3.5.5 同步作业【防抄袭分层】2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学作业设计方案针对九年级“三角形的内切圆”内容，依据学生认知特点分层设计，包含基础、提升、拓展三级练习，题型覆盖判定、计算、证明等，满足不同层次学习需求。 通过分层练习提升学习效果，基础题如判定切点三角形形状培养几何直观，提升题结合传统文化情境求直径强化应用意识，拓展题证明内心与外接圆结论发展推理能力，评价科学，助力核心素养发展。

九年级上 3.5.5 三角形的内切圆　同步作业 九年级上 3.5.5 三角形的内切圆　同步作业 班级＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿　学号＿＿＿＿＿ 基础练习 · 分层题型目录 题型一　三角形的内切圆·判定切点三角形的形状 1 题型二　三角形的内切圆·运用勾股定理求半径 2 题型三　三角形的内切圆·求剪下三角形的周长 3 题型四　三角形的内切圆·运用内心角公式求角 4 题型五　三角形的内切圆·内心与外心角度互求 5 题型六　三角形的内切圆·结合一元二次方程求半径 6 题型七　三角形的内切圆·列方程组求切线长 7 题型八　三角形的内切圆·结合周长求切线长 8 提升练习 · 分层题型目录 题型一　三角形的内切圆·传统文化情境中求直径 9 题型二　三角形的内切圆·运用切线长定理求面积 10 题型三　三角形的内切圆·整体代换求周长 11 题型四　三角形的内切圆·平行线背景下求周长 12 题型五　三角形的内切圆·分类讨论半径取值范围 13 题型六　三角形的内切圆·尺规作图背景下判断结论 14 题型七　三角形的内切圆·新切线背景下求角与周长 15 题型八　三角形的内切圆·证明直线与内切圆相切 16 题型九　三角形的内切圆·设计裁剪方案并求直径 17 拓展练习 · 分层题型目录 题型一　三角形的内切圆·证明内心与外接圆的结论 18 题型二　三角形的内切圆·探究裁最大圆的可行性 19 题型三　三角形的内切圆·结合等腰三角形求角与线段 20 基础练习 题型一　三角形的内切圆·判定切点三角形的形状 1．【A】【来源：2026•南京模拟】已知△ABC的内切圆⊙O切三角形的三边于点D，E，F，则△DEF是（ ___ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能 题型二　三角形的内切圆·运用勾股定理求半径 2．【A】【来源：2026•东西湖区校级月考】如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则它的内切圆⊙O的半径是（ ___ ） A．1 B．2 C．2.5 D．5 题型三　三角形的内切圆·求剪下三角形的周长 3．【A】【来源：2026•泰山区校级模拟】如图，周长为18cm的三角形纸片ABC，其中AC＝4cm．小刚想用剪刀剪出它的内切圆⊙O，他先沿着与⊙O相切的直线DE剪下一个三角形纸片BDE．则三角形BDE的周长是（ ___ ） A．10cm B．9cm C．8cm D．7cm 题型四　三角形的内切圆·运用内心角公式求角 4．【A】【来源：2025•昌黎县期末】在△ABC中，∠A＝50°，⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，则∠BOC的度数为（ ___ ） A．105° B．110° C．115° D．125° 题型五　三角形的内切圆·内心与外心角度互求 5．【A】【来源：2026•东营区校级模拟】如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为 ___ ． 题型六　三角形的内切圆·结合一元二次方程求半径 6．【A】【来源：2025•江阴市校级月考】已知Rt△ABC的两直角边AC、BC分别是一元二次方程﹣7x+12＝0的两根，则此Rt△ABC的内切圆的半径为 ___ ． 题型七　三角形的内切圆·列方程组求切线长 7．【A】【来源：2025•呈贡区期末】如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝18，BC＝28，CA＝26，则AF的长为 ___ ． 题型八　三角形的内切圆·结合周长求切线长 8．【A】【来源：2025•界首市期末】如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝6，BE＝4．若△ABC的周长为36，则CF的长为 ___ ． 提升练习 题型一　三角形的内切圆·传统文化情境中求直径 9．【B】【来源：2025•铁锋区期末】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径是（ ___ ） A．5步 B．6步 C．8步 D．10步 题型二　三角形的内切圆·运用切线长定理求面积 10．【B】【来源：2024•红花岗区期末】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若BF＝4，AF＝6，则△ABC的面积是（ ___ ） A．24 B．28 C．32 D．36 题型三　三角形的内切圆·整体代换求周长 11．【B】【来源：2025•常州模拟】如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．若CF＝7，AB＝9，则△ABC的周长为（ ___ ） A．16 B．23 C．25 D．32 题型四　三角形的内切圆·平行线背景下求周长 12．【B】【来源：2026•宁夏模拟】如图，△ABC的周长是18cm，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点E、F，已知AB＝6cm，则△CEF的周长为 ___ cm． 题型五　三角形的内切圆·分类讨论半径取值范围 13．【B】【来源：2025•响水县期中】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，O是△ABC的内心，以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有且只有一个公共点，则r的取值范围是 ___ ． 题型六　三角形的内切圆·尺规作图背景下判断结论 14．【B】【来源：2025•潍坊期中】如图，Rt△ABC的内切圆（圆心为O）与各边分别相切于点D，E，F，连接OE．以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交AB，AC于M，N两点；分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P；作射线AP．有下列结论： ①AP垂直平分EF；②∠AEF＝∠B；③AC+BC﹣AB＝2OE．其中正确结论的序号是 ___ ． 题型七　三角形的内切圆·新切线背景下求角与周长 15．【B】【来源：2025•广安区期末】如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为F、G、H，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线． （1）若∠C＝40°，求∠AOB的度数；（2）若AC＝8，AB＝6，BC＝9，求△CDE的周长． 题型八　三角形的内切圆·证明直线与内切圆相切 16．【B】【来源：2024•自贡】在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．（1）图中三组相等的线段分别是CE＝CF，AF＝ ___ ，BD＝ ___ ；若AC＝3，BC＝4，则⊙O半径长为 ___ ；（2）如图，延长AC到点M，使AM＝AB，过点M作MN⊥AB于点N．求证：MN是⊙O的切线． 题型九　三角形的内切圆·设计裁剪方案并求直径 17．【B】【来源：2024•单元】如图，王奶奶有一块三角形的布料，∠ABC＝90°，她要裁一个圆片，已知AB＝60cm，BC＝80cm，为了充分地利用这块布料，使剪下来的圆片的直径尽量大些，她应该怎样裁剪？这个圆的直径是多少？ 拓展练习 题型一　三角形的内切圆·证明内心与外接圆的结论 18．【C】【来源：2024•灵宝市期中】如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D．（1）求证：∠BAD＝∠CBD；（2）求证：BD＝ID；（3）连接BI、CI，求证：点D是△BIC的外心． 题型二　三角形的内切圆·探究裁最大圆的可行性 19．【C】【来源：2024•陕西】 问题提出（1）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．若AB＝15，AC＝8，则AD的长为 ___ ； 问题解决（2）如图所示，某工厂剩余一块△ABC型板材，其中AB＝100cm，BC＝160cm，AC＝140cm．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆型部件的圆心O的位置，并求出⊙O的半径；若不可以，请说明理由． 题型三　三角形的内切圆·结合等腰三角形求角与线段 20．【C】如图，在△ABC中，M是△ABC的内心． （1）若∠C＝48°，求∠AMB的度数；（2）AC＝BC＝10，AB＝12，求AM的长． 学科网（北京）股份有限公司 $九年级上 3.5.5 三角形的内切圆　同步作业·答案与解析 本次防抄袭差异题题号 甲、乙卷仅以下题目的题干内部数字不同（解题方法相同、答案不同），其余各题两卷完全一致.批改时以该生所答卷面为准： 　　第 6 题、第 7 题 第一部分　答案速查版（批改用） 甲、乙卷答案或解法不同者只列一次；不同者行首标「异」并以两栏并排（左甲/右乙）呈现，乙栏标红.（空答案题显示「详见解析」） 1．A．锐角三角形 2．A．1 3．A．10cm 4．C．115° 5．140° 【异】6． 【甲】 1 【乙】 2 【异】7． 【甲】 8 【乙】 6 8．8 9．B．6步 10．A．24 11．D．32 12．12 13．或r＝2 14．①③ 15．（1）∠AOB＝110°；（2）△CDE的周长为11． 16．（1）AF＝AD，BD＝BE，⊙O的半径长为1；（2）证明见详解． 17．在BC上取点D使BD＝20cm，以BD为边在△ABC内作正方形BDOE，再以O为圆心、20cm为半径作圆即为最大圆片；这个圆的直径为40cm． 18．（1）∠BAD＝∠CBD；（2）BD＝ID；（3）点D是△BIC的外心（证明见详解）． 19．（1）AD＝；（2）可以，圆心O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点（即△ABC的内心），⊙O的半径为cm． 20．（1）∠AMB＝114°；（2）AM＝3． 第二部分　分步详解（讲评用） 第 1 题　基础层　【来源：2026•南京模拟】 【解答】 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能 　　连接OD、OF． 　　∵AB、AC是圆的切线， 　　∴∠ADO＝∠AFO＝90°， 　　∴在四边形ADOF中，∠A+∠DOF＝180°， 　　∴∠DOF＝180°﹣∠A， 　　又∵∠DEF∠DOF， 　　∴∠DEF（180°﹣∠A）＝90°∠A＜90°，即∠DEF是锐角． 　　同理，∠EDF和∠DFE都是锐角． 　　则△DEF是锐角三角形． 　　答：A．锐角三角形 第 2 题　基础层　【来源：2026•东西湖区校级月考】 【解答】 A．1 B．2 C．2.5 D．5 　　设△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、F、E，连接OE、OF， 　　∵∠C＝90°，BC＝4，AC＝3， 　　∴AB5， 　　∵AE＝AD，BF＝BD，CE＝CF， 　　∴CE+CF＝2CE＝AC+BC﹣（AE+BF）＝AC+BC﹣（AD+BD）＝AC+BC﹣AB＝3+4﹣5＝2， 　　∴CE＝1， 　　∵∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°， 　　∴四边形OECF是矩形， 　　∵OE＝OF， 　　∴四边形OECF是正方形， 　　∴OE＝CE＝1， 　　∴⊙O的半径是1， 　　答：A．1 第 3 题　基础层　【来源：2026•泰山区校级模拟】 【解答】 A．10cm B．9cm C．8cm D．7cm 　　如图，设三角形ABC与⊙O相切于M、N、F，DE与⊙O相切于点G， 　　∴AM＝AF，CN＝CF，BM＝BN，DM＝DG，EG＝EN， 　　∵周长为18cm的三角形纸片ABC，AC＝4cm． 　　∴AB+AC+BC＝18cm， 　　∴AM+CN＝AC＝4cm，AB+BC＝18﹣4＝14（cm）， 　　∴DB+DE+BE 　　＝BD+DG+GE+BE 　　＝BM+BN 　　＝AB+BC﹣AC 　　＝14﹣4 　　＝10（cm）， 　　∴三角形BDE的周长是10cm． 　　答：A．10cm 第 4 题　基础层　【来源：2025•昌黎县期末】 【解答】 A．105° B．110° C．115° D．125° 　　∵⊙O是△ABC的内切圆， 　　∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， 　　∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， 　　∵∠A＝50°， 　　∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°， 　　∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）＝65°， 　　∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°， 　　答：C．115° 第 5 题　基础层　【来源：2026•东营区校级模拟】 【解答】 　　分别作出△ABC的外接圆⊙O，△ABC的内切圆⊙I， 　　∵点I是△ABC的内心， 　　∴AI平分∠CAB，BI平分∠ABC， 　　∴∠IAB∠CAB，∠IBA∠CBA， 　　∵∠AIB＝125°， 　　∴∠IAB+∠IBA＝55°， 　　∴∠CAB+∠CBA＝110°， 　　∴∠ACB＝70°， 　　∵点O是△ACB是外心， 　　∴∠AOB＝2∠ACB＝140°， 第 6 题　基础层　【来源：2025•江阴市校级月考】 【解答】 【甲卷】 题干：已知Rt△ABC的两直角边AC、BC分别是一元二次方程﹣7x+12＝0的两根，则此Rt△ABC的内切圆的半径为 ___ ． ﹣7x+12＝0， （x﹣3）（x﹣4）＝0， x﹣3＝0或x﹣4＝0， 所以＝3，＝4， ∵两直角边AC、BC的长分别为3，4， ∴斜边AB5， 设Rt△ABC的内切圆的半径为r， ∵（3+4+5）×r3×4， 解得r＝1， 即Rt△ABC的内切圆的半径为1． 【乙卷】 题干：已知Rt△ABC的两直角边AC、BC分别是一元二次方程﹣17x+60＝0的两根，则此Rt△ABC的内切圆的半径为　　． 解﹣17x+60＝0， （x﹣5）（x﹣12）＝0， x﹣5＝0或x﹣12＝0， 所以＝5，＝12， ∵两直角边AC、BC的长分别为5，12， ∴斜边AB13， 设Rt△ABC的内切圆的半径为r， ∵（5+12+13）×r5×12， ∴15r＝30，解得r＝2， ∴此Rt△ABC的内切圆的半径为2． 第 7 题　基础层　【来源：2025•呈贡区期末】 【解答】 【甲卷】 题干：如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝18，BC＝28，CA＝26，则AF的长为 ___ ． ∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F， ∴AE＝AF，BF＝BD，CE＝CD， 设AE＝AF＝x，BF＝BD＝y，CE＝CD＝z， ∵AB＝18，BC＝28，CA＝26， ∴， 解得x＝8，则AF＝8． 【乙卷】 题干：如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝14，BC＝20，CA＝18，则AF的长为　　． ∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F， ∴AE＝AF，BF＝BD，CE＝CD， 设AE＝AF＝x，BF＝BD＝y，CE＝CD＝z， ∵AB＝14，BC＝20，CA＝18， ∴， 解得x＝6，则AF＝6． 第 8 题　基础层　【来源：2025•界首市期末】 【解答】 　　∵△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F， 　　∴AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF， 　　∵AD＝6，BE＝4， 　　∴AF＝6，BD＝4， 　　∴AB＝AD+BD＝10， 　　又∵△ABC的周长为36， 　　∴BC+AC＝36﹣AB＝26， 　　设CE＝CF＝x， 　　∴AF+FC+CE+BE＝BC+AC＝26， 　　∴6+x+x+4＝26， 　　解得：x＝8， 　　即CF的长为8， 第 9 题　提升层　【来源：2025•铁锋区期末】 【解答】 A．5步 B．6步 C．8步 D．10步 　　如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝15，∠C＝90°， 　　∴AB17， 　　∴AC•BC8×15＝60， 　　设内切圆的圆心为O，分别连接圆心和三个切点，及OA、OB、OC， 　　设内切圆的半径为r， 　　∴＝++r（AB+BC+AC）＝20r， 　　∴20r＝60，解得r＝3， 　　∴内切圆的直径为6步， 　　答：B．6步 第 10 题　提升层　【来源：2024•红花岗区期末】 【解答】 A．24 B．28 C．32 D．36 　　连接DO，EO， 　　∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F， 　　∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD＝CE，BD＝BF＝4，AF＝AE＝6， 　　∴AB＝AF+BF＝6+4＝10， 　　又∵∠C＝90°， 　　∴四边形OECD是矩形， 　　又∵EO＝DO， 　　∴矩形OECD是正方形， 　　设EO＝x， 　　则EC＝CD＝x， 　　在Rt△ABC中，由勾股定理得： 　　C{2}A＝B{2}$， 　　故（x+4+（x+6＝， 　　解得：x＝2， 　　∴BC＝6，AC＝8， 　　∴6×8＝24， 　　答：A．24 第 11 题　提升层　【来源：2025•常州模拟】 【解答】 A．16 B．23 C．25 D．32 　　∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，CF＝7，AB＝9， 　　∴AE＝AD，BF＝BD，CE＝CF＝7， 　　∴AE+BF＝AD+BD＝AB＝9， 　　∴AB+AC+BC＝AB+CE+AE+BF+CF＝9+7+9+7＝32， 　　∴△ABC的周长为32， 　　答：D．32 第 12 题　提升层　【来源：2026•宁夏模拟】 【解答】 　　连接OA、OB． 　　∵点O是△ABC的内心， 　　∴AO、BO分别是∠CAB和∠CBA的角平分线． 　　∴∠EAO＝∠BAO，∠FBO＝∠ABO． 　　∵EF∥BA， 　　∴∠EOA＝∠OAB，∠FOB＝∠OBA． 　　∴∠EAO＝∠EOA，∠FOB＝∠FBO． 　　∴EO＝EA，OF＝FB． 　　∴EF＝AE+BF， 　　∴△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+EA+CF+FB＝CA+CB＝18﹣6＝12（cm）， 第 13 题　提升层　【来源：2025•响水县期中】 【解答】 　　过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，OH⊥AB于点H，连接OA，OB，OC，如图所示： 　　∵点O是△ABC的内心， 　　∴设OE＝OF＝OH＝a． 　　当⊙O的半径r＝a＝OE时，⊙O与AB相切于点H， 　　此时⊙O与线段AB有且只有一个公共点． 　　在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， 　　由勾股定理得：AB10， 　　∵++＝， 　　∴AC•OFBC•OEAB•OH\frac{1}{2}$AC•BC， 　　∴4a+3a+5a＝24， 　　解得：a＝2， 　　∴OE＝OF＝OH＝a＝2． 　　∵∠C＝∠OEC＝∠OFC＝90°，OE＝OF， 　　∴四边形OECF是正方形，∴CE＝CF＝OE＝2， 　　∴BE＝BC﹣CE＝6﹣2＝4． 　　由上面的计算可知：当⊙O的半径r＝2时，⊙O与线段AB有且只有一个公共点； 　　另外，当OB＜r≤OA时，⊙O与线段AB有且只有一个公共点． 　　在Rt△OBH和Rt△OBE中， 　　， 　　∴Rt△OBH≌Rt△OBE（HL）， 　　∴BH＝BE＝4， 　　∴AH＝AB﹣BH＝6， 　　在Rt△OBH中，由勾股定理得：OB， 　　在Rt△OAH中，由勾股定理得：OA， 　　∴当时，⊙O与线段AB有且只有一个公共点， 　　综上所述：当或r＝2时，⊙O与线段AB有且只有一个公共点． 第 14 题　提升层　【来源：2025•潍坊期中】 【解答】 　　如图，连接OF，OD，延长AP交EF于点H， 　　由作图过程可知AP平分∠BAC，则∠BAC＝2∠FAH， 　　∵Rt△ABC的内切圆（圆心为O）与各边分别相切于点D，E，F， 　　∴AF＝AE，BF＝BE，CD＝CE，∠ODC＝∠OEC＝90°， 　　∴△AEF是等腰三角形， 　　∴AH垂直平分EF，即AP垂直平分EF， 　　故结论①正确，符合题意； 　　∵AF＝AE，BF＝BD，CD＝CE， 　　∴AC+BC﹣AB＝AE+CE+CD+BD﹣BF﹣AF＝CE+CD， 　　∵∠ODC＝∠OEC＝∠C＝90°， 　　∴四边形ODCE是矩形， 　　∵CD＝CE， 　　∴四边形ODCE是正方形， 　　∴CE＝CD＝OE， 　　∴AC+BC﹣AB＝CE+CD＝2OE， 　　故结论③正确，符合题意； 　　∵∠AFE+∠FAH＝90°，∠B+∠BAC＝90°，∠BAC＝2∠FAH， 　　∴∠AEF≠∠B， 　　故结论②错误，不符合题意， 　　综上所述，正确的结论有①③． 第 15 题　提升层　【来源：2025•广安区期末】 【解答】 　　（1）∵∠C＝40°， 　　∴∠ABC+∠BAC＝180°﹣40°＝140°， 　　∵⊙O为△ABC的内切圆， 　　∴∠BAO＝∠CAO，∠ABO＝∠CBO， 　　∴， 　　∴∠AOB＝180°﹣70°＝110°； 　　（2）∵⊙O为△ABC的内切圆，DE为⊙O的切线，设切点为I， 　　∴EH＝EI，DI＝DG， 　　∴△CDE的周长为：CD+CE+DE 　　＝CD+CE+EI+DI， 　　＝CD+CE+EH+DG， 　　＝CG+CH， 　　∵AF＝AH，BF＝BG，CG＝CH， 　　∴CG+CH＝（AB+BC+AC）﹣（AH+AF+BF+BG）， 　　＝8+6+9﹣2AB 　　＝8+6+9﹣2×6 　　＝11． 　　答：（1）∠AOB＝110°；（2）△CDE的周长为11． 第 16 题　提升层　【来源：2024•自贡】 【解答】 　　（1）解：连接OE，OF，如图： 　　由切线长定理可知，AF＝AD，BD＝BE， 　　∵∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆， 　　∴∠C＝∠OEC＝∠OFC＝90°，OE＝OF， 　　∴四边形OECF是正方形， 　　设OE＝OF＝CF＝CE＝x，则BE＝BC﹣CE＝4﹣x＝BD，AF＝AC﹣CF＝3﹣x＝AD， 　　∵BD+AD＝AB5， 　　∴4﹣x+3﹣x＝5， 　　解得x＝1， 　　∴OE＝1，即⊙O半径长为1； 　　（2）证明：过O作OH⊥MN于H，连接OD，OE，OF，如图： 　　∵∠ANM＝90°＝∠ACB，∠A＝∠A，AM＝AB， 　　∴△AMN≌△ABC（AAS）， 　　∴AN＝AC， 　　∵AD＝AF， 　　∴AN﹣AD＝AC﹣AF，即DN＝CF， 　　同（1）可知，CF＝OE， 　　∴DN＝OE， 　　∵∠ANM＝90°＝∠ODN＝∠OHN， 　　∴四边形OHND是矩形， 　　∴OH＝DN， 　　∴OH＝OE，即OH是⊙O的半径， 　　∵OH⊥MN， 　　∴MN是⊙O的切线． 　　答：（1）AF＝AD，BD＝BE，⊙O的半径长为1；（2）证明见详解． 第 17 题　提升层　【来源：2024•单元】 【解答】 　　∵AB＝60cm，BC＝80cm， 　　∴AC＝100cm， 　　∴S60×80＝2400（cm），C＝60+80+100＝240（cm） 　　由r，得r20（cm）， 　　如图， 　　王奶奶的做法是： 　　在BC上取点D，使BD＝20cm， 　　以BD为边在△ABC内作正方形BDOE， 　　以O为圆心20cm长作圆， 　　则剪下来的圆片的直径最大． 　　此时圆的直径为40cm． 　　答：在BC上取点D使BD＝20cm，以BD为边在△ABC内作正方形BDOE，再以O为圆心、20cm为半径作圆即为最大圆片；这个圆的直径为40cm． 第 18 题　拓展层　【来源：2024•灵宝市期中】 【解答】 　　证明：（1）∵点I是△ABC的内心， 　　∴∠BAD＝∠CAD， 　　∵∠CBD＝∠CAD， 　　∴∠BAD＝∠CBD； 　　（2）如图，连接BI， 　　∵点I是△ABC的内心， 　　∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI， 　　∵∠CBD＝∠CAD， 　　∴∠BAD＝∠CBD， 　　∴∠BID＝∠ABI+∠BAD， 　　∴∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠CAD＝∠CBD， 　　∵∠IBD＝∠CBI+∠CBD， 　　∴∠BID＝∠IBD， 　　∴ID＝BD； 　　（3）如图，连接BI、CI，DC， 　　∵∠BAD＝∠CAD， 　　∴， 　　∴BD＝CD， 　　∴BD＝CD＝ID， 　　∴点D是△BIC的外心． 　　答：（1）∠BAD＝∠CBD；（2）BD＝ID；（3）点D是△BIC的外心（证明见详解）． 第 19 题　拓展层　【来源：2024•陕西】 【解答】 　　（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝8， 　　由勾股定理得：BC17． 　　由三角形的面积得：AB•ACBC•AD， 　　∴AB•AC＝BC•AD， 　　∴AD． 　　（2）可以． 　　∵三角形内最大的圆是三角形的内切圆， 　　∴所求圆的圆心是△ABC的内心， 　　作∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF交于点O， 　　则点O就是裁出的最大圆型部件的圆心O的位置， 　　过点O作OH⊥BC于H，OP⊥AC于P，OQ⊥AB于Q，连接OA，OB，OC，过点A作AM⊥BC于M，如图所示： 　　设BM＝xcm，⊙O的半径为Rcm， 　　∵AB＝100cm，BC＝160cm，AC＝140cm， 　　∴CM＝（160﹣x）cm， 　　在Rt△ABM中，由勾股定理得：M{2}A﹣M{2}100{2}x{2}$， 　　在Rt△ACM中，由勾股定理得：M{2}A﹣M{2}140{2}）{2}$， 　　∴﹣＝﹣（160﹣x， 　　解得：x＝50， 　　∴AM（cm）， 　　∴BC•AM（m{2}$） 　　∵点O为△ABC的内心， 　　∴OH＝OP＝OQ＝Rcm， 　　∵++＝， 　　∴BC•OHAC•OPAB•OQ， 　　即（100+160+140）R， 　　∴R． 　　答：（1）AD＝；（2）可以，圆心O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点（即△ABC的内心），⊙O的半径为cm． 第 20 题　拓展层　【来源：2024•同步】 【解答】 　　（1）∵M是△ABC的内心， 　　∴∠MABCAB，∠MBACBA， 　　∴∠AMB＝180°﹣∠MAB﹣∠MBA＝180°（∠CAB+∠CBA）＝180°（180°﹣∠C）＝90°∠C＝90°+24°＝114°； 　　（2）设⊙M切AB于D，BC于E，AC于F，连接MD，ME，MF，CM， 　　∵M为△ABC的内心， 　　∴MD＝ME＝MF，MD⊥AB，ME⊥BC，MF⊥AC． 　　∵AC＝BC， 　　∴C，M，D在一条直线上， 　　∴CD⊥AB， 　　∴AD＝BDAB＝6， 　　在Rt△ADC中，AC＝10，AD＝6，根据勾股定理得： 　　CD8， 　　∵++＝， 　　∴AB•MDBC•MEAC•MFAB•CD， 　　∴12MD+10MD+10MD＝12×8， 　　∴MD＝3， 　　∴AM3． 　　答：（1）∠AMB＝114°；（2）AM＝3． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 防抄袭同步作业 · 通用说明文档 初中数学 · 授课教师参考 一、资料整体介绍 本资料是面向初中数学课堂的同步作业，专为防治作业抄袭而设计.兼顾分层作业和题型练习两个功能. 整套资料由四份文件组成：本说明文档、甲卷、乙卷、答案解析（详见板块四）. 甲、乙两卷主体题目完全一致，仅在极少数题目上设置差异【换题目数据，调整选项位置等细微差异】，既保留常规作业形态，又让抄袭无处遁形. 二、防抄袭设计说明 以下仅说明成品特性，便于教师快速了解资料结构： 1　 双卷结构：资料分为甲、乙两套学生卷，并为教师配套【教师速抄版答案】与【详细分步解析版】两套答案，批改时各取所需. 2　 少量差异题：随机选取少量题目制作差异试题，其余题目在甲、乙两卷中保持一致，最大程度减轻教师的批改与讲评负担. 三、教师使用指导 · 发卷：甲、乙两卷随机发放即可；学生不仔细审题无法分辨自己拿到的是哪一版. · 批改：绝大多数题目两卷答案相同，可照常批改；少数差异题请对照《答案解析》首页的差异题提示，核对该生所答卷面的答案. · 讲评：直接使用《答案解析》中的分步解析版，甲、乙两卷通用，无需分别准备. 四、配套文件说明 本套资料共包含以下 4 份文件，均可单独打印与分发： 文件 说明 通用说明文档 防抄袭设计说明与教师使用指引（即本文件） 甲卷 学生练习卷 乙卷 学生练习卷 答案解析 教师用：速抄版答案 + 分步解析版，首页标注差异题 学科网（北京）股份有限公司 $九年级上 3.5.5 三角形的内切圆　同步作业 九年级上 3.5.5 三角形的内切圆　同步作业 班级＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿　学号＿＿＿＿＿ 基础练习 · 分层题型目录 题型一　三角形的内切圆·判定切点三角形的形状 1 题型二　三角形的内切圆·运用勾股定理求半径 2 题型三　三角形的内切圆·求剪下三角形的周长 3 题型四　三角形的内切圆·运用内心角公式求角 4 题型五　三角形的内切圆·内心与外心角度互求 5 题型六　三角形的内切圆·结合一元二次方程求半径 6 题型七　三角形的内切圆·列方程组求切线长 7 题型八　三角形的内切圆·结合周长求切线长 8 提升练习 · 分层题型目录 题型一　三角形的内切圆·传统文化情境中求直径 9 题型二　三角形的内切圆·运用切线长定理求面积 10 题型三　三角形的内切圆·整体代换求周长 11 题型四　三角形的内切圆·平行线背景下求周长 12 题型五　三角形的内切圆·分类讨论半径取值范围 13 题型六　三角形的内切圆·尺规作图背景下判断结论 14 题型七　三角形的内切圆·新切线背景下求角与周长 15 题型八　三角形的内切圆·证明直线与内切圆相切 16 题型九　三角形的内切圆·设计裁剪方案并求直径 17 拓展练习 · 分层题型目录 题型一　三角形的内切圆·证明内心与外接圆的结论 18 题型二　三角形的内切圆·探究裁最大圆的可行性 19 题型三　三角形的内切圆·结合等腰三角形求角与线段 20 基础练习 题型一　三角形的内切圆·判定切点三角形的形状 1．【A】【来源：2026•南京模拟】已知△ABC的内切圆⊙O切三角形的三边于点D，E，F，则△DEF是（ ___ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能 题型二　三角形的内切圆·运用勾股定理求半径 2．【A】【来源：2026•东西湖区校级月考】如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则它的内切圆⊙O的半径是（ ___ ） A．1 B．2 C．2.5 D．5 题型三　三角形的内切圆·求剪下三角形的周长 3．【A】【来源：2026•泰山区校级模拟】如图，周长为18cm的三角形纸片ABC，其中AC＝4cm．小刚想用剪刀剪出它的内切圆⊙O，他先沿着与⊙O相切的直线DE剪下一个三角形纸片BDE．则三角形BDE的周长是（ ___ ） A．10cm B．9cm C．8cm D．7cm 题型四　三角形的内切圆·运用内心角公式求角 4．【A】【来源：2025•昌黎县期末】在△ABC中，∠A＝50°，⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，则∠BOC的度数为（ ___ ） A．105° B．110° C．115° D．125° 题型五　三角形的内切圆·内心与外心角度互求 5．【A】【来源：2026•东营区校级模拟】如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为 ___ ． 题型六　三角形的内切圆·结合一元二次方程求半径 6．【A】【来源：2025•江阴市校级月考】已知Rt△ABC的两直角边AC、BC分别是一元二次方程﹣17x+60＝0的两根，则此Rt△ABC的内切圆的半径为 ___ ． 题型七　三角形的内切圆·列方程组求切线长 7．【A】【来源：2025•呈贡区期末】如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝14，BC＝20，CA＝18，则AF的长为　　． 题型八　三角形的内切圆·结合周长求切线长 8．【A】【来源：2025•界首市期末】如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝6，BE＝4．若△ABC的周长为36，则CF的长为 ___ ． 提升练习 题型一　三角形的内切圆·传统文化情境中求直径 9．【B】【来源：2025•铁锋区期末】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径是（ ___ ） A．5步 B．6步 C．8步 D．10步 题型二　三角形的内切圆·运用切线长定理求面积 10．【B】【来源：2024•红花岗区期末】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若BF＝4，AF＝6，则△ABC的面积是（ ___ ） A．24 B．28 C．32 D．36 题型三　三角形的内切圆·整体代换求周长 11．【B】【来源：2025•常州模拟】如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．若CF＝7，AB＝9，则△ABC的周长为（ ___ ） A．16 B．23 C．25 D．32 题型四　三角形的内切圆·平行线背景下求周长 12．【B】【来源：2026•宁夏模拟】如图，△ABC的周长是18cm，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点E、F，已知AB＝6cm，则△CEF的周长为 ___ cm． 题型五　三角形的内切圆·分类讨论半径取值范围 13．【B】【来源：2025•响水县期中】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，O是△ABC的内心，以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有且只有一个公共点，则r的取值范围是 ___ ． 题型六　三角形的内切圆·尺规作图背景下判断结论 14．【B】【来源：2025•潍坊期中】如图，Rt△ABC的内切圆（圆心为O）与各边分别相切于点D，E，F，连接OE．以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交AB，AC于M，N两点；分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P；作射线AP．有下列结论： ①AP垂直平分EF；②∠AEF＝∠B；③AC+BC﹣AB＝2OE．其中正确结论的序号是 ___ ． 题型七　三角形的内切圆·新切线背景下求角与周长 15．【B】【来源：2025•广安区期末】如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为F、G、H，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线． （1）若∠C＝40°，求∠AOB的度数；（2）若AC＝8，AB＝6，BC＝9，求△CDE的周长． 题型八　三角形的内切圆·证明直线与内切圆相切 16．【B】【来源：2024•自贡】在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．（1）图中三组相等的线段分别是CE＝CF，AF＝ ___ ，BD＝ ___ ；若AC＝3，BC＝4，则⊙O半径长为 ___ ；（2）如图，延长AC到点M，使AM＝AB，过点M作MN⊥AB于点N．求证：MN是⊙O的切线． 题型九　三角形的内切圆·设计裁剪方案并求直径 17．【B】【来源：2024•单元】如图，王奶奶有一块三角形的布料，∠ABC＝90°，她要裁一个圆片，已知AB＝60cm，BC＝80cm，为了充分地利用这块布料，使剪下来的圆片的直径尽量大些，她应该怎样裁剪？这个圆的直径是多少？ 拓展练习 题型一　三角形的内切圆·证明内心与外接圆的结论 18．【C】【来源：2024•灵宝市期中】如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D．（1）求证：∠BAD＝∠CBD；（2）求证：BD＝ID；（3）连接BI、CI，求证：点D是△BIC的外心． 题型二　三角形的内切圆·探究裁最大圆的可行性 19．【C】【来源：2024•陕西】 问题提出（1）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．若AB＝15，AC＝8，则AD的长为 ___ ； 问题解决（2）如图所示，某工厂剩余一块△ABC型板材，其中AB＝100cm，BC＝160cm，AC＝140cm．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆型部件的圆心O的位置，并求出⊙O的半径；若不可以，请说明理由． 题型三　三角形的内切圆·结合等腰三角形求角与线段 20．【C】如图，在△ABC中，M是△ABC的内心． （1）若∠C＝48°，求∠AMB的度数；（2）AC＝BC＝10，AB＝12，求AM的长． 学科网（北京）股份有限公司 $