广东省汕头市第一中学2026-2027学年第一学期开学考试高三数学试题

**基本信息** 2026-2027学年高三开学数学卷，以基础巩固与能力诊断为核心，通过PM2.5监测数据、台球比赛等真实情境，考查集合、函数、立体几何等主干知识，体现数学眼光观察现实世界、数学思维逻辑推理的核心素养，适配开学初学情定位需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、数列|基础概念辨析，如集合运算、复数模计算| |多选题|3/18|统计图表、立体几何|结合折线图分析数据（第9题），动态几何探究（第10题）| |填空题|3/15|三角函数、不等式|锐角三角函数求值，不等式恒成立问题| |解答题|5/77|三角函数、立体几何、概率、抛物线、导数|分层设计，如15题解三角形基础，19题导数综合证明；联系实际（17题台球比赛概率模型）|

2026-2027学年度第一学期开学考试 高三级 数学科 参考答案 A D B A B C B D ABD BCD BCD 12． 13．2 14． 15．【详解】（1）由正弦定理可知： , 又因为，所以 在锐角中，因为， 所以. （2）因为的面积为， 所以， 由余弦定理，得， 因为，且， 所以是锐角三角形，所以符合题意. 16．【详解】（1）连接， ∵是正方形，是的中点，∴是的中点， ∵是的中点，∴， ∵平面，平面，∴平面． （2）建立如图所示空间直角坐标系，设， 则，，，，， ，， 设平面的法向量，则，则， 取得， 设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 17．【详解】（1）记“甲至少胜2局”为事件，则 因为互斥， 所以， （2）若比赛最多进行6局，甲赢得比赛包括以下3种情况：比赛进行2局甲赢得比赛，比赛进行4局甲赢得比赛，比赛进行6局甲赢得比赛 设“比赛进行局甲赢得比赛” 则 因为，且互斥 所以 18．【详解】（1）由抛物线方程可知：焦点，准线， 由题意可知：，解得， 所以抛物线的方程为. （2）因为点在抛物线内部，则直线的斜率不为0，且直线与抛物线必相交， 设直线，，， 联立方程，消去y可得， 则，， 可得， 则，解得， 所以直线的方程为或. 19．【详解】. （1）当时，，所以在上单调递增； 当时，由解得， 所以在上单调递增；在上单调递减. （2）当时，，故不合题意； 当时，由（Ⅰ）知， ，因此的取值范围为. （3）由（2）知，取，有不等式成立. 当时， 得， 所以 . 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期开学考试 高三级 数学科 试题 注意：试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 一、单选题：本题共有8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足（其中i是虚数单位），则（    ） A．1 B． C．2 D． 3．已知数列是等差数列，是等比数列，且，则数列（    ） A． B． C． D． 4．在等腰梯形中，，若为的中点，记，则（     ） A． B． C． D． 5．二项式的展开式中的常数项是（    ） A． B．120 C． D．160 6．设是等差数列，其前项和为．则“”是“为递增数列”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．在中，内角，，的对边分别为，，．若，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知实数a，b，c满足，则下列关系式中不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9．的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一．划分等级为：日均值在以下，空气质量为一级：日均值在，空气质量为二级：日均值超过为超标．如图是某地12月1日至10日的日均值（单位：）变化的折线图，关于日均值说法正确的是（   ） A．这10天的日均值的第75百分位数为60 B．前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差 C．这10天的日均值的中位数为41 D．前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差 10．如图，正方体的棱长为1，点是线段上的动点，则（    ） A．与不垂直 B．二面角的大小为定值 C．三棱锥的体积为定值 D．若是对角线上一动点，则长度的最小值为 11．在平面直角坐标系中，已知曲线，点为曲线C上一点，则（    ） A．曲线C关于x轴对称 B．曲线C关于原点对称 C．点P的纵坐标的取值范围为 D．直线与曲线C有且仅有两个公共点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知锐角满足，则______． 13．若，且，则的最小值为___________． 14．已知关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（6+7=13分） 在锐角中，角的对边分别为，已知． (1)求； (2)是否存在锐角，其面积为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 16．（5+10=15分） 如图，四棱锥中，为正方形，为等腰直角三角形，且，平面平面，、分别为、中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 17．（5+10=15分） 已知甲､乙两人进行台球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立．设事件分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”． (1)若进行三局比赛，求“甲至少胜2局”的概率； (2)若规定多得两分的一方赢得比赛．记“甲赢得比赛”为事件，最多进行6局比赛，求． 18．（4+13=17分） 已知点在抛物线上，焦点为，，经过点的直线交抛物线于，两点． (1)求抛物线的方程； (2)若，求直线的方程． 19．（5+6+6=17分） 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围； （3）证明：． 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $