c均为整数， ∴满足关系的整数a、b、c共有两种情形 （1），，，此数用十进制表示为：51； （2），，，此数用十进制表示为：102． 【变式练习11-2】（25-26七年级上·重庆荣昌·期末）我们知道，在三进制中，数，比如，即，则__________． 【答案】44 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，含乘方的有理数混合运算，十进制整数及表示方法，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 将三进制数转换为十进制数，再计算即可． 【详解】解：， 故答案为：44． 1. 1、识别进制：看清题目中每个数的右下角标，确认它是几进制； 2. 2、明确方向：判断题目要求的是“N进制→十进制”“十进制→N进制”，还是“不同进制间比较/运算”； 3. 3、展开求和或除N取余：向十进制转换用展开求和，从十进制转出用除N取余； 4. 4、检验：把结果代回原式验证，确认转换无误。 题型12 含乘方的规律探究问题 【典例】（25-26七年级下·安徽亳州·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)运用你发现的规律求的值． 【答案】 (1) (2) 【详解】（1）解：由题意得第5个等式：； （2）解： ． 【变式练习12-1】（24-25七年级上·山西长治·期中）探寻规律，学以致用 (1)把左右两边计算结果相等的式子用线连接起来： 观察上面计算结果相等的各式之间的关系，可归纳出的结论是：______． (2)利用上述规律计算下式的值： ． 【答案】 (1) 连线如图所示， (2) 【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，掌握含有乘方的有理数的混合运算是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则计算，连线，找出规律即可； （2）根据（1）中的规律，先展开，再根据分数的乘法运算计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【变式练习12-2】（24-25九年级上·云南普洱·期末）按照一定规律排列的单项式：x，，，，，…按照上述规律，第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了代数式变化规律问题的解决能力，关键是能准确理解题意，并进行猜想、归纳．通过观察给出前几个单项式的特点，猜想、归纳第n个单项式系数和指数的规律． 【详解】解：∵第1个单项式为：， 第2个单项式为：， 第3个单项式为：， 第4个单项式为：， ， 第n个单项式为：， 故选：C． 探究规律的妙招---由特殊到一般 求解规律探究问题时，一般要先从特殊情况入手，归纳出一般情况，再猜想验证，得出一般规律. 综合检测 一．选择题 1．（24-25七年级上·北京昌平·期中）式子表示（   ） A．5个相乘 B．2个相乘 C．5个2相乘的积的相反数 D．2个5相乘的积的相反数 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即计作，这种求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在中，a叫做底数，n叫做指数． 【详解】解：式子表示2个5相乘的积的相反数． 故选D． 2．（24-25九年级下·江西抚州·阶段检测）计算的结果等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，直接根据的任何次幂都是1作答即可． 【详解】解：， 故选：A． 3．（25-26七年级上·湖北襄阳·阶段检测）根据如图所示的流程图计算，若输入x的值为，则输出y的值为（   ） A． B．21 C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了程序流程图与有理数的计算，根据流程图、列出算式是解题的关键． 先根据流程图列式，再计算，然后再判断、计算即可解答． 【详解】解：由流程图，得：， ， 所以输出y的值为21． 故选B． 4．（25-26七年级上·河南·期中）在有理数，，，，中，负整数一共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的运算、负整数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 分别计算每个有理数的值，判断其是否为负整数即可． 【详解】解：，是负整数； ， 不是负整数； ， 不是负整数； ，是负整数； ，是负整数； ∴ 负整数一共有3个． 故选：C． 5．（25-26六年级上·山东烟台·期末）用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算时，按键顺序与显示结果不对应的是（  ）． A．按键顺序为显示结果为 B．按键顺序为显示结果为 C．按键顺序为显示结果为 D．按键顺序为显示结果为 【答案】B 【分析】本题考查科学计算器的使用，掌握好相关知识是关键． 根据科学计算器的操作方法，逐个判断即可． 【详解】解：对于选项A：对应的运算公式为，故A正确； 对于选项B：对应的运算公式为，故B错误； 对于选项C：对应的运算公式为，故C正确； 对于选项D：对应的运算公式为，故D正确． 故选：B． 6．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）若则的值为（     ） A．3 B．9 C．8 D． 【答案】D 【分析】先根据绝对值和平方式的非负性求得a、b，再代入所求式子中求解即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴． 7．（25-26八年级下·重庆忠县·期中）将一些完全相同的梅花按如图所示的规律摆放，第1个图形有5朵梅花，第2个图形有8朵梅花，第3个图形有13朵梅花，⋯，按此规律，则第6个图形中共有梅花的朵数是（　　） A．39 B．40 C．41 D．42 【答案】B 【分析】本题主要考查图形规律，理解图示中数量关系，找出规律即可求解，掌握含有乘方的有理数的混合运算是解题的关键． 【详解】解：∵第1个图形有（朵）梅花， 第2个图形有（朵）梅花， 第3个图形有（朵）梅花， … ∴第n个图形中共有梅花的朵数是， ∴第6个图形中共有梅花的朵数是． 故选：B． 8．（24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 【答案】A 【分析】本题考查有理数的四则运算，通过尝试不同的四则运算组合，判断每组数字是否能得到24． 【详解】解：A、无法通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； B、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； C、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； D、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24． 故选：A 9．（25-26七年级上·河南新乡·期中）在人工智能的众多算法和数据处理中，经常涉及不同进制数之间的转换操作．二进制数可用十进制表示为（规定当时，），同样地，三进制数可用十进制表示为．现有二进制数，三进制数，那么a，b的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了进制问题，有理数的混合运算． 将二进制数a和三进制数b分别转换为十进制数，然后比较大小． 【详解】解：， ， ∴， 即． 故选：C． 10．（25-26七年级上·北京海淀·期末）对于一个正整数A，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作，如果在某一次计算之后得到1，就称最初的正整数A为“快乐数”、例如：7→49→97→130→10→1，所以7是“快乐数”．关于“快乐数”，有以下结论： ①2026是“快乐数”； ②将一个“快乐数”的各位数字任意重新排序，所得新数（最高位不是0）仍是“快乐数”； ③若一个正整数的各位数字的平方和是“快乐数”，则这个正整数也是“快乐数” 所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方运算以及新定义，能够读懂定义是解题关键；根据“快乐数”的定义逐一对每个选项进行判断即可． 【详解】解：①∵，， ，，， ∴2026是“快乐数”，故①正确； ②设A是“快乐数”，B是A的数字重排序（最高位非0）， ∴中各个位数的平方和与中各个位数的平方和相等， ∴对于一个正整数，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作时，对和进行计算，得到的第一个新数相同，故后面所有重复操作得到结果都一样， 若A是“快乐数”，则重复操作最后计算结果为1，同理重复操作最后计算结果也为1， ∴也是“快乐数”，故②正确； ③设正整数为，各位数字的平方和为， 对于一个正整数，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作， ∴相当于是正整数在判断是否为“快乐数”的第一步，若为“快乐数”，则还原可得到也为“快乐数”． ∴①②③正确． 故选：D． 二．填空题 11．（2026七年级上·全国·专题练习）计算： ______． 【答案】4 【分析】根据有理数混合运算运算顺序，先算乘方，再算减法，进而即可求解． 【详解】解：， ， ， ． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则________． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘方的逆运算． ，结合已知即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：． 解：（________）（________）________． 【答案】 25 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，根据有理数的混合运算法则按运算顺序依次计算即可． 【详解】解：， 故答案为：25；；． 14．（24-25七年级上·四川·阶段检测）现规定两种新运算“”和“⊙”，对任意有理数a、b，规定：，，那么______． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，有理数的混合计算，先根据新定义计算出，再根据新定义计算出的结果即可得到答案． 【详解】解：， ∴ ， 故答案为：． 15．（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）《庄子》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第5次截取后剩下的木棒长度为_________尺． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解题的关键．根据每日截取木棒的一半，每次截取后剩下的长度是前一次的一半，进而求出第5次截取后剩下的长度． 【详解】解：（尺）， 即第5次截取后剩下的木棒长度为尺， 16．（25-26六年级上·山东烟台·期中）你会玩“点”游戏吗？共一副扑克牌（去掉“大王”，“小王”）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次）使得运算结果为，期中，，分别代表，，，如果小明抽到了，，，，可用算式得到；如图是小刚抽到的四张牌，请用算式得到：     _________________________________________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据加减乘除进行计算即可求解． 【详解】解：根据题意，小刚抽到的四张牌为， ， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查了算24点，掌握加减乘除混合运算是解题的关键． 17．（25-26七年级上·河北沧州·期中）现在有一种结绳记数方法，满七进一，可以将七进制数转换为十进制数．将图1的结绳记数转换成十进制数为：．则将图2的结绳记数转换成十进制数为________． 【答案】 【分析】本题考查了进制问题． 仿照题干计算即可． 【详解】解：将图2的结绳记数转换成十进制数为． 故答案为：． 18．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）在高等数学中存在运算（极限），如的意思为当非常非常大的时候，可以趋近于0，故可以认为，那么的值为___________． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的乘方运算和新定义问题，理解定义，通过构造图形表示是解题的关键． 构造面积为1的正方形，表示出即可求解． 【详解】解：如图，构造面积为1的正方形， 由图可知：， ∵， ∴， 故答案为1． 三．解答题 19．（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】 (1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 20．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，先计算乘方，绝对值，再计算乘法，最后计算加减运算即可． 【详解】解： ． 21．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）有一块面积为2米2的正方形纸片，第1次剪掉一半，第2次剪掉剩下纸片的一半，如此继续剪下去，第6次后剩下的纸片的面积是多少米2？ 【答案】米2． 【分析】本题考查了有理数乘方：求个相同因数积的运算，叫做乘方，解决本题的关键是熟记有理数的乘方．根据第1次截去一半，剩下的面积米2，第2次截去一半，剩下的面积米2，依此类推，即可得到6次后剩下的纸片的面积． 【详解】解：第1次截去一半，剩下的面积米2， 第2次截去一半，剩下的面积米2， 第6次截去一半，剩下的面积（米2）． 所以第6次后剩下的纸片的面积是米2． 22．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 【答案】 (1) (2) 【分析】（1）根据流程图规则列式计算即可； （2）根据流程图规则列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得， ∴原式． 23．（25-26七年级上·重庆开州·期中）设a，b都表示有理数，规定一种新运算“”：当时， ；当时，． 例如：． (1)求的值； (2)比较与 【答案】 (1)16 (2) 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得：； 故答案为：16； （2）解： ． ∴． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和新运算“△”是解本题的关键． 24．（2026·湖北恩施·一模）综合与实践： 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，十进制数一般不标注基数． 材料一：十进制数中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一，于是我们得到了下面的式子（规定当时，）：． 例如，二进制数，转换为十进制数为：． 材料二：将十进制数转化为二进制数可以用除2取余法， 例如，将十进制数转换为二进制数的除法算式如图，将上式中各步所得的余数按照逆序排列，即可得． 此方法可推广为把十进制数转换为进制数的算法（除取余法）． 根据上述材料解答下列问题： (1)二进制数对应的十进制数是______，十进制数对应的二进制数为______． (2)中国古代的十二地支，十二生辰，十二生肖等都属于十二进制的应用．十二进制使用，，，，，，，，，，，来计数．其中代表，代表．请结合以上材料计算十进制数对应的十二进制数为______． (3)有一种密钥破解方式，先将二进制明码数转成十进制数后，再按以下规则获得密码：当为奇数时，破解公式为，当为偶数时，破解公式为．则破解二进制明码表示的密码为______． 【答案】 (1)5，； (2)； (3)． 【分析】（1）结合题中所给转换方法进行计算即可； （2）根据题中所给计算方法进行计算即可； （3）先将二进制数转化为十进制数，再按获得密码的规则进行计算即可 【详解】（1）解：． 由题可得 十进制数对应的二进制数为． （2）解：由题可得 十进制数982对应的十二进制数为． （3）解：由题可得 为奇数时， 破解公式为． 25．（2026·安徽六安·模拟预测）【资料阅读】史料：如图1，是我国南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》一书中出现的，称为“杨辉三角”据资料记载，此图是杨辉取自贾宪所著《释锁算书》，故也称“贾宪三角”，欧洲人帕斯卡在1654年也有类似的发现，称为“帕斯卡三角形”，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年，杨辉三角是一种离散型数与形的结合，把组合数内在的一些规律直观地从图形中体现了出来，是中国古代数学的杰出研究成果之一． 规定：若，则． (1)【问题探究】将“杨辉三角”简化为图2，按照规律： ①第8行添加的数分别为_____；（相邻两数之间要用“，”分隔开） ②第100行的数之和用幂可以表示为_____． (2)如图3，分别画出7条斜线，并计算出了每条斜线经过的数之和．若继续画出第10条斜线，该直线经过的数之和为_____． (3)【拓展延伸】结合“问题探究”中问题（2）揭示的规律，作如下正方形（数字即为正方形的边长）： 利用上面的正方形按一定规律建构如下长方形，并依次记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④． 按照这样的规律继续建构长方形，则长方形⑪的周长为______． 【答案】 (1)①1，8，28，56，70，56，28，8，1；② (2)55 (3)754 【分析】（1）①观察杨辉三角可发现下一行数字为上一行对应空格两边数字之和，即可求得答案； ②分别求出每一行的数字之和，并找出规律即可； （2）找出每条斜线经过的数之和的规律，即可得到答案； （3）找出后一个长方形的长与宽之和是前两个长方形的数据之和这一规律，即可得到答案． 【详解】（1）解：①观察杨辉三角可发现下一行数字为上一行对应空格两边数字之和， 所以第8行添加的数分别为1，8，28，56，70，56，28，8，1； ②观察发现 第0行的和为， 第1行的和为， 第2行的和为， 第3行的和为， 第4行的和为， 故可得第100行的数之和为； （2）解：观察可知，第1条斜线经过的数之和为1， 第2条斜线经过的数之和为1， 第3条斜线经过的数之和为， 第4条斜线经过的数之和为， 第5条斜线经过的数之和为， 第6条斜线经过的数之和为， 第7条斜线经过的数之和为， 发现从第3条开始，每条斜线经过的数之和都为前两条斜线的数据之和， 所以第8条斜线经过的数之和为， 第9条斜线经过的数之和为， 故第10条斜线经过的数之和为； （3）解：观察：长方形①的长与宽的和为， 长方形②的长与宽的和为， 长方形③的长与宽的和为， 长方形④的长与宽的和为， 发现后一个长方形的长与宽之和是前两个长方形的数据之和， 所以长方形⑤的长与宽的和为， 长方形⑥的长与宽的和为， 长方形⑦的长与宽的和为， 长方形⑧的长与宽的和为， 长方形⑨的长与宽的和为， 长方形⑩的长与宽的和为， 长方形⑪的长与宽的和为， 故长方形⑪的周长为． 26．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）阅读材料，并解答问题： 我们知道，如果a、b都是整数，并且有整数c，使得，①那么就称b为a的约数．通常我们只讨论正整数的正约数，即①中的a，b，c都是正整数，以下如不特别申明，所有的字母都表示正整数． 72有多少个约数？ 不难一一列举，72的约数有12个，它们是1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72．请注意其中包含1及72本身． 有没有一个公式，可以帮助我们算出一个数的约数的个数呢？ 有的．如果将72分解为质因数的乘积，即② 那么72的所有约数都是③的形式，其中可取4个值：0，1，2，3；可取3个值：0，1，2；（例如：在，时，③是1；在，时，③是72）． 因此，72的约数共有（个）． 一般地，设有自然数n可以分解为，其中，，，是不同的质数，，，，是正整数，其中可取个值：0，1，2，3，，；可取个值，0，1，2，3，，；可取个值，0，1，2，3，，；所以n的约数共有个． 根据上述材料请解答以下题目： (1)试求6000的约数个数； (2)恰有10个约数的数最小是多少？ (3)求144的所有的约数和． 【答案】 (1)40 (2)48 (3)403 【分析】（1）根据，再结合阅读材料即可求解； （2）根据10=2×5=（1+1）×（4+1），再由，即可求解； （3）根据，可知144的约数分别是1，2，4，8，16，3，6，12，24，48，9，18，36，72，144，再求和即可． 【详解】（1）解：∵， ∴6000的约数共有（4+1）×（1+1）×（3+1）=40个； （2）解：∵10=2×5=（1+1）×（4+1）， ∴， ∴恰有10个约数的数最小是48； （3）解：∵， ∴144的约数共有（4+1）×（2+1）=15个， ∴144的约数分别是1，2，4，8，16，3，6，12，24，48，9，18，36，72，144， 1+2+4+8+16+3+6+12+24+48+9+18+36+72+144=403， ∴144的所有的约数和是403． 【点睛】本题考查了有理数的乘法和乘方的应用，根据阅读材料，学会求数的因数的方法是解题的关键． 中考真题 1．（2023·浙江杭州·中考真题）（    ） A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】先计算乘方，再计算加法即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查有理数度混合运算，熟练掌握有理数乘方运算法则是解题的关键． 2．（2025·四川巴中·中考真题）所有放射性物质都有自己的半衰期．半衰期是放射性物质的质量缩减为原来的一半所用的时间，是一个不变的量．质量为的放射性物质，经历了个半衰期后的质量为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数乘方的应用． 根据题意可知每经历一个半衰期，质量变为原来的，由此可得经历个半衰期后的质量． 【详解】解：， ∴经历了个半衰期后的质量为． 故选：D． 3．（2025·山东威海·中考真题）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解例题的计算方法，按照例题代入计算即可． 将二进制数转换为三进制数，需先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为三进制数． 【详解】∵二进制数的各位权值从右到左依次为， 对应数值为： ∴二进制数对应的十进制数为 11． 将十进制数 11 转换为三进制数，采用“除3取余法”： ，余数为2； ，余数为0； ，余数为1． 将余数倒序排列，得到三进制数为． 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 乘方 学习目标 1、理解乘方、幕、指数、底数的概念. 2、掌握乘方与幂的表示方法. 3、会进行有理数乘方运算及有理数混合运算. 核心素养： 抽象能力 模型观念 运算能力 知识结构 知识点一 乘方 与乘方有关的概念 知识点 内容 示例 定义 求个相同乘数的积的运算，叫作乘方 有关的概念 ①乘方的结果叫作幂:②在中, 叫作底数，叫作指数 例如:在中,底数是5,指数是4,读作“5的4次方”或“5的4次幂” 点拨：指数就是相同乘数的个数,底数就是相同的乘数. 【基础练习1-1】（24-25七年级上·云南昆明·期中）表示的意义是（    ） A．2和5相乘的相反数 B．5个2相乘的相反数 C．5个相乘 D．2个5相乘的相反数 【基础练习1-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）在中，底数是__________，指数是__________； 乘方运算 知识点二 1、乘方运算 乘方运算是一种新的运算,可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算,即 2、符号法则 点拨：乘方运算的关键 有理数的乘方运算同有理数的加、减、乘、除运算一样，确定幂的符号是解题的关键，确定符号时一般先看底数，后看指数. 【基础练习2-1】（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【基础练习2-2】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）在，，，中，结果是负数的有_________个． 有理数的混合运算 知识点三 1、运算顺序 (1)先乘方,再乘除,最后加减:(2)同级运算，从左到右进行;(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行. 2、运算方法 运用有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方法则进行计算. 巧记：混合运算分三级，运算顺序高到低.乘方乘除再加减.只有同级左到右. 提醒：在遵守运算顺序的前提下，灵活运用运算律，可使运算准确、快捷. 【基础练习3-1】（25-26七年级上·陕西安康·期末）计算：． 【基础练习3-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）淇淇计算时，步骤如下： 解：原式① ② ．③ （1）在淇淇的计算过程中，开始出现错误的步骤是________（填序号）． （2）正确的答案是________． 题型1 有理数乘方的概念 【典例】（24-25八年级上·福建厦门·期中）的含义是（   ） A． B． C． D． 【变式练习1-1】（24-25七年级上·天津河西·期中）关于，下列语句不正确的是（    ） A．表示 B．底数是，指数是3 C．读作的3次方 D．计算结果等于125 【变式练习1-2】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）________（结果用含的式子表示）． 乘数相乘化乘方，乘数来把底数当，乘数个数当指数，乘方结果称为幕. 题型2 有理数乘方的运算 【典例】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式练习2-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）老师出了一道计算题，计算：． 嘉嘉的计算过程如下： 解：原式（第一步） （第二步） ．（第三步） (1)请问嘉嘉的计算过程是从第几步开始出错的？ (2)请把正确的计算过程写出来． 【变式练习2-2】（25-26七年级上·福建福州·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 乘方运算的两种方法 (1)按照乘方的定义，先将乘方化为乘法，再根据乘法法则进行计算； (2)根据乘方的符号法则，先确定家的符号，再求幂的绝对值. 题型3 有理数乘方的逆运算 【典例】（25-26七年级下·四川成都·期末）若，，则______． 【变式练习3-1】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若，则______． 【变式练习3-2】（25-26七年级上·四川泸州·期中）若，且，则的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 乘方运算 是已知底数和指数求幂。逆运算则是已知结果（和其中一个量），反求底数或指数。解题的关键是把“求幂”的思维反过来，从“结果”出发，寻找它是“谁的几次方”。 题型4 含乘方的有理数混合运算 【典例】（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）计算： 【变式练习4-1】（25-26七年级上·安徽安庆·期末）计算： (1) (2)． 【变式练习4-2】（25-26七年级上·全国·单元测试）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（   ） 甲： 乙： 丙： 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 有理数的混合运算有妙招 (1)可以以加减号为界,把算式分成几部分，各部分可同时单独运算。 (2)计算时，通常把小数化成分数，带分数化成假分数：做乘除或乘方运算时，应先确定积、商或暴的符号。 题型5 乘方的应用 【典例】（26-27七年级·全国·小升初衔接）手工拉面是我国的传统面食，制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为一扣），如此反复操作，连续拉扣若干次后，便成了许多细细的面条．你能算出拉扣7次后共有多少根面条吗？ 【变式练习5-1】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）将厚0.1毫米的一张纸对折，再对折，这样对折4次后，这张纸厚( )毫米． 【变式练习5-2】（25-26七年级上·福建漳州·期中）如图，某种细菌在适宜环境下，细胞每过30分钟便会由1个分裂成2个，经过4小时，1个细胞能分裂成（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型6 程序流程图与有理数的计算 【典例】（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）如图是一个数值转换机，若输入的数为3，则输出的数是___________． 【变式练习6-1】（25-26七年级上·贵州铜仁·阶段检测）根据流程图中的程序，若输入x的值为，则输出y的值为（    ） A．21 B．35 C．7 D．16 【变式练习6-2】（24-25七年级上·河南商丘·期中）仔细观察下图的操作步骤，然后回答问题．（写出计算过程） 求当输入的数分别是和4时，输出的数分别是多少？ 1. 解题步骤：1、读图：标出流程图中每一步的运算和判断条件，明确“从输入到输出”的完整路径。 2. 2、定方向：判断题目是正向计算、逆向推导，还是循环/多分支处理。 3. 3、逐步执行或反推：正向时严格按顺序代入；逆向时符号取反、顺序颠倒。 4. 4、处理循环：若有多轮循环，算到出现规律为止，用周期或收敛值快速定位。 5. 5、验证：把结果代回流程图，确认它确实满足输出条件。 题型7 偶次方的非负性运用 【典例】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）若，则______． 【变式练习7-1】（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）若与互为相反数，那么______． 【变式练习7-2】（25-26七年级上·浙江温州·期末）根据下边的数值转换器，当输入的x、y满足时，求输出的结果_______． 解题步骤： 1. 1、识别非负项：找出式子中哪些项具有非负性（偶次方、绝对值等）。 2. 2、选择方法：“几个非负数之和 = 0” → 用 “0 + 0 = 0”模型，分别令各项为0； 3、求解方程：解出未知字母的值。 3. 4、代回验证：将结果代入原式检验是否满足条件。 题型8 含乘方的新定义问题 【典例】（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）数学老师规定了一种新运算：若，是有理数，则，请你计算：；． 【变式练习8-1】（25-26六年级上·上海·阶段检测）请阅读材料，并解决问题 生活中常用“分贝（）”衡量声音响度，规定：若（L为声音的响度值），则k称为L的“分贝指数”，记为．由定义可知：与表示k、L之间的同一关系．“分贝指数”有如下运算性质： 若A、B为正响度值，则，． (1)根据“分贝指数”的定义，填空： ， ； (2)根据运算性质，填空： （m为正响度值且）； (3)若，计算的值． 【变式练习8-2】（25-26七年级上·广东珠海·期中）规定一种运算符号“”的法则为：，则的值______． (1)解读:新定义题是指题目提供一定的材料介绍一个新概念或给出一种新解法 等，在理解材料的基础上，获得探索解决问题的方法，从而加以运用，进而解决问题.这类问题一般由“阅读理解”和“提出问题”两部分组成.解决问题时需要通过类比、分析、推理等探索活动来确定解决问题的方法. (2)通法：解决此类问题一般要经过三步，即①深刻理解“新定义”;②重视“举例”:③类比新定义中的概念、原理、方法，解答提出的问题. (3)分类：新定义题分为方法模拟型、新知识学习型、信息处理型、阅读操作发四种. (4)能力、素养：主要考查创新思维能力、推理能力、归纳总结能力，提升模型观念、推理能力、抽象能力的数学素养。 题型9 计算器与有理数 【典例】（25-26六年级上·山东淄博·期末）使用科学计算器进行计算，其按键顺序为： 则输出结果为（     ） A． B． C． D． 【变式练习9-1】（25-26七年级上·全国·周测）用操作计算器的方法计算，第5个按键是（    ） A． B． C． D． 【变式练习9-2】（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图若用我们数学课本上采用的科学计算器按顺序输入，它表示的计算式是_______． 1. 解题步骤： 2. 1、分析算式结构：先看清运算类型（加减乘除、乘方、混合运算），确定运算顺序。 3. 2、判断符号与近似范围：根据有理数法则先判断结果的符号。 4. 3、确定按键顺序：按算式书写顺序输入，注意负号键和括号键的正确使用。 5. 4、读取并处理结果：根据题目要求保留符合题意的结果。 6. 5、结合算理验证：用有理数法则判断结果是否合理，矛盾则检查按键。 题型10 24点问题 【典例】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）游戏“ 点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为 ，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出符合规则的算式． 【变式练习10-1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． (2)想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 【变式练习10-2】（25-26七年级上·贵州铜仁·阶段检测）同学们；经典算24是随机抽取4张不同的扑克牌，把牌面数字用加减乘除四则运算、括号得到24的一种数学游戏．中文名算24英文名Calculate．我们新学习了乘方运算后，再加上乘方运算，算得24的可能性无疑就会增多．某同学一次游戏中抽到：2，5，3，4四张牌面．请利用加减乘除、括号经典算法或者再加上乘方写出五种不同组合类型的算法算式（雷同、重复不计分）：①______，②______，③_______，④_______，⑤______． 1. 方法总结： 2. 1、观察数字：看四个数中有没有3、8、4、6、2、12这些24的因数； 3. 2、考虑乘方：如果没有直接可用的因数，尝试对某个数做乘方，把它变成需要的因数（特别是、、2、3等容易变形的小数）； 4. 3、确定符号：判断结果需要正还是负，用奇次方或偶次方调整； 5. 4、套用模型：尝试六种常用模型，用乘方替换其中的某个数； 6. 5、验算：把算式完整算一遍，确认每步运算正确、每个数只用一次。 题型11 进制问题 【典例】（24-25七年级上·广西南宁·期中）综合与实践 【知识介绍】进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．我们常用的数是十进制数，如：要用个数码（又叫数字）：，，，，，，，，，．在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：和，如二进制中：等于十进制的数，等于十进制的数21． （注意：对于任何非零数都有，例如：） 【解决问题】 (1)二进制中的数等于十进制中的哪个数？ 【应用拓展】 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满四进一，用来记录孩子自出生后的天数． (2)下图中“结绳记数”表示的四进制数是______． (3)求该妇女的孩子出生了多少天？（结果用十进制数表示） 【变式练习11-1】（25-26九年级上·重庆·期末）阅读下列材料并解决问题 进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为，即可称进制．现在最常用的是十进制，通常使用个阿拉伯数字进行记数，特点是逢十进一． 对于任意一个用进制表示的数，通常使用个阿拉伯数字进行记数，特点是逢进一．我们可以通过以下方式把它转化为十进制： 例如：五进制数，记作∶， 七进制数，记作∶ (1)请将以下两个数转化为十进制：____________，____________ ； (2)若一个正数可以用七进制表示为，也可以用五进制表示为，请求出这个数并用十进制表示． 【变式练习11-2】（25-26七年级上·重庆荣昌·期末）我们知道，在三进制中，数，比如，即，则__________． 1. 1、识别进制：看清题目中每个数的右下角标，确认它是几进制； 2. 2、明确方向：判断题目要求的是“N进制→十进制”“十进制→N进制”，还是“不同进制间比较/运算”； 3. 3、展开求和或除N取余：向十进制转换用展开求和，从十进制转出用除N取余； 4. 4、检验：把结果代回原式验证，确认转换无误。 题型12 含乘方的规律探究问题 【典例】（25-26七年级下·安徽亳州·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)运用你发现的规律求的值． 【变式练习12-1】（24-25七年级上·山西长治·期中）探寻规律，学以致用 (1)把左右两边计算结果相等的式子用线连接起来： 观察上面计算结果相等的各式之间的关系，可归纳出的结论是：______． (2)利用上述规律计算下式的值： ． 【变式练习12-2】（24-25九年级上·云南普洱·期末）按照一定规律排列的单项式：x，，，，，…按照上述规律，第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 探究规律的妙招---由特殊到一般 求解规律探究问题时，一般要先从特殊情况入手，归纳出一般情况，再猜想验证，得出一般规律. 综合检测 一．选择题 1．（24-25七年级上·北京昌平·期中）式子表示（   ） A．5个相乘 B．2个相乘 C．5个2相乘的积的相反数 D．2个5相乘的积的相反数 2．（24-25九年级下·江西抚州·阶段检测）计算的结果等于（    ） A． B．1 C． D． 3．（25-26七年级上·湖北襄阳·阶段检测）根据如图所示的流程图计算，若输入x的值为，则输出y的值为（   ） A． B．21 C． D．3 4．（25-26七年级上·河南·期中）在有理数，，，，中，负整数一共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26六年级上·山东烟台·期末）用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算时，按键顺序与显示结果不对应的是（  ）． A．按键顺序为显示结果为 B．按键顺序为显示结果为 C．按键顺序为显示结果为 D．按键顺序为显示结果为 6．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）若则的值为（     ） A．3 B．9 C．8 D． 7．（25-26八年级下·重庆忠县·期中）将一些完全相同的梅花按如图所示的规律摆放，第1个图形有5朵梅花，第2个图形有8朵梅花，第3个图形有13朵梅花，⋯，按此规律，则第6个图形中共有梅花的朵数是（　　） A．39 B．40 C．41 D．42 8．（24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 9．（25-26七年级上·河南新乡·期中）在人工智能的众多算法和数据处理中，经常涉及不同进制数之间的转换操作．二进制数可用十进制表示为（规定当时，），同样地，三进制数可用十进制表示为．现有二进制数，三进制数，那么a，b的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 10．（25-26七年级上·北京海淀·期末）对于一个正整数A，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作，如果在某一次计算之后得到1，就称最初的正整数A为“快乐数”、例如：7→49→97→130→10→1，所以7是“快乐数”．关于“快乐数”，有以下结论： ①2026是“快乐数”； ②将一个“快乐数”的各位数字任意重新排序，所得新数（最高位不是0）仍是“快乐数”； ③若一个正整数的各位数字的平方和是“快乐数”，则这个正整数也是“快乐数” 所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二．填空题 11．（2026七年级上·全国·专题练习）计算： ______． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则________． 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：． 解：（________）（________）________． 14．（24-25七年级上·四川·阶段检测）现规定两种新运算“”和“⊙”，对任意有理数a、b，规定：，，那么______． 15．（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）《庄子》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第5次截取后剩下的木棒长度为_________尺． 16．（25-26六年级上·山东烟台·期中）你会玩“点”游戏吗？共一副扑克牌（去掉“大王”，“小王”）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次）使得运算结果为，期中，，分别代表，，，如果小明抽到了，，，，可用算式得到；如图是小刚抽到的四张牌，请用算式得到：     _________________________________________． 17．（25-26七年级上·河北沧州·期中）现在有一种结绳记数方法，满七进一，可以将七进制数转换为十进制数．将图1的结绳记数转换成十进制数为：．则将图2的结绳记数转换成十进制数为________． 18．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）在高等数学中存在运算（极限），如的意思为当非常非常大的时候，可以趋近于0，故可以认为，那么的值为___________． 三．解答题 19．（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 20．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）计算：． 21．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）有一块面积为2米2的正方形纸片，第1次剪掉一半，第2次剪掉剩下纸片的一半，如此继续剪下去，第6次后剩下的纸片的面积是多少米2？ 22．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 23．（25-26七年级上·重庆开州·期中）设a，b都表示有理数，规定一种新运算“”：当时， ；当时，． 例如：． (1)求的值； (2)比较与 24．（2026·湖北恩施·一模）综合与实践： 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，十进制数一般不标注基数． 材料一：十进制数中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一，于是我们得到了下面的式子（规定当时，）：． 例如，二进制数，转换为十进制数为：． 材料二：将十进制数转化为二进制数可以用除2取余法， 例如，将十进制数转换为二进制数的除法算式如图，将上式中各步所得的余数按照逆序排列，即可得． 此方法可推广为把十进制数转换为进制数的算法（除取余法）． 根据上述材料解答下列问题： (1)二进制数对应的十进制数是______，十进制数对应的二进制数为______． (2)中国古代的十二地支，十二生辰，十二生肖等都属于十二进制的应用．十二进制使用，，，，，，，，，，，来计数．其中代表，代表．请结合以上材料计算十进制数对应的十二进制数为______． (3)有一种密钥破解方式，先将二进制明码数转成十进制数后，再按以下规则获得密码：当为奇数时，破解公式为，当为偶数时，破解公式为．则破解二进制明码表示的密码为______． 25．（2026·安徽六安·模拟预测）【资料阅读】史料：如图1，是我国南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》一书中出现的，称为“杨辉三角”据资料记载，此图是杨辉取自贾宪所著《释锁算书》，故也称“贾宪三角”，欧洲人帕斯卡在1654年也有类似的发现，称为“帕斯卡三角形”，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年，杨辉三角是一种离散型数与形的结合，把组合数内在的一些规律直观地从图形中体现了出来，是中国古代数学的杰出研究成果之一． 规定：若，则． (1)【问题探究】将“杨辉三角”简化为图2，按照规律： ①第8行添加的数分别为_____；（相邻两数之间要用“，”分隔开） ②第100行的数之和用幂可以表示为_____． (2)如图3，分别画出7条斜线，并计算出了每条斜线经过的数之和．若继续画出第10条斜线，该直线经过的数之和为_____． (3)【拓展延伸】结合“问题探究”中问题（2）揭示的规律，作如下正方形（数字即为正方形的边长）： 利用上面的正方形按一定规律建构如下长方形，并依次记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④． 按照这样的规律继续建构长方形，则长方形⑪的周长为______． 26．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）阅读材料，并解答问题： 我们知道，如果a、b都是整数，并且有整数c，使得，①那么就称b为a的约数．通常我们只讨论正整数的正约数，即①中的a，b，c都是正整数，以下如不特别申明，所有的字母都表示正整数． 72有多少个约数？ 不难一一列举，72的约数有12个，它们是1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72．请注意其中包含1及72本身． 有没有一个公式，可以帮助我们算出一个数的约数的个数呢？ 有的．如果将72分解为质因数的乘积，即② 那么72的所有约数都是③的形式，其中可取4个值：0，1，2，3；可取3个值：0，1，2；（例如：在，时，③是1；在，时，③是72）． 因此，72的约数共有（个）． 一般地，设有自然数n可以分解为，其中，，，是不同的质数，，，，是正整数，其中可取个值：0，1，2，3，，；可取个值，0，1，2，3，，；可取个值，0，1，2，3，，；所以n的约数共有个． 根据上述材料请解答以下题目： (1)试求6000的约数个数； (2)恰有10个约数的数最小是多少？ (3)求144的所有的约数和． 中考真题 1．（2023·浙江杭州·中考真题）（    ） A．0 B．2 C．4 D．8 2．（2025·四川巴中·中考真题）所有放射性物质都有自己的半衰期．半衰期是放射性物质的质量缩减为原来的一半所用的时间，是一个不变的量．质量为的放射性物质，经历了个半衰期后的质量为（   ）． A． B． C． D． 3．（2025·山东威海·中考真题）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $