3.1 勾股定理的探究 同步训练 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 以勾股定理为核心，通过基础巩固、中档应用、综合拓展三层设计，覆盖从公式直接应用到旋转综合证明的知识路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|勾股定理公式、直接计算|如选择8考公式，填空14求平方和，夯实概念| |中档|分类讨论、等面积法|如填空13分直角边斜边，解答18用等面积法求高，提升应用| |综合|旋转、几何综合证明|如选择2旋转证全等，解答22探究线段关系，发展推理能力|

苏科版（2024）八年级上册 3.1 勾股定理的探究 同步训练 一、选择题 1.如图，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，且，，则的长为（    ） A. B. C. D. 2.如图，O是等边内一点，，以B为旋转中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接．则下列结论：①可以由绕点B逆时针方向旋转得到；②连接，则；③；④．其中正确的有（　　） A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 3.一等腰三角形的底边长是12，腰长为10，则底边上的高是（　　） A.15 B.13 C.10 D.8 4.利用下列图形，能验证勾股定理的图形共有（    ）    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.如图，已知1号、4号两个正方形的面积和为7，2号、3号两个正方形的面积和为4，则a，b，c这3个正方形的面积和为(　　) A.10   B.15   C.22   D.12 6.2025年3月14日“国际数学节”当天，中国邮政发行了以《数学之美》为题的纪念邮票，其中一枚的主题为“勾股定理”（如图1所示）．在探究勾股定理时，我们可以利用图2证得相关结论．如图2，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE．设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论： ①a+b＜c；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 7.如下图，三个正方形围成一个直角三角形，图中的数据是它们的面积，则正方形A的边长为（    ）    A.6 B.8 C.10 D.12 8.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B=90°，则下列等式中成立的是(　　) A.a2+b2=c2    B.b2+c2=a2 C.a2+c2=b2    D.c2-a2=b2 9.如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，，，则（    ） A.9 B.12 C.15 D.144 10.我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A. B. C. D. 11.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，则的三边长，，的大小关系是（    ） A. B. C. D. 12.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的面积分别为9、25、4、9，则最大正方形的面积是（    ）    A.13 B.26 C.34 D.47 二、填空题 13.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的中线长是　　　.  14.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则AB2＋AC2＋BC2＝　　　　. 15.如图，在中，，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，求=         ． 16.直角三角形的斜边比一直角边长8，另一直角边长为12，则斜边长为 　  　． 17.如图，在边长为1的小正方形网格中，P为上任一点，则的值是      ．    三、解答题 18.用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题： (1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理c2=a2+b2；(2分) (2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，求CD的长度.(3分) 19.如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，求△ABC的面积． 20.在中，，，，，D为垂足． (1)求的长． (2)求的面积． 21.如图，直线AO⊥OB，垂足为O，线段AO=6，BO=8，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交直线AO于点C.求OC的长. 22.如图，在等腰中，，点D是上一点，作等腰，且，连接    (1)求证：； (2)请你判断线段之间的关系？并说明理由． 苏科版（2024）八年级上册 3.1 勾股定理的探究 同步训练（参考答案） 一、选择题 1.如图，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，且，，则的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由的三边为边向外作正方形， ，得 ， 可得． 故选：B 2.如图，O是等边内一点，，以B为旋转中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接．则下列结论：①可以由绕点B逆时针方向旋转得到；②连接，则；③；④．其中正确的有（　　） A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 【答案】B 【解析】解：连接，过点作，垂足为， 由旋转得：，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 可以由绕点逆时针旋转得到，故①正确； 由旋转得：，， 是等边三角形， ，故②正确； 是等边三角形， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ，故③正确； 在中，，， ∴， ∴ ∴， ，故④错误， 综上所述，正确的结论为：①②③． 故选：B． 3.一等腰三角形的底边长是12，腰长为10，则底边上的高是（　　） A.15 B.13 C.10 D.8 【答案】D 【解析】如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD⊥BC， ∴BD＝DCBC＝6， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：A64， ∴AD8， 即底边上的高是8， 故选：D． 4.利用下列图形，能验证勾股定理的图形共有（    ）    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【解析】第一幅图中大正方形的面积为：， 四个直角三角形的面积和为， 中间小正方形边长为，中间小正方形则的面积为， 大正方形的面积还可以表示为：四个直角三角形的面积与中间小正方形则的面积之和， 即：， ∴第一幅图能利用面积验证勾股定理； 第二幅图中四边形的面积为：直角梯形的面积减去一个直角三角形的面积， 即：， 四边形的面积还可以表为：等腰直角三角形的面积加上一个直角三角形的面积， 即：， ∴， ∴第二幅图能利用面积验证勾股定理； 第三幅图中大正方形的面积为： 大正方形的面积还可以表示为：四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积， 即：， ∴， ∴第三幅图能利用面积验证勾股定理； 第四幅图中五边形的面积为：大正方形的面积加上两个直角三角形的面积， 即：， 五边形的面积还可以表示为：两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， 即：， ∴， ∴第四幅图能利用面积验证勾股定理； 综上，四幅图均可以利用面积验证勾股定理． 故选：D． 5.如图，已知1号、4号两个正方形的面积和为7，2号、3号两个正方形的面积和为4，则a，b，c这3个正方形的面积和为(　　) A.10   B.15   C.22   D.12 【答案】B 【解析】 如图所示， ∵1号，2号，a三个四边形均为正方形， ∴∠ACB+∠BAC=90°，∠ACB+∠DCE=90°， ∴∠BAC=∠DCE， 在△ABC和△CDE中，∠CBA=∠EDC=90°，∠BAC=∠DCE，AC=CE， ∴△ABC△CDE(AAS)， ∴BC=DE， ∴AC2=AB2+BC2=AB2+DE2， ∴正方形a的面积等于1号正方形的面积加上2号正方形的面积， 即Sa=S1+S2， 同理可得，Sb=S2+S3，Sc=S3+S4， ∴Sa+Sb+Sc=S1+S2+S2+S3+S3+S4=7+4+4=15. 6.2025年3月14日“国际数学节”当天，中国邮政发行了以《数学之美》为题的纪念邮票，其中一枚的主题为“勾股定理”（如图1所示）．在探究勾股定理时，我们可以利用图2证得相关结论．如图2，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE．设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论： ①a+b＜c；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【答案】D 【解析】解：如图，过点C作CF∥DE，交AE于点F， ∵∠A＝∠C＝90°， ∴∠A+∠ACD＝180°， ∴AE∥CD， ∴四边形CDEF是平行四边形， ∴CF＝ED＝c， 在△ACF中， ∵AC＜FC， ∴a+b＜c，结论①正确； ∵△EAB≌△BCD， ∴AE＝BC＝b， 在Rt△ABE中，由勾股定理得BE2＝AB2+AE2＝a2+b2， ∴BE， ∵AB+AE＞BE， ∴a+b，结论②正确； ∵△EAB≌△BCD， ∴BE＝BD，∠ABE＝∠CDB， ∵∠CBD+∠CDB＝90°， ∴∠CBD+∠ABE＝90°， ∴∠EBD＝90°， 在Rt△EBD中，由勾股定理得DE2＝BE2+BD2， ∴c2＝2（a2+b2）， ∴c， ∵AB＜BC， ∴0＜a＜b， ∴a+b0， ∴a+b， ∴即，故结论③正确． 综上分析结论①②③都正确， 故选：D． 7.如下图，三个正方形围成一个直角三角形，图中的数据是它们的面积，则正方形A的边长为（    ）    A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】C 【解析】正方形A的面积为为36+64=100， ∴A正方形的边长为． 故选：C． 8.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B=90°，则下列等式中成立的是(　　) A.a2+b2=c2    B.b2+c2=a2 C.a2+c2=b2    D.c2-a2=b2 【答案】C 【解析】 在△ABC中，∠B=90°，∴△ABC为直角三角形，则根据勾股定理得a2+c2=b2. 9.如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，，，则（    ） A.9 B.12 C.15 D.144 【答案】D 【解析】在中，由勾股定理得，， ， ，， ， 故选：D 10.我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A、，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D、， 根据图形不能证明勾股定理； 故选：D． 11.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，则的三边长，，的大小关系是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】观察题图，得，则， 由勾股定理，得，， ， 故选：D. 12.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的面积分别为9、25、4、9，则最大正方形的面积是（    ）    A.13 B.26 C.34 D.47 【答案】D 【解析】如图，标注正方形F和正方形G，    由勾股定理得： 正方形F的面积=正方形A的面积+正方形B的面积 即 同理，正方形G的面积=正方形C的面积+正方形D的面积 即 ∴正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积 即正方形E的面积为 故选：D． 二、填空题 13.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的中线长是　　　.  【答案】 或 【解析】 ∵一个直角三角形的两边长分别为3和4， 如图1所示，当3和4均为直角边时，即AB=4，BC=3时，∠ABC=90°，点D是AC的中点， ∴AC==5， ∵点D是AC的中点， ∴BD=AC=； 如图2所示，当3为直角边，4为斜边时，即EG=4，EF=3，∠F=90°，点H是FG的中点， ∴FG==， ∵点H是FG的中点， ∴FH=FG=， ∴EH==. 综上所述，第三边的中线长是或. 14.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则AB2＋AC2＋BC2＝　　　　. 【答案】 50 【解析】 ∵在△ABC中，∠C＝90°， ∴△ABC为直角三角形，且AB为斜边. ∵AB＝5， ∴AB2＋AC2＋BC2＝2AB2＝2×52＝50. 15.如图，在中，，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，求=         ． 【答案】 【解析】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 连接， 由旋转可得，，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 16.直角三角形的斜边比一直角边长8，另一直角边长为12，则斜边长为 　  　． 【答案】13 【解析】设一条直角边为a，则斜边为a+8， ∵另一直角边长为12， ∴（a+8）2＝a2+122， 解得a＝5， ∴a+8＝13． 故答案为：13． 17.如图，在边长为1的小正方形网格中，P为上任一点，则的值是      ．    【答案】12 【解析】在中，， 在中， ∴ ， 故答案为：12． 三、解答题 18.用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题： (1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理c2=a2+b2；(2分) (2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，求CD的长度.(3分) 【答案】解　(1)大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积的和， ∵S大正方形=c2，S小正方形=，S直角三角形=ab， ∴c2=+4×ab，即c2=a2+b2. (2)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3， ∴由勾股定理可得AB==5， ∵CD是AB边上的高， ∴由等面积法可得S△ABC=AC·BC=AB·CD， ∵AC=4，BC=3，AB=5， ∴CD==. 19.如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，求△ABC的面积． 【答案】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D， 则∠ADB＝90°， ∵AB＝AC＝13，BC＝10， ∴BD＝CDBC＝5， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：A144， ∴AD12， ∴△ABC的面积BC•AD10×12＝60． 20.在中，，，，，D为垂足． (1)求的长． (2)求的面积． 【答案】（1）解：如图： 在中利用勾股定理，得， ， 解得， 在中利用勾股定理，得， 的长为； （2）解：. 答：的面积为. 21.如图，直线AO⊥OB，垂足为O，线段AO=6，BO=8，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交直线AO于点C.求OC的长. 【答案】 解　∵AO⊥OB，线段AO=6，BO=8， ∴在Rt△AOB中，AB==10， 由题意可知AC=AB=10， ∴OC=AC-AO=4. 22.如图，在等腰中，，点D是上一点，作等腰，且，连接    (1)求证：； (2)请你判断线段之间的关系？并说明理由． 【答案】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：，理由如下： ∵是等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， ， ， ∵， ． 学科网（北京）股份有限公司 $