广东汕头市第一中学2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试题

2026-2027学年度第一学期开学考试 高三级 数学科 参考答案 A D B A B C B D ABD BCD BCD 12． 13．2 14． 15．【详解】（1）由正弦定理可知： , 又因为，所以 在锐角中，因为， 所以. （2）因为的面积为， 所以， 由余弦定理，得， 因为，且， 所以是锐角三角形，所以符合题意. 16．【详解】（1）连接， ∵是正方形，是的中点，∴是的中点， ∵是的中点，∴， ∵平面，平面，∴平面． （2）建立如图所示空间直角坐标系，设， 则，，，，， ，， 设平面的法向量，则，则， 取得， 设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 17．【详解】（1）记“甲至少胜2局”为事件，则 因为互斥， 所以， （2）若比赛最多进行6局，甲赢得比赛包括以下3种情况：比赛进行2局甲赢得比赛，比赛进行4局甲赢得比赛，比赛进行6局甲赢得比赛 设“比赛进行局甲赢得比赛” 则 因为，且互斥 所以 18．【详解】（1）由抛物线方程可知：焦点，准线， 由题意可知：，解得， 所以抛物线的方程为. （2）因为点在抛物线内部，则直线的斜率不为0，且直线与抛物线必相交， 设直线，，， 联立方程，消去y可得， 则，， 可得， 则，解得， 所以直线的方程为或. 19．【详解】. （1）当时，，所以在上单调递增； 当时，由解得， 所以在上单调递增；在上单调递减. （2）当时，，故不合题意； 当时，由（Ⅰ）知， ，因此的取值范围为. （3）由（2）知，取，有不等式成立. 当时， 得， 所以 . 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期开学考试 高三级 数学科 试题 注意：试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题有且只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D．或 2．已知复数满足（其中是虚数单位），则（ ） A．1 B． C．2 D． 3．已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，．则数列（ ） A． B． C． D． 4．在等腰梯形中，，若为的中点，记，，则（ ） A． B． C． D． 5．二项式的展开式的常数项为（ ） A．-120 B．120 C．-160 D．160 6．设是等差数列，其前项和为．则“”是“为递增数列”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则（ ） A． B． C．2 D．1 8．已知实数a，b，c满足，则下列关系式中不可能成立的是（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9．的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一．划分等级为：日均值在以下，空气质量为一级；日均值在，空气质量为二级；日均值超过为超标．如图是某地12月1日至10日的日均值（单位：）变化的折线图，关于日均值说法正确的是（ ） A．这10天的日均值的第75百分位数为60 B．前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差 C．这10天的日均值的中位数为41 D．前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差 10．如图，正方体的棱长为1，点是线段上的动点，则（ ） A．与不垂直 B．二面角的大小为定值 C．三棱锥的体积为定值 D．若是对角线上一动点，则长度的最小值为 11．在平面直角坐标系中，已知曲线：，点为曲线上一点，则（ ） A．曲线关于轴对称 B．曲线关于原点对称 C．点的纵坐标的取值范围为 D．直线与曲线有且仅有两个公共点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知锐角满足，则_____． 13．若，且，，则的最小值为_____． 14．已知关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（分） 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求； （2）是否存在锐角，其面积为，若存在，求出的值，否则，说明理由． 16．（分） 如图，四棱锥中，为正方形，为等腰直角三角形，且，平面平面，E、F分别为、中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17．（分） 已知甲、乙两人进行台球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立．设事件A，B分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”． （1）若进行三局比赛，求“甲至少胜2局”的概率； （2）若规定多得两分的一方赢得比赛．记“甲赢得比赛”为事件，最多进行6局比赛，求． 18．（分） 已知点在抛物线：上，焦点为，，经过点的直线交抛物线于，两点． （1）求抛物线的方程； （2）若，求直线的方程． 19．（分） 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围； （3）证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $