广东广州市黄埔区2026-2027学年高三上学期教育质量检测与核心素养评价数学试卷

**基本信息** 高三数学月考卷聚焦核心素养，以人工智能概率试验、导数综合证明等为载体，构建基础巩固与创新应用的梯度化命题，适配高三阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数、集合、函数图像、立体几何动态问题|单选8题正方体动点轨迹考查空间观念，多选11题双曲线光学性质体现数学眼光| |填空题|3题15分|椭圆定义、函数奇偶性、解三角形|13题分段函数奇偶性结合不等式考查数学思维| |解答题|5题77分|数列、立体几何翻折、概率统计、圆锥曲线、导数|17题人工智能先验概率培养应用意识，19题导数综合证明考查逻辑推理|

2026-2027学年第一学期教育质量检测与核心素养评价 高三数学 本试卷共5页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将考生号和座位号填涂在答题卡相应位置上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数，则z的虚部是 A．1 B．i C． D． 2．已知集合，，则等于 A． B． C． D． 3．已知函数，则= A． B．2 C．5 D．9 4．函数的最小正周期为 A． B． C． D． 5．在△中，，，N为BC的中点，且△外接圆的圆心为M，则 A．10 B．20 C． D． 6．函数的图像大致是 A．  B．  C．  D．   7．已知直线过抛物线的焦点，与交于两点， 若线段的中点的横坐标为2，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 8．如图，在棱长为2的正方体中，点 M 为上的动点，O为正 方体内一点，则以下命题错误的是 A．取得最小值 B．当M为中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形 C．四面体ABMD的外接球的表面积为时， D．若，则点O的轨迹长为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知随机变量，若，则 A． B． C． D． 10．已知，下列说法正确的是 A．若，在区间上单调 B．若关于直线对称，则 C．若，且为的一个对称中心，则 D．若，在区间上的最大值与最小值的差的取值范围是 11．双曲线具有如下光学性质: 是双曲线的左、右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过.如图，若双曲线的方程为，是双曲线在点处的切线，则下列结论正确的是 A．若，则 B．当点异于双曲线的顶点时，平分 C．当过点时，光线由到再到所经过的路程为4 D．若，则点的坐标为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知点，是椭圆的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于两点，则△的周长为______． 13．已知定义在R上的奇函数f(x),则＝_____，若f(a)＞0,则实数a的取值范围是_____. 14． 在△中，，以△各边为直径分别向外作三个半圆，为三个半圆上任意两点，则的最大值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）数列为等差数列，其前项和为为等比数列，其前项和为，已知. （1）求数列和的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和． 16．（15分）如图，在梯形中，，过点作于点.现将沿翻折到△的位置，使得平面平面. （1） 证明：； （2） 已知，，且，，，在同一个球面上，设该球面的球心为. ①证明：点在平面内； ②求与平面所成角的正弦值. 17． （15分）人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验.经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束. （1） 求首次试验结束的概率； （2） 在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整. （i） 求选到的袋子为甲袋的概率； （ii） 将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有两种方案.方案①：从原来袋子中摸球；方案②：从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 18．（17分）如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为，曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合；当时，曲线与双曲线重合． （1）求b的值； （2）已知过点的直线l与曲线交于E，F两点，若，求直线l的方程； （3）若直线与曲线交于M，N两点，记的面积为S，且，求实数的取值范围． 19．（17分） （1）若对任意，都有成立，求实数的取值范围； （2）若，，证明：； （3）若对任意，都有成立，求实数的取值范围. 高三数学（试题） 第 5 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $