2.3 用反比例函数解决问题 第1课时（课件）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“用反比例函数解决问题”，以阿基米德杠杆原理名言导入，通过分析动力与动力臂关系，衔接杠杆平衡条件旧知，搭建从实际问题抽象数学模型的学习支架，引导学生掌握反比例函数应用。 其亮点在于以“寻找定值—建立模型—求解检验”为主线，结合杠杆原理、压强与受力面积等实例，培养学生数学眼光（抽象实际问题中变量关系）和模型意识（构建反比例函数模型）。课堂练习涵盖电流电阻、小孔成像等多情境，助力学生用数学语言表达现实问题，提升应用能力，也为教师提供结构化教学思路与丰富实例。

授课老师： 授课时间：202X.X 第2章 反比例函数 2.3 用反比例函数解决问题 第1课时 用反比例函数解决问题（1） 更多模板请关注：https：//haosc.taobao.com 导入新课 给我一个支点，我能撬起整个地球——阿基米德 阿基米德的这句名言背后，蕴含着一个重要的科学原理——杠杆 原理. 杠杆原理的内容是什么？ 当杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂. 2 导入新课 当石头的位置和质量不变时，阻力与阻力臂的乘积就是一个定值.那么，动力和动力臂之间会呈现出怎样的变化规律？动力臂越长，动力会怎样变化？ 3 新知探究 任务一：探究杠杆原理中的反比例函数应用 某人用一根撬棒移除重1 200 N的重物，如 图2-9，杠杆的阻力臂为0.5 m，当动力臂l分别 为2 m，1.6 m，1 m时，此人分别要使出多大的 力才能撬起重物后使杠杆保持平衡？ 4 新知探究 上面问题中，会用到哪个原理？哪些量没有变化？能否快速计算出这个问题中的定值是多少？ 用到杠杆原理. 阻力及阻力臂是不变的量， 定值为1 200×0.5＝600. 5 新知探究 寻找定值是建模的第一步. 如果设此人所使出的动力为F N，手握点到支点的距离为l m，能写出动力F (N)与动力臂l (m)之间的等量关系式吗？ Fl＝600. 第二步要确定变量的取值范围，结合生活实际，动力和动力臂可以为负数吗？取值范围是什么？ 不可以，F＞0，l＞0. 6 新知探究 F 和l 是什么函数关系？为什么？这是第三步，是建立函数模型的关键步骤. F＝. 对每一个l (l＞0)的值，F 都有唯一确定的值与它对应，F是l 的反比例函数. 7 新知探究 得到了函数表达式，如何解答当动力臂l 分别为2 m，1.6 m，1 m时，此人分别要使出多大的力才能撬起重物且使杠杆保持平衡？ 把函数表达式中l 的值分别用2，1.6，1代替，就可以得到此人要使出的力分别为300 N，375 N，600 N. 8 新知探究 总结： 寻找定值关系—确定变量范围—建立函数模型—运用性质求解—结合实际检验. 9 新知探究 例 在压力不变的情况下，某物体 所受到的压强 p Pa与受力面积S m2成反 比例函数关系，其图象如图所示. 已知 当S＝0.1 m2时，p＝1 000 Pa. (1)求 p关于S的函数表达式； (2)要使该物体所受到的压强 p不超过250 Pa，它的受力面积最小为多少？ 任务二：探究压强与受力面积的反比例函数应用 10 问题1：要求反比例函数表达式，第一步要先设出反比例函数的一般形式，说说求解过程. 设函数表达式为 p＝(k为常数，k≠0). 当S＝0.1时，p＝1 000，得1 000＝. 解得k＝100. 所以所求函数表达式为 p＝. 新知探究 11 问题2：在压力不变的情况下，观察第一象限的函数图象，受力面积S逐渐变大时，压强 p会如何变化？ 受力面积逐渐变大时，压强会逐渐变小. 问题3：题中压强不超过250 Pa，也就是 p≤250 Pa，压强存在上限，结合的变化规律，受力面积存在最大值还是最小值？ 受力面积存在最小值. 新知探究 12 问题4：请把 p＝250 Pa代入函数表达式，自主完成题目的解答过程. 把 p＝250 Pa代入p＝，得250＝，所以S＝0.4(m2). 根据反比例函数的性质，p随S的增大而减小，所以要使该物体受到的压强不超过250 Pa，它的受力面积至少为0.4 m2. 新知探究 13 解：(1) 设函数表达式为 p＝（k为常数，k≠0）． 当 S＝0.1 时，p＝1 000，得 1 000＝． 解得 k＝100． 所求函数表达式为 p＝． (2) 根据题意，把 p＝250 代入 p＝， 得 S＝100÷250＝0.4 (m2)． 根据反比例函数的性质，p 随 S 的增大而减小，因此要使该物体所受到的压强 不超过 250 Pa，其受力面积最小为 0.4 m2． 若问题改为“要使压强不低于500 Pa”，也就是 p≥500 Pa，受力面积应满足什么条件？ 方法1：把 p＝500 Pa代入，得S＝0.2(m2). 结合图象，根据反比例函数的性质，p随S的增大而减小，所以要使压强不低于500 Pa，受力面积应不超过0.2 m2，即受力面积最大为0.2 m2. 方法2：可以转化为不等式求解. 由 p≥500 Pa，得≥500. 因为S＞0，解得S≤0.2，此时面积有最大值，为0.2 m2. 新知探究 15 在图象上标注出临界点，可以直观看出，第一象限内反比例函数图象从左到右呈下降趋势，数形结合可以直接判断取值情况. 也可以利用反比例函数增减性，但将文字条件“不超过”“不低于”转化为不等式时，要注意方向：p随S的增大而减小，所以 p小对应S大，p大对应S小. 新知探究 16 1．已知压力F(N)、压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间有如下关系式：F＝pS.当F为定值时，下列4个图象中能大致表示压强p与受力面积S之间的函数关系的是(　　) D 课堂练习 17 2．湖北中考已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，其图象如图所示．当电阻R大于9 Ω时，电流I可能是(　　) A．3 A B．4 A C．5 A D．6 A A 3. 如图，根据小孔成像的原理，当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛的火焰高度)不变时，火焰的像高y(单位：cm)是物距(蜡烛到小孔的距离)x(单位：cm)的反比例函数，当x＝5 cm时，y＝1.6 cm，则y关于x的函数表达式是________． 4．某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p(Pa)是气球体积V(m3)的反比例函数，且当V＝3 m3时，p＝8 000 Pa.当气球内的气体压强大于40 000 Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于________m3. 0.6 5．苏州期中 很多学生由于用眼不科学，导致视力下降，需要佩戴眼镜．研究发现，近视眼镜的度数y度与镜片焦距x m成反比例，且y与x的反比例函数图象如图所示． (1)当近视眼镜的度数是400度时，镜片焦距是多少米？ (2)小明原来佩戴300度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗加注意用眼健康，复查验光时，所配镜片焦距调整为0.4 m，则小明的眼镜度数下降了多少度？ 6．科学课上，同学们用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h(单位：cm)是液体的密度ρ(单位：g/cm3)的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1 g/cm3的水中时，h＝20 cm. (1)求h关于ρ的函数表达式； (2)当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25 cm，求该液体的密度ρ. 7．制作一种工艺品时，需先将材料加热到50 ℃，再进行后续操作．设整个过程所用时间为x(min)，材料的温度为y(℃)，材料加热过程中，y是x的一次函数，工艺品制作过程中，y是x的反比例函数，材料加热与工艺品制作过程中，y与x的函数图象如图所示． (1)求整个过程中y与x的函数关系式． (2)若此工艺品在制作过程中温度不能低于15 ℃，那么加热一次后，最多几分钟就得停止工艺品的制作？   8．心理学家研究发现，一般情况下，在一节40 min的课中，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x(min)的变化规律如图所示，其中AB，BC分别为线段，BC平行于x轴，CD为反比例函数图象的一部分．上课开始时，注意力指数为20，第10 min时，注意力指数为40.根据图象信息，回答下列问题： 29 (1)中间一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态持续的时长为________min. (2)若开始上课第x(x≠40) min时学生的注意力指数和上课第40 min时的注意力指数相等，求x的值． 15 解：设一次函数的表达式为y＝kx＋b(k≠0，0≤x≤10)， 把点(0，20)，(10，40)的坐标分别代入y＝kx＋b， (3)一道数学题，需要讲19 min，为了讲解效果，要求学生的注意力指数至少为36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力指数达到所需要的状态下讲解完这道题？请说明理由． 33 课堂总结 1.本节课我们研究了什么？ 2.我们研究了哪几类实际问题？ 3.解决这些问题的共同步骤是什么？ 4.我们解决“至多、至少”这类逆向问题时，最关键的数学思想是什么？ 34 y＝ 解：由题中图象可知，当x＝0.5时，y＝200， ∴反比例函数表达式为y＝，即y＝. 当y＝400时，x＝＝0.25， ∴当近视眼镜的度数是400度时，镜片焦距是0.25 m. 解：当x＝0.4时，y＝＝250，300－250＝50(度)． ∴小明的眼镜度数下降了50度． 解：设h关于ρ的函数表达式为h＝， 把ρ＝1，h＝20代入h＝，得20＝，∴k＝20. ∴h关于ρ的函数表达式为h＝. 解：把 h＝25 代入h＝，得 25＝，解得ρ＝0.8， ∴该液体的密度ρ为 0.8 g/cm3. 解：设一次函数的表达式为y＝kx＋b(0≤x≤6)．∵点(0，10)，(6，50)在一次函数图象上，∴解得∴一次函数表达式为y＝x＋10(0≤x≤6)．设反比例函数表达式为y＝(x＞6)．易得m＝6×50＝300.∴反比例函数表达式为y＝(x>6)． ∴整个过程中y与x的函数关系式为y＝ 解：在y＝(x＞6)中，当y＝15时，x＝＝20，20－6＝14(min)． ∴加热一次后，最多14 min就得停止工艺品的制作． 得解得∴一次函数的表达式为y＝2x＋20(0≤x≤10)．设反比例函数的表达式为y＝(k′≠0，25≤x≤40)， 把点(25，40)的坐标代入y＝，得40＝，解得k′＝1 000， ∴反比例函数的表达式为y＝(25≤x≤40)． 把x＝40代入y＝，得y＝＝25. 把y＝25代入y＝2x＋20，得25＝2x＋20，解得x＝2.5. 解：能．理由：把y＝36代入y＝2x＋20，得36＝2x＋20，解得x＝8. 把y＝36代入y＝，得36＝，解得x＝. ∵－8＝＝19＞19， ∴老师能在学生注意力指数达到所需要的状态下讲解完这道题． $