3.3 勾股定理的简单应用 课时作业 2026-2027学年苏科版数学 八年级上册

**基本信息** 初中数学苏科版八年级上册勾股定理简单应用同步练，以“基础巩固-能力提升-拓展探究”分层设计，覆盖从单一知识点应用到复杂情境综合建模，强化空间观念与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|勾股定理直接应用（距离、高度、数轴无理数）|选择填空对应知识点1-5，如梯子滑动、折叠基础计算| |能力提升|方程思想与最短路径（圆柱/台阶展开、古代问题）|解答题整合“葭生池中”“折竹抵地”，培养建模能力| |拓展探究|多面体展开与复杂折叠（长方体表面路径、重叠面积）|探究题需分类讨论展开方式，发展空间观念与创新意识|

苏科版 · 八年级上册 · 数学课时作业　3.3 勾股定理的简单应用 第3章　勾股定理　3.3 勾股定理的简单应用　课时作业 （苏科版　八年级上册）　班级：________　姓名：________　学号：________　得分：________ 学习目标 1．能从实际问题中抽象出直角三角形，运用勾股定理解决距离、高度等计算问题． 2．能通过“化曲为直”“化立体为平面”，利用展开图解决最短路径问题． 3．能利用勾股定理，通过设未知数、列方程解决折叠等问题． 4．会在数轴上画出表示 ，， 等无理数的点，体会数形结合思想． 一、知识点梳理 知识点1　用勾股定理解决实际问题的一般步骤 （1）审题建模：从实际问题中抽象出几何图形，找出（或构造）直角三角形； （2）确定边：明确已知边和未知边，分清直角边和斜边； （3）列式计算：利用勾股定理直接计算，或设未知数列方程求解； （4）检验作答：检验结果是否符合实际意义，写出答案． 知识点2　常见的应用类型 类型 典型问题 解题关键 求距离、高度 梯子滑动、旗杆高度、折断的树 找出直角三角形，直接用勾股定理 方程思想 “葭生池中”、绳子长度、折叠问题 设未知数，用勾股定理列方程 最短路径 圆柱、长方体、台阶上的蚂蚁爬行 把立体图形展开成平面图形 方向与航行 两船航行、测速、噪声影响 画出示意图，确定直角 数轴上的无理数 画出表示 ， 的点 构造两直角边为整数的直角三角形 知识点3　最短路径问题 原理：两点之间，线段最短． 圆柱：把圆柱的侧面沿一条母线剪开展开成长方形．从下底面的点 A 爬到上底面与之相对的点 B，最短路程是以圆柱的高和底面周长的一半为直角边的直角三角形的斜边长． 长方体：从一个顶点沿表面爬到相对的顶点，有三种展开方式，需要分别计算，比较后取最小值． 台阶：把台阶展开成一个长方形，长方形的一边是台阶的长，另一边是所有踏面宽与台阶高之和． 知识点4　折叠问题 折叠前后的两个图形全等，对应边相等、对应角相等．解题时，常设某条线段长为 x，把其他相关线段用含 x 的式子表示，再在某个直角三角形中利用勾股定理列方程求解． 知识点5　在数轴上表示无理数 要在数轴上画出表示 的点，就要构造两条直角边长为正整数 a，b，且 a²+b²=n 的直角三角形．如 5=2²+1²，13=3²+2²．以原点为圆心、斜边长为半径画弧，与数轴正半轴的交点即为所求． （在数轴上作出表示 $@r{5}$ 的点 P） 二、例题精讲 例1　如图，一架长 2.5 m 的梯子 AB 斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端 B 离墙 0.7 m． （1）梯子的顶端 A 距地面多高？（2）如果梯子的顶端下滑了 0.4 m 到达点 A′，那么梯子的底端在水平方向上滑动了多少米？ 解：（1）在 Rt△AOB 中，AO====2.4（m）． （2）A′O=2.4-0.4=2（m），在 Rt△A′OB′ 中，OB′===1.5（m），BB′=1.5-0.7=0.8（m）． 答：梯子顶端距地面 2.4 m，梯子底端在水平方向上滑动了 0.8 m． 方法点拨：梯子的长度不变，是解决问题的关键；顶端下滑 0.4 m，底端滑动的距离并不是 0.4 m． 例2　如图，圆柱的高为 12 cm，底面周长为 18 cm．在圆柱下底面的点 A 处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点 A 相对的点 B 处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 解：把圆柱的侧面展开成长方形，点 B 在展开图上边的中点处．AC=×18=9（cm），BC=12 cm． 在 Rt△ACB 中，AB===15（cm）．答：蚂蚁爬行的最短路程是 15 cm． 例3　如图，把长方形纸片 ABCD 沿 AE 折叠，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处．已知 AB=8 cm，BC=10 cm，求 EC 的长． 解：由折叠可知 AF=AD=10 cm，EF=DE．在 Rt△ABF 中，BF==6（cm），所以 FC=10-6=4（cm）． 设 EC=x cm，则 EF=DE=(8-x) cm．在 Rt△EFC 中，EC²+FC²=EF²，即 x²+4²=(8-x)²，解得 x=3．答：EC 的长为 3 cm． 三、基础巩固 （一）选择题（每题只有一个正确选项） 1．一架 5 m 长的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子底端离墙 3 m，则梯子顶端离地面的高度为（　　） A．3 m B．4 m C．5 m D． m 2．如图，一棵大树在离地面 3 m 处折断，树的顶端落在离树根 4 m 处，则大树折断前的高度为（　　） A．5 m B．7 m C．8 m D．9 m 3．小明从家出发，先向正东方向走了 8 km，又向正北方向走了 6 km，此时他离家的距离为（　　） A．14 km B．10 km C．2 km D． km 4．一个长方形的长为 12 cm，对角线长为 13 cm，则这个长方形的面积为（　　） A．60 cm² B．30 cm² C．78 cm² D．156 cm² 5．如图，圆柱的底面周长为 12 cm，高为 8 cm，一只蚂蚁从点 A 出发沿圆柱侧面爬到与 A 相对的点 B，最短路程为（　　） A．10 cm B．14 cm C．20 cm D． cm 6．如图，数轴上点 A 表示的数为 2，AB⊥OA，且 AB=1，以原点 O 为圆心、OB 长为半径画弧，交数轴正半轴于点 P，则点 P 表示的数是（　　） A． B． C．2.2 D． 7．如图，轮船 A 从港口 O 出发以 16 海里/时的速度向东北方向航行，同时轮船 B 从港口 O 出发以 12 海里/时的速度向东南方向航行，1.5 小时后两船相距（　　） A．30 海里 B．40 海里 C．35 海里 D．25 海里 8．如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为 4 cm，3 cm，12 cm，则盒子内能放入的木棒的最大长度为（　　） A．12 cm B．13 cm C．14 cm D．15 cm 9．等腰三角形的周长为 16，底边上的高为 4，则这个等腰三角形的面积为（　　） A．12 B．24 C．10 D．20 10．如图，旗杆上的绳子垂到地面还多 1 m，把绳子的下端拉开，使下端离旗杆底部 5 m，此时绳子刚好拉直，则旗杆的高度为（　　） A．12 m B．13 m C．10 m D．11 m （二）填空题 11．一架长 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子顶端离地面 8 m，则梯子底端离墙____m． 12．如图，学校有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”．他们仅仅少走了____步路（假设 2 步为 1 m），却踩伤了花草． 13．从电线杆离地面 6 m 处向地面拉一条长 10 m 的缆绳，缆绳在地面上的固定点到电线杆底部的距离为____m． 14．一个门框宽 1.5 m，高 2 m，则这个门框的对角线长为____m． 15．在数轴上画出表示 的点，可以构造两条直角边长分别为____和____的直角三角形． 16．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，将△ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE（点 D 在 BC 上），则 CD 的长为____． 17．等腰直角三角形的斜边长为 4，则它的面积为____． 18．如图，将一根长 18 cm 的吸管放入底面直径为 5 cm、高为 12 cm 的圆柱形杯子中，吸管露在杯子外面的长度为 h cm，则 h 的取值范围是____． 四、能力提升 19．（“葭生池中”问题）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面 1 尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面（即水池一边的中点）．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 20．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20 dm，2 dm，3 dm，A 和 B 是这个台阶两个相对的端点．点 A 处有一只蚂蚁，想到点 B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点 B 的最短路程是多少？ 21．如图，圆柱的高为 8 cm，底面半径为 2 cm，一只蚂蚁从圆柱下底面的点 A 出发，沿侧面爬到上底面与点 A 相对的点 B 处，求蚂蚁爬行的最短路程（π 取 3）． 22．如图，将长方形纸片 ABCD 折叠，使点 D 与点 B 重合，折痕为 EF（点 E 在 AD 上，点 F 在 BC 上）．已知 AB=3 cm，AD=9 cm，求 DE 的长和△ABE 的面积． 23．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市街道上行驶的速度不得超过 70 km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路边测速仪 A 的正前方 30 m 的 C 处，过了 2 s 后，测得小汽车 B 与测速仪 A 之间的距离为 50 m．这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 24．在数轴上画出表示 的点（保留作图痕迹，写出作法）． 25．如图，公路 MN 旁有一所学校 A，点 A 到公路 MN 的距离 AD=80 m．一辆拖拉机在公路 MN 上行驶时，周围 100 m 以内会受到噪声影响．已知拖拉机的速度为 18 km/h，那么学校受噪声影响的时间为多少秒？ 26．（“折竹抵地”问题）《九章算术》中记载：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子原高 1 丈（1 丈=10 尺），中部某处折断，竹梢恰好触地，触地处离竹根 3 尺，问折断处离地面的高度是多少尺？ 五、拓展探究 27．如图，一个长方体的长、宽、高分别为 4 cm，2 cm，1 cm，一只蚂蚁从顶点 A 出发，沿长方体的表面爬到顶点 G，求蚂蚁爬行的最短路程． 28．如图，一根圆柱形柱子高 12 m，底面周长为 1.25 m．为了美化环境，要在柱子上从底端到顶端绕 4 圈装饰彩带，彩带的最短长度是多少米？ 29．如图，把长方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠，点 B 落在点 E 处，AE 交 DC 于点 F．已知 AB=8，BC=4，求重叠部分△AFC 的面积． 六、易错辨析 判断下列说法是否正确（正确的在括号内画“✓”，错误的画“✗”），并将错误的说法改正． 30．蚂蚁沿圆柱侧面从 A 爬到相对的 B，最短路程等于圆柱的高与底面周长的和．（　　） 31．梯子沿墙下滑时，梯子顶端下滑多少米，底端就向外滑动多少米．（　　） 32．求长方体表面上两点间的最短路程时，需要考虑不同的展开方式．（　　） 33．利用勾股定理，可以在数轴上画出表示 的点．（　　） 34．在直角三角形中，已知两边长求第三边长，结果一定只有一个．（　　） 七、综合应用 35．一根 13 m 长的绳子，一端系在树上离地面 12 m 高的地方，另一端固定在地面上，且绳子拉直，求绳子在地面上的固定点到树根的距离． 36．电视机屏幕的尺寸是指屏幕对角线的长度．一台电视机屏幕的长为 64 cm，宽为 48 cm，它的屏幕对角线长为多少厘米？ 37．如图，一条东西走向的河流一侧有一个村庄 C，河边原有两个取水点 A，B，其中 AB=AC．由于某种原因，由 C 到 A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点 H（A，H，B 在同一条直线上），并新修一条路 CH．测得 CB=3 km，CH=2.4 km，HB=1.8 km． （1）CH 是不是从村庄 C 到河边的最近路？请说明理由；（2）求原来的路线 AC 的长． 参考答案及解析 三、基础巩固 1．【答案】B 【解析】梯子、墙、地面构成直角三角形，梯子为斜边，顶端高度为 =4（m）． 2．【答案】C 【解析】折断部分为斜边，长 =5（m），所以大树原高 3+5=8（m）． 3．【答案】B 【解析】正东与正北方向互相垂直，距离为 ==10（km）． 4．【答案】A 【解析】宽为 =5（cm），面积为 12×5=60（cm²）． 5．【答案】A 【解析】侧面展开后，两直角边分别为底面周长的一半 6 cm 和高 8 cm，最短路程为 =10（cm）．误用整个底面周长会得到 =，是错误的． 6．【答案】A 【解析】OB===，OP=OB，所以点 P 表示 ． 7．【答案】A 【解析】东北与东南方向的夹角为 90°．OA=16×1.5=24（海里），OB=12×1.5=18（海里），AB===30（海里）． 8．【答案】B 【解析】先求底面对角线 AC==5（cm），再在 Rt△ACG 中求 AG==13（cm）． 9．【答案】A 【解析】设底边长为 2x，则腰长为 =8-x． 由勾股定理得 x²+4²=(8-x)²，即 x²+16=64-16x+x²，解得 x=3．底边长为 6，面积为 ×6×4=12． 10．【答案】A 【解析】设旗杆高 x m，则绳长 (x+1) m，x²+5²=(x+1)²，即 x²+25=x²+2x+1，解得 x=12． 11．【答案】6 【解析】==6． 12．【答案】4 【解析】“路”长 =5（m），原来要走 3+4=7（m），少走 2 m，即 4 步． 13．【答案】8 【解析】==8． 14．【答案】2.5 【解析】==2.5． 15．【答案】2；3（或 3；2） 【解析】因为 2²+3²=13，所以斜边长为 ． 16．【答案】 【解析】由折叠可知 AD=BD．设 CD=x，则 AD=BD=8-x． 在 Rt△ACD 中，AC²+CD²=AD²，即 6²+x²=(8-x)²，36+x²=64-16x+x²，解得 x=． 17．【答案】4 【解析】设直角边长为 x，则 2x²=16，x²=8，面积为 x²=4． 18．【答案】5≤h≤6 【解析】吸管竖直放入时，露在外面最长：18-12=6（cm）；吸管斜放到底面边缘时，杯内部分最长为 =13（cm），露在外面最短：18-13=5（cm）． 四、能力提升 19．【答案】水深 12 尺，芦苇长 13 尺 【解析】如图，设水深 OC=x 尺，则芦苇长 AC=CB=(x+1) 尺，OB=×10=5（尺）． 在 Rt△OBC 中，OC²+OB²=CB²，即 x²+5²=(x+1)²，x²+25=x²+2x+1，解得 x=12． 答：水池深 12 尺，芦苇长 13 尺． 20．【答案】25 dm 【解析】将台阶展开成一个长方形，长方形的一边长为 20 dm，另一边长为 (2+3)×3=15（dm）． 所以蚂蚁爬行的最短路程为 ==25（dm）． 21．【答案】10 cm 【解析】底面周长为 2πr≈2×3×2=12（cm），展开后两直角边为 12÷2=6（cm）和 8 cm． 最短路程为 =10（cm）． 22．【答案】DE=5 cm，面积为 6 cm² 【解析】由折叠可知 BE=DE．设 DE=x cm，则 BE=x cm，AE=(9-x) cm． 在 Rt△ABE 中，AB²+AE²=BE²，即 3²+(9-x)²=x²，9+81-18x+x²=x²，解得 x=5． 所以 DE=5 cm，AE=4 cm，S△ABE=×3×4=6（cm²）． 23．【答案】超速了 【解析】在 Rt△ABC 中，AC=30 m，AB=50 m，所以 BC===40（m）． 小汽车的速度为 40÷2=20（m/s），20 m/s=20×3.6 km/h=72 km/h． 因为 72>70，所以这辆小汽车超速了． 24．【答案】见解析 【解析】作法：（1）在数轴上找到表示 3 的点 A，过点 A 作数轴的垂线，并在垂线上截取 AB=2； （2）连接 OB，则 OB==； （3）以 O 为圆心、OB 长为半径画弧，交数轴正半轴于点 P，则点 P 表示的数为 ． 25．【答案】24 s 【解析】如图，设拖拉机行驶到点 B 时学校开始受影响，到点 C 时结束，则 AB=AC=100 m． 在 Rt△ABD 中，BD===60（m），同理 CD=60 m，所以 BC=120 m． 18 km/h=5 m/s，受影响的时间为 120÷5=24（s）． 26．【答案】4.55 尺 【解析】设折断处离地面的高度 AC=x 尺，则折断部分 CB=(10-x) 尺，AB=3 尺． 在 Rt△ABC 中，AC²+AB²=CB²，即 x²+3²=(10-x)²，x²+9=100-20x+x²，解得 x=4.55． 答：折断处离地面的高度是 4.55 尺． 五、拓展探究 27．【答案】5 cm 【解析】蚂蚁从 A 爬到 G 要经过两个相邻的面，有三种展开方式： ①展开前面和上面：两直角边为 4 和 2+1=3，路程为 ==5； ②展开前面和右面：两直角边为 4+2=6 和 1，路程为 =； ③展开左面和上面：两直角边为 4+1=5 和 2，路程为 =． 因为 25<29<37，所以最短路程为 5 cm． 规律：把较短的两条棱长相加作为一条直角边，最长的棱长作为另一条直角边，得到的路程最短． 28．【答案】13 m 【解析】把柱子侧面展开，彩带每绕一圈，相当于一个长方形的对角线，长方形的一边长为底面周长 1.25 m，另一边长为 12÷4=3（m）． 每圈彩带的最短长度为 ===3.25（m）． 所以彩带的最短长度为 4×3.25=13（m）． 29．【答案】10 【解析】由折叠可知∠FAC=∠BAC．因为 AB∥CD，所以∠BAC=∠FCA，所以∠FAC=∠FCA，所以 AF=CF． 设 DF=x，则 CF=AF=8-x．在 Rt△ADF 中，AD²+DF²=AF²，即 4²+x²=(8-x)²，解得 x=3． 所以 CF=5，S△AFC=×CF×AD=×5×4=10． 六、易错辨析 30．【答案】✗ 【解析】最短路程是以圆柱的高和底面周长的一半为直角边的直角三角形的斜边长． 31．【答案】✗ 【解析】顶端下滑的距离与底端滑动的距离一般不相等，要分别利用勾股定理计算，见例 1． 32．【答案】✓ 【解析】长方体从一个顶点到相对顶点有三种展开方式，要比较后取最小值． 33．【答案】✓ 【解析】构造两直角边分别为 2 和 1 的直角三角形，斜边长为 ． 34．【答案】✗ 【解析】若没有指明斜边，需要分类讨论，可能有两个结果． 七、综合应用 35．【答案】5 m 【解析】==5（m）． 36．【答案】80 cm 【解析】===80（cm）． 37．【答案】（1）是；（2）2.5 km 【解析】（1）在△CHB 中，CH²+HB²=2.4²+1.8²=5.76+3.24=9=3²=CB²，所以∠CHB=90°，即 CH⊥AB． 由“垂线段最短”可知，CH 是从村庄 C 到河边的最近路． （2）设 AC=AB=x km，则 AH=(x-1.8) km．在 Rt△ACH 中，AH²+CH²=AC²， 即 (x-1.8)²+2.4²=x²，x²-3.6x+3.24+5.76=x²，解得 x=2.5．答：原来的路线 AC 的长为 2.5 km． 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $