精品解析：云南省昆明市第三中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

【考试时间：12月16日8：00—10：00】 昆明市第三中学高2027届高一年级上学期12月月考 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自已的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔认真填涂考号． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．问答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定出集合，然后由交集定义计算． 【详解】，又， 所以， 故选：B． 2. 命题“，使得”的否定为（ ） A. B. ，使得 C. D. ，使得 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题的否定的定义即可得解. 【详解】命题“，使得”的否定为. 故选：C. 3. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦函数的定义求得答案. 【详解】由角的终边过点，得. 故选：C 4. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由真数大于0可得定义域，再结合二次函数性质可得． 【详解】由已知得， 在上递增，在上递减， 所以的减区间是， 故选：D． 5. 函数的零点所在的大致区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由零点存在定理结合函数单调性得到结论. 【详解】因为函数在上为增函数，函数在上为减函数， 所以函数在上为增函数， 又，，即， 所以零点所在的大致区间. 故选：A. 6. 已知函数在上是减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到，，即可得到答案. 【详解】因为函数在上是减函数， 所以，，， . 故选：B. 7. 镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ） A. 丙同学和甲同学 B. 乙同学和甲同学 C. 甲同学和丙同学 D. 乙同学和丙同学 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数运算公式，以及幂的运算公式，即可比较大小. 【详解】， ，，所以， ，所以， 所以甲同学制作的最薄，丙同学制作的最厚. 故选：C 8. 若关于的方程恰有三个不同的实数解，且，其中，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法化简方程，结合二次函数零点分布、对勾函数的性质求解． 【详解】由题可知，方程化为， 令，由对勾函数的图象和性质知，或，（的图象如图） 原方程可化为，即， 原方程恰有3个不同的实数解且， 所以有两根，且，， 故，解得，代入， 得到，解得或， 由得，由，得，所以， 所以， 故选：A． 【点睛】方法点睛：对于复杂方程的根的问题的求解，可根据题目所给方程进行转化，转化的方向是熟悉的函数类型，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题进行求解，对勾函数、二次函数是函数问题中常见的函数，对其性质要注意总结． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错或不选的得0分． 9. 已知，函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】根据的范围分类讨论可得． 【点睛】时，是增函数，是减函数，是增函数，可能是A； 时，，可能是B； 时，不可能是D，因为当时，， 例如，，有，结合和的性质知，时，，或时，，因此图象可能为C， 故选：ABC． 10. 已知，都为正数，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式一一判断即可. 【详解】对于A：，，， ，当且仅当，即，时，等号成立， 即的最大值为，故A正确， 对于B：，，， ， 由A可知，，，当且仅当，时，等号成立， 即的最小值为，故B正确， 对于C：，，， ，当且仅当，即，时，等号成立， 显然不成立，所以的最大值取不到，故C错误， 对于D，，，， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 即的最小值为，故D正确， 故选：ABD． 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 对定义域内的任意两个不相等的实数，恒成立 D. 若实数满足，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】证明，则可判断AB，确定函数的单调性判断C，根据和单调性判断D． 【详解】，所以函数定义域为， ， 所以，A正确； 由得，对任意点，它关于的对称点为， 即也在的图象上，因此B正确； ，易知其定义域为R， 由上知，，是奇函数， 时，是增函数，是增函数，因此复合函数是增函数， 从而是R上的增函数，又是增函数，所以是增函数， 那么时必有，从而，C错误； 对于D选项，由于， 因此由得，而是增函数，所以，即，D正确， 故选：ABD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出半径，再用扇形面积公式计算即可. 【详解】，根据弧长公式， 则，所以扇形的面积为. 故答案为： 13. 噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压.下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车A 10 80 电动汽车B 10 40 已知在距离燃油汽车、电动汽车的m处测得实际声压分别为，，则______. 【答案】100 【解析】 【分析】根据题设声压级定义及表格数据，应用指对数关系求，，即可得结果. 【详解】由，则， 由，则， 所以. 故答案为：100 14. 已知函数，且同时满足下列三个条件： ①对任意的，都有成立； ②对任意的，都有成立； ③对于，都有成立， 则_________． 【答案】##0.9375 【解析】 【分析】由①得，再得出，从而求得，进而有时，，然后再计算． 【详解】由①得，∴， 因此由②得， 又，而， 所以，所以， 所以，又，所以，从而， 由③得时，， 所以， 而，所以， 所以， 故答案为：． 【点睛】方法点睛：通过对已知条件中变量赋值得出函数值，如，为了求，需要结合两个条件得出，再结合可求得，利用单调性可得出函数的一部分表达式：时，，然后利用已知条件化所求值式子中的自变量值到此范围后即可得．实际上可用反证法证明，从而很快求得， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）化简； （3）化简：． 【答案】（1）0；（2） （3） 当且时，即时，所求为1， 当且时，即所求为. 【解析】 【分析】（1）根据指数对数运算法则即可求解； （2）根据诱导公式即可求解； （3）根据同角三角函数关系即可求解. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式 ， 而，所以，且，结合， 所以当且时，即时，所求为1， 当且时，即所求为. 16. 已知函数是偶函数，其中为实数. （1）求的值； （2）若函数，是否存在实数，使得的最小值为0？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）存在. 【解析】 【分析】（1）根据偶函数性质得到恒等式，求参数值即可； （2）由题设有，应用换元法，令且，结合二次函数性质，讨论对称轴与区间的位置研究最小值，即可得参数值. 【小问1详解】 因函数（）是偶函数， 故 ， 因且不恒为0，故，得. 【小问2详解】 由（1），得， 则， 设，因，则，，其对称轴为， ①当时，在区间上单调递减，则，解得，不符题意，舍去； ②当时，在区间上先减后增，故，解得，故； ③当时，在区间上单调递增，则，解得，不符题意，舍去. 故存在，使得的最小值为0. 17. 如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为． （1）求函数的解析式； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）、且时，判断并证明与的大小关系． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合图象，分类讨论求得函数解析式； （2）将问题转化为，求出函数的最大值即可； （3）作差比较． 【小问1详解】 当时，； 当时，； 当时，， 综上所述， 【小问2详解】 恒成立，则恒成立，即， 由图象可知，是最大值是， 所以，， 所以的取值范围是； 【小问3详解】 、 ， ， 因为， 所以 所以． 18. 如图所示，有一条“”形河道，其中上方河道宽，右侧河道宽，河道均足够长.现过点修建一条栈道，开辟出直角三角形区域（图中）养殖观赏鱼，且.点在线段上，且.线段将养殖区域分为两部分，其中上方养殖金鱼，下方养殖锦鲤. （1）养殖区域面积最小时，求值，并求出最小面积； （2）若游客可以在栈道上投喂金鱼，在河岸与栈道上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度不小于投喂金鱼的道路长度，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）求出养殖观赏鱼的面积，再由基本不等式求解； （2）由题意，则即可求解. 【小问1详解】 过作，垂直于，，垂足分别为，， 则，，，， 养殖观赏鱼的面积， 由可得，则，当且仅当即时取等号，故时，最小. 【小问2详解】 由，可得， 则，，，由题意， 则， 则，结合，则. 19. 已知函数，其中常数. （1）若函数分别在区间，上单调，求的取值范围； （2）当时，是否存在实数和，使得函数在区间上单调，且此时的取值范围是.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，． 【解析】 【分析】（1）结合勾形函数的性质、绝对值的定义只要在上的最小值不小于0即可得； （2）作出函数的图象得4个单调区间，首先确定，以及区间的两个端点都不在区间上，在时有，，再由求出的范围，然后再分四个区间讨论确定范围． 【小问1详解】 设，∵，∴函数分别在区间，上单调且， 要使函数分别在区间，上单调，则只需； 【小问2详解】 如图，可知，在、、、均为单调函数， 显然，， 若，则，，则， 若，则，令， ，因此， （Ⅰ）当时，在上单调递减， 则两式相除整理得， ∵∴上式不成立即，无解，无取值. （Ⅱ）当时，在上单调递增， 则，即在有两个不等实根， 而令则， ，，由二次函数性质可得：， （Ⅲ）当时，在上单调递减， 则，两式相除整理得 ∴，∴，∴， 由得， 则关于的函数是单调的，而应有两个不同的解，此时无解. （Ⅳ）当时，在上单调递增， 则，两式相除得，整理得， 又，，，即，因此不成立，所以无取值， 综上，的取值范围为. 【点睛】思路点睛：本题主要考查函数的单调性，由于含有绝对值符号，因此作出函数图象有助于问题的求解，通过图象确定单调性，确定，否定单调区间的三个端点不属于区间，从而很形象地指出根据四个单调区间分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【考试时间：12月16日8：00—10：00】 昆明市第三中学高2027届高一年级上学期12月月考 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自已的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔认真填涂考号． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．问答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，使得”的否定为（ ） A. B. ，使得 C. D. ，使得 3. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的零点所在的大致区间是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上是减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ） A. 丙同学和甲同学 B. 乙同学和甲同学 C. 甲同学和丙同学 D. 乙同学和丙同学 8. 若关于的方程恰有三个不同的实数解，且，其中，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错或不选的得0分． 9. 已知，函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，都为正数，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 对定义域内的任意两个不相等的实数，恒成立 D. 若实数满足，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为__________. 13. 噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压.下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车A 10 80 电动汽车B 10 40 已知在距离燃油汽车、电动汽车的m处测得实际声压分别为，，则______. 14. 已知函数，且同时满足下列三个条件： ①对任意的，都有成立； ②对任意的，都有成立； ③对于，都有成立， 则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）化简； （3）化简：． 16. 已知函数是偶函数，其中为实数. （1）求的值； （2）若函数，是否存在实数，使得的最小值为0？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 17. 如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为． （1）求函数的解析式； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）、且时，判断并证明与的大小关系． 18. 如图所示，有一条“”形河道，其中上方河道宽，右侧河道宽，河道均足够长.现过点修建一条栈道，开辟出直角三角形区域（图中）养殖观赏鱼，且.点在线段上，且.线段将养殖区域分为两部分，其中上方养殖金鱼，下方养殖锦鲤. （1）养殖区域面积最小时，求值，并求出最小面积； （2）若游客可以在栈道上投喂金鱼，在河岸与栈道上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度不小于投喂金鱼的道路长度，求的取值范围. 19. 已知函数，其中常数. （1）若函数分别在区间，上单调，求的取值范围； （2）当时，是否存在实数和，使得函数在区间上单调，且此时的取值范围是.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $