3.1.2 勾股定理的证明 同步作业 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 防抄袭双卷设计兼顾分层与题型练习，主体一致题目夯实基础知识点，少量差异题实现适度提升，适配新授课知识巩固与核心素养培养需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|核心知识点|主体一致题目，巩固概念理解与运算能力| |提升层|综合应用|少量差异题（换数据、调选项），培养推理意识与创新意识|

八年级上 3.1.2 勾股定理的证明　同步作业 八年级上 3.1.2 勾股定理的证明　同步作业 班级＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿　学号＿＿＿＿＿ 基础练习 · 分层题型目录 题型一　弦图面积求边长 1 题型二　弦图求小正方形面积 2 题型三　弦图与特殊角求线段 3 题型四　弦图求小正方形边长 4 题型五　弦图面积关系求大正方形面积 5 题型六　八直角弦图面积关系 6–7 题型七　弦图构成识别 8 提升练习 · 分层题型目录 题型一　弦图求小正方形边长 9 题型二　弦图面积关系求代数式 10–11 题型三　弦图求小正方形面积 12 题型四　外展正方形面积关系 13 题型五　弦图面积关系求S1 14 题型六　青朱出入图面积关系 15 题型七　八直角弦图面积和 16 题型八　赵爽弦图补证勾股定理 17 题型九　弦图验证勾股定理 18 题型十　面积法验证勾股定理 19 题型11　弦图与总统证法探究 20 题型12　新证法综合实践 21 基础练习 题型一　弦图面积求边长 1．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b且ab＝6，则图中大正方形的边长为（ ___ ） A．5 B． C．4 D．3 题型二　弦图求小正方形面积 2．如图是“赵爽弦图”，其中△ABH，△BCG，△CDF，△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝10，DE＝6，那么小正方形EFGH的面积是（ ___ ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型三　弦图与特殊角求线段 3．由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”．图中正方形ABCD的边长是2，∠ABE＝30°，则EG＝（ ___ ） A． B． C． D． 题型四　弦图求小正方形边长 4．公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾a＝3，弦c＝5，则小正方形ABCD的边长是 ___ ． 题型五　弦图面积关系求大正方形面积 5．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n＝21，则大正方形面积为 ___ ． 题型六　八直角弦图面积关系 6．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，是由弦图变化得到的，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为、、．若++＝10，则 ___ ＝ ___ ． 7．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为、、．若++＝18，则的值是 ___ ． 题型七　弦图构成识别 8．如图被称为“赵爽弦图”，在北京举办的第24届国际数学大会上被作为会徽的取材．该图案是由平面图形 ___ 和 ___ 构成的． 提升练习 题型一　弦图求小正方形边长 9．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝24，大正方形的面积为129，则小正方形的边长为（ ___ ） A．9 B．10 C．11 D．12 题型二　弦图面积关系求代数式 10．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b，那么（a+b的值是（ ___ ） A．20 B．12 C．24 D．25 11．如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中AF＝a，DF＝b，连接AE，BE，若△ADE与△BEH的面积相等，则的值为 ___ ． 题型三　弦图求小正方形面积 12．我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图是用四个全等的直角三角形拼接而成的，已知Rt△ABF的周长等于14，正方形ABCD的边长是6，则正方形EFGH的面积为（ ___ ） A． B．8 C．20 D． 题型四　外展正方形面积关系 13．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以Rt△ABC的三条边为边长向外作正方形ABED，正方形ACHI，正方形BCGF，连接CE．若BC＝8，AB＝10，则△BCE的面积为（ ___ ） A．40 B．32 C．24 D．18 题型五　弦图面积关系求S1 14．如图是由四个相同的直角三角形拼成的一个大正方形EFGH和一小正方形ABCD，设小正方形ABCD的面积为，大正方形EFGH的面积为，每个直角三角形的面积为若且+＝22，则＝ ___ ． 题型六　青朱出入图面积关系 15．青朱出入图（图）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图，若记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，已知b﹣a＝3，+＝29，则图中的阴影部分面积为 ___ ． 题型七　八直角弦图面积和 16．如图是用八个全等的直角三角形拼成的“弦图”．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，，，若正方形EFGH的边长为，则++＝ ___ ． 题型八　赵爽弦图补证勾股定理 17．阅读材料，回答问题： （1）中国古代数学著作《周髀算经》（如图）有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，那么a，b，c，三者之间的数量关系是 ___ ． （2）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整： 证明：∵，，＝ ___ ，且 ___ ＝ ___ ， ∴，整理得+2ab+＝2ab+，∴ ___ ． 题型九　弦图验证勾股定理 18．如图是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．a和b，斜边长为c． （1）如图请你用它验证勾股定理． （2）如图四边形ABCD中AC⊥BD于点O，AB＝6，BC＝5，CD＝2，请直接写出AD＝ ___ ． 题型十　面积法验证勾股定理 19．如图，AC⊥BC，DB⊥BC，垂足分别为C，B，点E在BC上，连接DE，交AB于点F，AC＝EB，AB＝DE． （1）判断：AB与DE的位置关系，并说明理由； （2）连接AD，AE，若AC＝a，BC＝b，AB＝c，通过用不同方法计算四边形ACBD的面积（即“算两次”思想），验证勾股定理． 题型11　弦图与总统证法探究 20．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． （1）如图，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板．①设AH＝a，BH＝b，AB＝c，请你利用图验证：+＝；②若大正方形ABCD的边长为13，小正方形EFGH的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？ （2）如图，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓（实线）的周长为48，OB＝6，求这个图案的面积． 题型12　新证法综合实践 21．综合与实践． 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论+＝．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的Rt△ABC和Rt△DEA按如图所示的方式放置，其三边长分别为a，b，c，∠BAC＝∠DEA＝90°，显然BC⊥AD． （1）请用a，b，c，分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，△BDE的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2+b2＝c2． 【方法迁移】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，边BC上的高为　 　 ． （3）如图4，在△ABC中，AD是边BC上的高，AB＝5，AC＝6，BC＝7．设BD＝x，求x的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 防抄袭同步作业 · 通用说明文档 初中数学 · 授课教师参考 一、资料整体介绍 本资料是面向初中数学课堂的同步作业，专为防治作业抄袭而设计.兼顾分层作业和题型练习两个功能. 整套资料由四份文件组成：本说明文档、甲卷、乙卷、答案解析（详见板块四）. 甲、乙两卷主体题目完全一致，仅在极少数题目上设置差异【换题目数据，调整选项位置等细微差异】，既保留常规作业形态，又让抄袭无处遁形. 二、防抄袭设计说明 以下仅说明成品特性，便于教师快速了解资料结构： 1　 双卷结构：资料分为甲、乙两套学生卷，并为教师配套【教师速抄版答案】与【详细分步解析版】两套答案，批改时各取所需. 2　 少量差异题：随机选取少量题目制作差异试题，其余题目在甲、乙两卷中保持一致，最大程度减轻教师的批改与讲评负担. 三、教师使用指导 · 发卷：甲、乙两卷随机发放即可；学生不仔细审题无法分辨自己拿到的是哪一版. · 批改：绝大多数题目两卷答案相同，可照常批改；少数差异题请对照《答案解析》首页的差异题提示，核对该生所答卷面的答案. · 讲评：直接使用《答案解析》中的分步解析版，甲、乙两卷通用，无需分别准备. 四、配套文件说明 本套资料共包含以下 4 份文件，均可单独打印与分发： 文件 说明 通用说明文档 防抄袭设计说明与教师使用指引（即本文件） 甲卷 学生练习卷 乙卷 学生练习卷 答案解析 教师用：速抄版答案 + 分步解析版，首页标注差异题 学科网（北京）股份有限公司 $八年级上 3.1.2 勾股定理的证明　同步作业 八年级上 3.1.2 勾股定理的证明　同步作业 班级＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿　学号＿＿＿＿＿ 基础练习 · 分层题型目录 题型一　弦图面积求边长 1 题型二　弦图求小正方形面积 2 题型三　弦图与特殊角求线段 3 题型四　弦图求小正方形边长 4 题型五　弦图面积关系求大正方形面积 5 题型六　八直角弦图面积关系 6–7 题型七　弦图构成识别 8 提升练习 · 分层题型目录 题型一　弦图求小正方形边长 9 题型二　弦图面积关系求代数式 10–11 题型三　弦图求小正方形面积 12 题型四　外展正方形面积关系 13 题型五　弦图面积关系求S1 14 题型六　青朱出入图面积关系 15 题型七　八直角弦图面积和 16 题型八　赵爽弦图补证勾股定理 17 题型九　弦图验证勾股定理 18 题型十　面积法验证勾股定理 19 题型11　弦图与总统证法探究 20 题型12　新证法综合实践 21 基础练习 题型一　弦图面积求边长 1．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b且ab＝6，则图中大正方形的边长为（ ___ ） A．5 B．3 C． D．4 题型二　弦图求小正方形面积 2．如图是“赵爽弦图”，其中△ABH，△BCG，△CDF，△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝10，DE＝6，那么小正方形EFGH的面积是（ ___ ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型三　弦图与特殊角求线段 3．由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”．图中正方形ABCD的边长是2，∠ABE＝30°，则EG＝（ ___ ） A． B． C． D． 题型四　弦图求小正方形边长 4．公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾a＝3，弦c＝5，则小正方形ABCD的边长是 ___ ． 题型五　弦图面积关系求大正方形面积 5．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n＝21，则大正方形面积为 ___ ． 题型六　八直角弦图面积关系 6．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，是由弦图变化得到的，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为、、．若++＝10，则 ___ ＝ ___ ． 7．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为、、．若++＝18，则的值是 ___ ． 题型七　弦图构成识别 8．如图被称为“赵爽弦图”，在北京举办的第24届国际数学大会上被作为会徽的取材．该图案是由平面图形 ___ 和 ___ 构成的． 提升练习 题型一　弦图求小正方形边长 9．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝24，大正方形的面积为129，则小正方形的边长为（ ___ ） A．12 B．11 C．10 D．9 题型二　弦图面积关系求代数式 10．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b，那么（a+b的值是（ ___ ） A．20 B．12 C．25 D．24 11．如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中AF＝a，DF＝b，连接AE，BE，若△ADE与△BEH的面积相等，则的值为 ___ ． 题型三　弦图求小正方形面积 12．我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图是用四个全等的直角三角形拼接而成的，已知Rt△ABF的周长等于14，正方形ABCD的边长是6，则正方形EFGH的面积为（ ___ ） A． B．8 C．20 D． 题型四　外展正方形面积关系 13．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以Rt△ABC的三条边为边长向外作正方形ABED，正方形ACHI，正方形BCGF，连接CE．若BC＝8，AB＝10，则△BCE的面积为（ ___ ） A．40 B．32 C．24 D．18 题型五　弦图面积关系求S1 14．如图是由四个相同的直角三角形拼成的一个大正方形EFGH和一小正方形ABCD，设小正方形ABCD的面积为，大正方形EFGH的面积为，每个直角三角形的面积为若且+＝22，则＝ ___ ． 题型六　青朱出入图面积关系 15．青朱出入图（图）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图，若记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，已知b﹣a＝3，+＝29，则图中的阴影部分面积为 ___ ． 题型七　八直角弦图面积和 16．如图是用八个全等的直角三角形拼成的“弦图”．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，，，若正方形EFGH的边长为，则++＝ ___ ． 题型八　赵爽弦图补证勾股定理 17．阅读材料，回答问题： （1）中国古代数学著作《周髀算经》（如图）有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，那么a，b，c，三者之间的数量关系是 ___ ． （2）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整： 证明：∵，，＝ ___ ，且 ___ ＝ ___ ， ∴，整理得+2ab+＝2ab+，∴ ___ ． 题型九　弦图验证勾股定理 18．如图是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．a和b，斜边长为c． （1）如图请你用它验证勾股定理． （2）如图四边形ABCD中AC⊥BD于点O，AB＝6，BC＝5，CD＝2，请直接写出AD＝ ___ ． 题型十　面积法验证勾股定理 19．如图，AC⊥BC，DB⊥BC，垂足分别为C，B，点E在BC上，连接DE，交AB于点F，AC＝EB，AB＝DE． （1）判断：AB与DE的位置关系，并说明理由； （2）连接AD，AE，若AC＝a，BC＝b，AB＝c，通过用不同方法计算四边形ACBD的面积（即“算两次”思想），验证勾股定理． 题型11　弦图与总统证法探究 20．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． （1）如图，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板． ①设AH＝a，BH＝b，AB＝c，请你利用图验证：+＝； ②若大正方形ABCD的边长为13，小正方形EFGH的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？ （2）如图，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓（实线）的周长为48，OB＝6，求这个图案的面积． 题型12　新证法综合实践 21．综合与实践． 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论+＝．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的Rt△ABC和Rt△DEA按如图所示的方式放置，其三边长分别为a，b，c，∠BAC＝∠DEA＝90°，显然BC⊥AD． （1）请用a，b，c，分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，△BDE的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2+b2＝c2． 【方法迁移】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，边BC上的高为　 　 ． （3）如图4，在△ABC中，AD是边BC上的高，AB＝5，AC＝6，BC＝7．设BD＝x，求x的值． 学科网（北京）股份有限公司 $八年级上 3.1.2 勾股定理的证明　同步作业·答案与解析 本次防抄袭差异题题号 甲、乙卷仅以下题目的题干内部数字不同（解题方法相同、答案不同），其余各题两卷完全一致.批改时以该生所答卷面为准： 　　第 1 题、第 9 题、第 10 题 第一部分　答案速查版（批改用） 甲、乙卷答案或解法不同者只列一次；不同者行首标「异」并以两栏并排（左甲/右乙）呈现，乙栏标红.（空答案题显示「详见解析」） 【异】1． 【甲】 B． 【乙】 C 2．C．4 3．C． 4．1 5．13 6． 7．6， 8．两个正方形，四个直角三角形 【异】9． 【甲】 A．9 【乙】 D 【异】10． 【甲】 D．25 【乙】 C 11．1 12．B．8 13．B．32 14．3 15．10 16．18 17．（1）在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，则+＝，　 （2）证明见详细解答　 （3）设AE＝CE＝x，则BE＝8﹣x，　在Rt△ABE中，由勾股定理得，＝+（8﹣x，　 解得x＝5，　∴AE＝5，　∴BE＝3． 18．（1）＝（b﹣a＝﹣2ab+，另一方面＝﹣4ab＝﹣2ab，　 即﹣2ab+＝﹣2ab，　∴+＝；　 （2）AD． 19．（1）AB⊥DE．　理由：见详细解答　 　（2）如图，　由（1）知Rt△ABC≌Rt△EDB，　 ∴BC＝DB＝b，AC＝EB＝a，AB＝ED＝c，CE＝BC﹣EB＝b﹣a．　 ∴＝（a+b）bab，　 ∵AB⊥DE，　∴＝+a（b﹣a）ab，　∴abab，　整理，得+＝． 20．（1）①证明：∵中间小正方形的边长为b﹣a，　 ∴小正方形的面积为（b﹣a．　 又∵四个直角三角形的面积为：，　 ∴大正方形的面积为：（b﹣a+2ab＝+．　 又∵大正方形的边长为c，　 ∴大正方形的面积还可以表示为，　 ∴+＝．　 ②直角三角形两直角边之和为17．　 （2）． 21．（1）证明见详细解答 　　（2）， 　　（3）解：在Rt△ABD中， 　　＝﹣＝﹣＝25﹣． 　　由题意，得CD＝BC﹣BD＝7﹣x． 　　在Rt△ACD中， 　　得＝﹣＝﹣（7﹣x＝﹣13+14x﹣． 　　∴25﹣＝﹣13+14x﹣， 　　解得：． 第二部分　分步详解（讲评用） 第 1 题　基础层 【解答】 题干：如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b且ab＝6，则图中大正方形的边长为（ ___ ） 【甲卷】 选项：A．5 B． C．4 D．3 ∵ab＝6， ∴直角三角形的面积是ab＝3， ∵小正方形的面积是1， ∴大正方形的面积＝1+4×3＝13， ∴大正方形的边长为， 答：B． 【乙卷】 选项：A．5 B．3 C． D．4 ∵ab＝6， ∴直角三角形的面积是ab＝3， ∵小正方形的面积是1， ∴大正方形的面积＝1+4×3＝13， ∴大正方形的边长为， 答：C 第 2 题　基础层 【解答】 A．2 B．3 C．4 D．5 　　∵AB＝10，DE＝AH＝6， 　　∴BH8， 　　∴HG＝BH﹣BG＝BH﹣AH＝8﹣6＝2， 　　∴小正方形EFGH的面积是4， 　　答：C．4 第 3 题　基础层 【解答】 A． B． C． D． 　　∵∠AEB＝90°，∠ABE＝30°，AB＝2， 　　∴AE， 　　∴BE， 　　∴EF＝BE﹣BF＝BE﹣AE， 　　∵四边形EFGH是正方形， 　　∴EG， 　　答：C． 第 4 题　基础层 【解答】 　　根据勾股定理可得， 　　∴小正方形ABCD的边长为4﹣3＝1， 第 5 题　基础层 【解答】 　　∵小正方形面积为5， 　　∴（m﹣n＝5， 　　又∵（m+n＝21， 　　∴（m+n﹣（m﹣n＝16， 　　∴2mn＝8， 　　∴+＝21﹣8＝13， 　　即大正方形面积为13， 第 6 题　基础层 【解答】 　　设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且a＞b， 　　由题意可知：＝（a+b，＝+，＝（a﹣b， 　　∵++＝10，即（a+b+++（a﹣b＝10， 　　∴3（+）＝10， 　　∴3＝10， 　　∴的值是． 第 7 题　基础层 【解答】 　　∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形， 　　∴CG＝NG，CF＝DG＝NF， 　　∴＝（CG+DG 　　＝++2CG•DG 　　＝+2CG•DG， 　　＝， 　　＝（NG﹣NF＝+﹣2NG•NF， 　　∴++＝+2CG•DG+++﹣2NG•NF＝3＝18， 　　∴＝6， 　　∴＝＝6， 第 8 题　基础层 【解答】 　　如图这个图形有两个正方形，四个直角三角形组成． 第 9 题　提升层 【解答】 题干：“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝24，大正方形的面积为129，则小正方形的边长为（ ___ ） 【甲卷】 选项：A．9 B．10 C．11 D．12 由题意知小正方形的边长是a﹣b，由勾股定理得：+＝129， ∵（a﹣b＝+﹣2ab＝129﹣2×24＝81， ∴a﹣b＝9（a＞b）， ∴小正方形的边长为9． 答：A．9 【乙卷】 选项：A．12 B．11 C．10 D．9 由题意知小正方形的边长是a﹣b，由勾股定理得：+＝129， ∵（a﹣b＝+﹣2ab＝129﹣2×24＝81， ∴a﹣b＝9（a＞b）， ∴小正方形的边长为9． 答：D 第 10 题　提升层 【解答】 题干：“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b，那么（a+b的值是（ ___ ） 【甲卷】 选项：A．20 B．12 C．24 D．25 ∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a，b， ∴+＝13， ∴四个全等的三角形的面积为﹣＝13﹣1＝12， ∴， 解得，ab＝6， ∵（a+b＝++2ab＝13+2×6＝25， ∴（a+b的值是25， 答：D．25 【乙卷】 选项：A．20 B．12 C．25 D．24 ∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a，b， ∴+＝13， ∴四个全等的三角形的面积为﹣＝13﹣1＝12， ∴， 解得，ab＝6， ∵（a+b＝++2ab＝13+2×6＝25， ∴（a+b的值是25， 答：C 第 11 题　提升层 【解答】 　　图中AF＝a，DF＝b，连接AE，BE，若△ADE与△BEH的面积相等， 　　∵DE＝AF＝a，BH＝DF＝b，EH＝EF，AF⊥DF，BH⊥EH， 　　∴EH＝EF＝DF﹣DE＝b﹣a， 　　∴△ADE的面积为， 　　△BEH的面积为， 　　∴，即ab＝﹣， 　　∴， 第 12 题　提升层 【解答】 A． B．8 C．20 D． 　　已知Rt△ABF的周长等于14，正方形ABCD的边长是6， 　　∴AF+BF＝14﹣6＝8，+＝＝36， 　　∴2AF•BF＝（AF+BF﹣（+）＝﹣36＝28， 　　∴（AF﹣BF＝+﹣2AF•BF＝36﹣28＝8， 　　∵AF＝BG，EF＝FG， 　　∴AE＝BF， 　　∴＝（AF﹣AE＝8， 　　∴正方形EFGH的面积为8， 　　答：B．8 第 13 题　提升层 【解答】 A．40 B．32 C．24 D．18 　　连接AF，如图， 　　∵BC＝8，AB＝10， 　　∴AC6， 　　∴6×8＝24， 　　∵四边形ABED和四边形BCGF都是正方形， 　　∴AB＝EB，BF＝BC，∠ABE＝∠CBF， 　　∴∠EBC＝∠ABF， 　　∴△BCE≌△BFA， 　　∵BF＝BC＝8， 　　∴＝＝64+24（8+6）×8＝32， 　　答：B．32 第 14 题　提升层 【解答】 　　由图形的组成易知大正方形的面积等于4个直角三角形的面积与小正方形面积的和， 　　∴＝4+， 　　∵，+＝22， 　　∴，＝22﹣， 　　∴22﹣＝4+， 　　解得＝3． 第 15 题　提升层 【解答】 　　如图， 　　∵朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b， 　　∴GD＝GH＝a，CD＝BC＝b， 　　∵朱入与朱出的三角形全等， 　　∴△FNK≌△GHI， 　　∴FN＝GH＝a， 　　∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， 　　∴△IJC≌△KAM，△GFN≌△CMB， 　　∴＝，BM＝FN＝a， 　　∴阴影部分面积为++ 　　＝++ 　　＝+ 　　 　　 　　＝ab， 　　∵b﹣a＝3，+＝29， 　　∴， 　　即阴影部分的面积为10， 第 16 题　提升层 【解答】 　　在Rt△CFG中可得+＝， 　　∵四边形ABCD，四边形EFGH，四边形MNKT是正方形，八个直角三角形全等， 　　∴CF＝FN＝DG，CG＝FM＝NG， 　　∴＝（CG+DG）（CG+DG） 　　＝++2CG•DG 　　＝++2CG•DG 　　＝+2CG•DG， 　　＝GF×GF＝， 　　＝（FM﹣FN）（FM﹣FN）， 　　＝+﹣2FM•FN 　　＝+﹣2CG•DG 　　＝﹣2CG•DG， 　　∵正方形EFGH的边长为， 　　∴＝6， 　　∴++＝+2CG•DG++﹣2CG•DG＝3＝3×6＝18． 第 17 题　提升层 【解答】 　　（1）在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，则+＝， 　　（2）证明：∵，，＝（a+b，且 ＝4+， 　　∴， 　　整理得+2ab+＝2ab+， 　　∴+＝． 　　（3）∵矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF， 　　∴AE＝CE， 　　设AE＝CE＝x，则BE＝8﹣x， 　　在Rt△ABE中，由勾股定理得，＝+（8﹣x， 　　解得x＝5， 　　∴AE＝5， 　　∴BE＝3． 　　答：+＝； 第 18 题　提升层 【解答】 　　（1）＝（b﹣a＝﹣2ab+，另一方面＝﹣4ab＝﹣2ab， 　　即﹣2ab+＝﹣2ab， 　　∴+＝； 　　（2）由题意可得，△ABO，△BCO，△CDO，△ADO均为直角三角形， 　　由勾股定理可得，+＝①，+＝②，+＝③，+＝④， 　　①+②，可得++＝+， 　　③+④，+++＝+， 　　即：+＝+， 　　∴+＝+， 　　∴＝15， 　　∴AD． 　　答： 第 19 题　提升层 【解答】 　　（1）AB⊥DE． 　　理由：∵AC⊥BC，DB⊥BC， 　　∴∠ACB＝∠EBD＝90°， 　　在Rt△ABC和Rt△EDB中， 　　， 　　∴Rt△ABC≌Rt△EDB（HL）， 　　∴∠ABC＝∠D， 　　∵∠ABC+∠ABD＝∠EBD＝90°， 　　∴∠D+∠ABD＝90°， 　　∴∠BFD＝90°， 　　∴AB⊥DE； 　　（2）如图， 　　由（1）知Rt△ABC≌Rt△EDB， 　　∴BC＝DB＝b，AC＝EB＝a，AB＝ED＝c，CE＝BC﹣EB＝b﹣a． 　　∴＝（a+b）bab， 　　∵AB⊥DE， 　　∴＝+a（b﹣a）ab， 　　∴abab， 　　整理，得+＝． 第 20 题　提升层 【解答】 　　（1）①证明：∵中间小正方形的边长为b﹣a， 　　∴小正方形的面积为（b﹣a． 　　又∵四个直角三角形的面积为：， 　　∴大正方形的面积为：（b﹣a+2ab＝+． 　　又∵大正方形的边长为c， 　　∴大正方形的面积还可以表示为， 　　∴+＝． 　　②解：由①可知， 　　+＝＝169， 　　∵b﹣a＝7， 　　∴（b﹣a＝+﹣2ab＝49， 　　∴2ab＝120， 　　∴（a+b＝++2ab＝169+120＝289， 　　∴a+b＝17（舍负）， 　　即直角三角形两直角边之和为17． 　　（2）解：设AO＝CO＝GO＝EO＝m， 　　∵OB＝OH＝OD＝OF＝6， 　　∴AH＝CB＝DE＝FG＝m﹣6． 　　∵外围轮廓（实线）的周长为48， 　　∴4（AB+m﹣6）＝48， 　　则AB＝18﹣m． 　　在Rt△ABO中， 　　+＝（18﹣m， 　　解得m＝8， 　　即AO＝8， 　　∴． 第 21 题　提升层 【解答】 　　（1）证明：由题图，可知＝+， 　　，． 　　∵＝+， 　　∴， 　　∴， 　　∴+＝． 　　（2）解：由题图，可知，． 　　所以， 　　解得， 　　（3）解：在Rt△ABD中， 　　＝﹣＝﹣＝25﹣． 　　由题意，得CD＝BC﹣BD＝7﹣x． 　　在Rt△ACD中， 　　得＝﹣＝﹣（7﹣x＝﹣13+14x﹣． 　　∴25﹣＝﹣13+14x﹣， 　　解得：． 　　答：； 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $