3.1 圆的相关概念（第2课时）（教学课件）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学课件聚焦圆的弦、弧、圆心角、同心圆、等圆等概念及同圆或等圆半径相等的性质。通过问题情境导入，引导学生思考如何用线段与角研究圆，观察画圆过程中角与线段的变化，衔接圆的基本概念，搭建从直观操作到抽象概念的学习支架。 其特色在于融合数学眼光与数学思维，通过概念辨析（如直径是否为弦）、动手作图（作圆内接等腰三角形和正方形）及推理计算（全等、勾股定理应用例题），培养学生几何直观、空间观念与推理意识。课堂小结系统梳理概念、性质与应用，帮助学生构建知识体系，教师可借此提升备课效率与教学效果。

3.1 圆的相关概念（2） 第三章 圆 学 习 目 标 1 2 理解弦、弧（优弧、劣弧、半圆）、圆心角、同心圆、等圆的概念． 掌握用符号语言表示弧的方法，能正确读出弧的符号表达． 3 能运用“同圆或等圆的半径相等”这一基本性质，进行简单的几何推理与计算． 问题情境 圆是曲线，我们如何研究它？ 我们可以通过线段与角来研究圆的几何性质． ∠AOB的大小在变化；线段AB的长度也在变化 画圆过程中，哪些几何元素在变化？ 思考：圆中有多少条弦？直径是弦吗？弦一定是直径吗？ 圆中有无数条弦，其中直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径． 概念讲解 连接圆上任意两点的线段叫作弦(chord)． 如图，AC是⊙O的弦． 经过圆心的弦叫作直径(diameter)． 如图，AB是⊙O的直径． 1.弦的定义： A C O ● B 新知巩固 如图,点A,B,C,D在⊙O上．在图中画出以这四点中的两点为端点的弦． O ● C ● B ● A ● 解：有6条弦，分别为线段AB，AC，AD，BC，BD，CD． D ● 1＋2＋3＋4＋⋯＋n－1＝ 延伸：若圆上有n个点，以其中的两点为端点的弦共有多少条？ 概念讲解 圆上任意两点间的曲线段叫作圆弧， 简称弧(arc)，用符号“⌒”表示． 如图，以A，C为端点的弧，记作“”， 读作“弧AC”． 2.弧的定义： O ● C ● A ● 概念讲解 O ● 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成长度相等的两条弧，每条弧都叫作半圆． 大于半圆的弧叫作优弧 (major arc)， 小于半圆的弧叫作劣弧 (minor arc)． 如图，是优弧，是劣弧． C ● 劣弧通常用两个大写字母表示，优弧通常用三个大写字母表示. B ● A ● 弧分为3类. P M N 概念讲解 O ● 3.圆心角的定义： B A 顶点在圆心的角叫作圆心角(central angle)． 如图，∠AOB是圆心角． 辨析：如图，∠PMN是不是圆心角？为什么？ 不是，角的顶点不在圆心． ● O A B C 新知巩固 1．如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是 ( ) A．∠ABC B．∠AOB C．∠OAB D．∠OCB B 2．图中共有___条弧，其中劣弧是__________，优弧是____________ 6 · O A B C 第1题 第2题 一条弦对的弧有两条. 概念讲解 4.同心圆、等圆的定义： 圆心相同，半径不相等的两个圆叫作同心圆 (concentric circles)． 半径相等的两个圆叫作等圆 (equal circle)． ● O ● ● 获取新知 同圆或等圆的半径相等． 同一个圆中，所有半径长度相等，等圆的所有半径也相等．由此，我们得到如下结论： 这是圆的几何性质中最基础的公理，也是圆中相关证明与计算的根本依据． 例题讲解 例2 如图，点A，B和点C，D分别在以点O为圆心的两个同心圆上，∠AOB＝∠COD．∠C与∠D相等吗？为什么？ 解：∠C与∠D相等．理由如下： ∵ ∠AOB＝∠COD， ∴ ∠BOC＝∠AOD． ∵ OB＝OA，OC＝OD（同圆的半径相等）， ∴ △BOC≌△AOD． ∴ ∠C＝∠D． ● ● O A B D C 新知巩固 1．如图，OA，OB是⊙O的半径，C，D分别是OA，OB的中点． AD与BC相等吗？为什么？ A B C D O ● 解：AD与BC相等．理由如下： ∵ C，D分别是OA，OB的中点， ∴ OC＝OA， OD＝OB， ∵ OA＝OB（同圆的半径相等）， ∴ OC＝OD． 在△AOD和△BOC中，， ∴ △AOD≌△BOC (SAS)， ∴ AD＝BC． 新知巩固 2．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D， CD＝4，OD＝3．求AB的长． A B C D O ● 解：连接OC． ∵ CD⊥AB， ∴ ∠ODC＝90° 在Rt△ODC中，由勾股定理，得 OC2＝OD2＋CD2＝32＋42＝25． 解得 OC＝5． ∵ AB是⊙O的直径， ∴ AB＝OA＋OB＝2OC（同圆的半径相等） ∴ AB＝2×5＝10． 答：AB的长为10． 新知探究 如图，用直尺和圆规分别作顶点都在⊙O上的等腰三角形和正方形． ● O 解：等腰三角形的作法： 1．在圆周上任意取一点 A ； 2．以 A 为圆心、小于直径的任意长为半径画弧， 交⊙O于两点 B、C ； 3．连接线段 AB、AC、BC ； △ABC 即为所求的等腰三角形． A ● C ● B ● 新知探究 正方形的作法： 1．作直径 AB ； 2．过 O 作AB的垂线，交⊙O于C，D两点； 3．依次连接 A，C，B，D ； 四边形 ACBD 即为所求的正方形． 如图，用直尺和圆规分别作顶点都在⊙O上的等腰三角形和正方形． A B ● O C ● D ● 新知巩固 1．在图中，画出⊙O的两条直径，依次连接这两条直径的端点得到一个四边形．判断这个四边形的形状，并说明理由． A B C D O ● 解：矩形．理由如下： 如图，AC、BD是⊙O的两条直径，顺次连接 AB、BC、CD、DA． ∵ OA＝OC，OB＝OD（同圆的半径相等）， ∴ 四边形ABCD是平行四边形． ∵ AC＝BD， ∴ 四边形ABCD为矩形． 新知巩固 2．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的半径OA，OF分别 交小圆于点C，D．AB与CD有怎样的位置关系？为什么？ A B C D O ● 解：AB∥CD．理由如下： 在△OAB中， ∵ OA＝OB， ∴∠A＝∠B． ∵ ∠A＋∠B＋∠O＝180°， ∴ ∠A＝． 同理，∠OCD＝． ∴ ∠A＝∠OCD， ∴ AB∥CD． 新知巩固 3．如图，⊙O的直径AB＝4，半径OC⊥AB，点D在上，DE⊥OC， DF⊥AB，垂足分别是E，F．求EF的长． 解：连接OD， ∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB， ∴∠EOF＝∠OED＝∠OFD＝90°， ∴四边形OFDE为矩形， ∴EF＝OD＝AB＝×4＝2． A B C D O ● F E 课堂小结 3.1 圆的相关概念（2） 圆的相关概念：弦、直径、弧（优弧、劣弧、半圆）、圆心角、同心圆、等圆 性质：同圆或等圆半径相等 应用：①证明线段/角相等：全等三角形； ②计算半径的长度：勾股定理，矩形的性质 感谢聆听！ $