广东六校2027届高三第一次联考九月考试数学试卷

2027届高三九月考试 数学科 试题 （满分150分．考试时间120分钟．） 注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（ ） A．3 B．5 C．6 D．7 3．设，若，则（ ） A．且 B．且 C．且 D．且 4．的展开式中常数项是（ ） A．20 B．15 C．-15 D．-20 5．若为虚数单位，则的值为（ ） A． B． C． D． 6．设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A． B． C． D． 7．已知函数，，若的零点恰为的零点，则的最大值为（ ） A．0 B．2 C．3 D．4 8．设椭圆：，点和均为椭圆的顶点，点，在椭圆上．若，则四边形面积的最大值为（ ） A． B．4 C． D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知三棱锥，所有面均为等腰三角形，底面的外接圆半径为1，，侧棱长均为3，则该三棱锥的体积可能为（ ） A． B． C． D． 10．已知，，，其中表示，中较大的数，当且仅当时，，则（ ） A． B． C．若，，则 D．在恰有3个零点 11．定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在中，，边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为，其“直径”为，则（ ） A． B．面积的最大值为 C．当时， D．的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．双曲线的实轴长为_________． 13．已知中，，为的平分线，且，则_________． 14．甲有2个白球和1个黑球，乙有3个白球，甲乙两人每次随机交换1个球，经过5次交换后，黑球仍然在甲手中的概率为_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分） 设公比为的等比数列的前项和为，且． （1）求和； （2）记，数列的前项和为，求． 16．（15分） 如图所示，已知直四棱锥中，，，． （1）求证：平面平面； （2）若平面，求二面角的余弦值． 17．（15分） 某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定．为了研究乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表（单位：分钟）： 等待时间 频数 20 14 10 6 （1）估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）记乘客等待时间为，随机变量服从指数分布，且取值不超过的概率为，其中是自然对数的底数． （ⅰ）证明：对于任意的，，有： （ⅱ）如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为（单位：分钟）．他利用人工智能辅助决定：若，则坐公交车（费用2元）：若，则打车（费用20元）．求小明的交通费用的均值． 18．（17分） 设抛物线：，是直线：上的动点，，是抛物线的两条切线，且与抛物线分别相切于，两点． （1）设是抛物线上任意一点，求最小值； （2）记的中点是，求的轨迹方程； （3）记抛物线的焦点是，记，，证明：． 19．（17分） 已知函数， （1）当时，求的零点，且求在处的切线； （2）给定数集，任给，对应关系使函数的零点与对应． （ⅰ）证明：是函数，并讨论该函数的单调性； （ⅱ）若数列满足，，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $