第26章二次函数与代数推理 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数代数推理，以“考点分层+梯度进阶”设计，覆盖增减性、最值等核心考点，通过中考真题实现从性质应用到推理证明的能力提升，培养推理意识与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用|增减性/对称性求参|选用淮安、德州中考题，直接应用二次函数性质，强化概念理解| |综合分析|存在性/最值/恒成立|结合参数讨论（如苏州中考存在性判断），培养分类讨论能力| |推理证明|代数式关系证明|通过福建中考坐标关系证明、泉州七中系数证明，发展逻辑推理与创新意识|

二次函数与代数推理——新考向 拆分突破 18 二次函数与代数推理(一)增减性与存在性 必刷考点一 增减性求参 1.(2025淮安中考)已知二次函数 (m为常数). (1)证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点； (2)若点A(m+1,y₁),B(m+p,y₂)在其图象上，当 时，求p 的取值范围. 必刷考点二 对称性求参 2.(2025德州中考)已知点 A(x₁,y₁),B(2,y₂)在抛物线 上,若对于 3t-1< 都有 求t 的取值范围. 必刷考点三 存在性求参 3.(2025 苏州中考)M(m,y₁),N(m+2,y₂) 为二次函数 图象上两点.试判断是否存在实数m，使得 若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由. 4.(2025 山东中考)已知二次函数y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b),其中a，b为两个不相等的实数.若点 均在该函数的图象上，是否存在常数m，使得 若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由. 拆分突破19 二次函数与代数推理(二)最值与定值 必刷考点一 最值求参 1.已知二次函数 的图象过点 A(1,0),点 B(-3,0)和点 C.当 时，二次函数的最大值为m，最小值为n，若m-n=8，求a的值. 2.(2025 辽宁中考)二次函数 与二次函数 3)组成新函数y₃，当 时，函数 y₃的最小值为 最大值为 求 n 的取值范围. 必刷考点二 定值求参 3. (2025安徽中考)已知抛物线 经过点(4,0).点. 和 分别在抛物线 和 上(A，B与原点都不重合).当 时，若 是一个与x₁无关的定值，求a 与b 的值. 拆分突破20 二次函数与代数推理(三)比大小与恒成立 必刷考点一 比较大小 1.(2025安徽中考)已知抛物线 经过点(4,0),点 和 分别在抛物线 和 上(A，B与原点都不重合).若 且 比较y₁ 与y₂ 的大小. 2.(2025云南中考)已知a 是常数，函数 记 若x=3a+2,y=1,比较 T 与3的大小. 必刷考点二 恒成立求参 3.(2025德州中考)已知抛物线 (m,n为常数)过点(1，5).若对于任意实数x，都有 此时抛物线 与直线y=4交于M,N 两点,求 MN 的长. 拆分突破21 二次函数与代数推理(四)代数式证明 必刷考点一 坐标关系式证明 1.(2025 福建中考)在平面直角坐标系中，二次函数 的图象过点A(1,t),B(2,()，其最大值为 若M(x₁,m),N(x₂,m).为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证： 必刷考点二 系数关系式证明 2、在平面直角坐标系中,M(-m,0),N(3m,0)是抛物线 上两点，设抛物线的对称轴为直线x=t，求证： 3.(2026泉州七中)已知二次函数 的图象过A(1,0),B(-3,0)和C三点.若E=-ax-3a且a<0,求证: 知识板块五二次函数与 代数推理——新考向 拆分突破18 二次函数与代 数推理(一)增减性与存在性 1.解:(1)∵ ∴其图象与x轴有两个不同的公共点； (2)∵对称轴x=m, 图象开口向上， ∴|m+1-ml<|m+p-ml,即|p|>1, ∴p>1或p<-1. 2.解：抛物线. 的对称轴为x=- ,B(2,y₂)关于对称轴的对称点B'(-7,y₂), ∵对于3t-1<x₁<3t+2,都有 y₁>y₂, ∴由图象性质得3t+2≤-7或3t-1≥2,解得t≤-3或t≥1. 3.解:把M(m,y₁),N(m+2,y₂)代入二次函数 中，可得 当 时， 即 整理可得 ∵△=4-12=-8<0, ∴方程没有实数根. ∴不存在实数m使得. 4.解：依题意，得y₁=a(a-a)+(a- y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+ -ab=0, 整理，得 ∵a，b为两个不相等的实数， ∴a-b≠0, 解得m=4. 拆分突破19 二次函数与代 数推理(二)最值与定值 1.解: -3a,对称轴 当x=-1时,y有最值-4a, 当a>0时,x=-3时,m=0,x=-1时,n=-4a, ∵m-n=8, ∴0+4a=8,解得a=2; 当a<0时,x=-1时,m=-4a; x=-3时,n=0, ∵m-n=8, ∴-4a-0=8,解得a=-2. 综上所述,a=±2. 2.解: ∴当 时，y随x增大而增大;当1<x<3时,y随x增大而减小；当.x≥3时，y随x增大而增大，且当 时,y₃最小. ∵当 时,y₃的最小值为 最大值为 ∴当 时,y₃的最小值为 即 解得t= .∵当 时,y₃的最大值为 ∴当x=1时,y₃的最大值为 即 解得 当y₂=1|时， 解得 或 (舍去), 解得 3.解：由题意，得 即 ∵其值是与x₁无关的定值， ∴2-4a=0, 拆分突破20 二次函数与代 数推理(三)比大小与恒成立 1.解:将点(4,0)代入 得16a+4b=0,即b=-4a, ∴b=-2, 又 故y₂>y₁. 2.解:将x=3a+2,y=1代入函数。得 +1=1, 整理,得-3(a+2)(a²-4a+1)=0,①当a+2=0时,即a=-2, ②当 时,a≠0,则有 综上所述.当a=-2时,T<3;当a²-4a+1=0时,T>3. 3、解：∵抛物线 n过点(1,5), ∴1+2m+3+n=5,则n=1-2m, ∵对于任意实数x，都有 3)x+n≥3x+2, 对任意实数x都成立， ∴m=-1, ∴抛物线表达式为 联立抛物线 与直线y=4,得 解得 ∴交点 M，N的横坐标分别为 和 拆分突破21 二次函数与代数推理(四)代数式证明 1.证明:∵A(1,t),B(2,t), 对称轴x=-b/₂= ,b=-3a, 当 解得a=-1,或a=4(舍), ∵点M(x₁,m)在函数 5x-2的图象上, 点M(x₁,m),N(x₂,m)关于直线 对称，不妨设 则 即 2.证明：由题意，得 即b=-2am, 把M(-m,0)代人 得 即 整理得 3.证明: +2ax-3a,z=-ax-3a, 即 学科网（北京）股份有限公司 $