25.2.2 公式法教学设计 2026-2027学年数学人教版九年级上册

课题

25.2.2 公式法

学科

数学

年级

九年级

教材版本

人教版（2026）

课时

第1课时

课型

新授课

教学目标

（1）经历公式推导过程，加强推理能力训练，会用公式法解一元二次方程；

（2）在推导过程中体会化归这一数学思想，抓住“降次”这一基本策略，掌握公式法知方程的解。

教学重点

求根公式的推导、公式的正确使用。

教学难点

求根公式的推导。

教学方法

类比推导、讨论归纳、讲练结合

教学准备

多媒体课件

课后练习

完成检测反馈及例2其余练习。

板书设计

见板书设计部分

教学环节

教学内容与教师活动

学生活动

设计意图

一、创设情境

【创设情境】我们知道，对于任意一个有解的一元二次方程，都可以用配方法求出它的两个实数根。事实上，任何一个一元二次方程都可以写成 ax²+bx+c=0 的形式，我们能否也用配方法求出它一般的解呢？

（设计意图：回顾配方法一般过程，尝试对一般式求通解，水到渠成导入公式法。）

回顾配方法解一元二次方程一般过程，思考对一般式 ax²+bx+c=0 是否也能配方求解。

由具体到一般，激发推导求根公式的动机。

二、探索归纳

【探索归纳】活动1　观察两个方程，思考它们有何异同？

① ；② （a≠0）

活动2　用配方法的一般步骤同时对两个方程求解：

第 1 步（移项）：，；

第 2 步（系数化 1）：，；

第 3 步（配方）：，；

对比 6x²-7x+1=0 与 ax²+bx+c=0，按移项—化1—配方—写 (x+m)²=n—开方同步推导；讨论 (b²-4ac)/4a² 与 0 的关系；归纳求根公式并解第一个方程；总结三步流程。

以具体方程带动一般式推导，完整建构公式法与判别式。

第 4 步（写成 (x+m)²=n 形式）：，；

第 5 步（直接开平方）：由于 4a²>0，当右边非负时可开方：，

活动3　观察右边式子 (b²-4ac)/4a²，在 a≠0 时对 b²-4ac 的值与 0 的大小关系进行讨论：

当 时，方程有两个不等的实数根；当 时，；当 时，方程无实数根。

活动4　归纳：一般地，一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）：当 b²-4ac≥0 时，它的实数根为

（b²-4ac≥0）。我们把式子 叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母 Δ 表示，即 Δ=b²-4ac；利用求根公式解方程的方法叫作公式法。

活动5　用公式法解方程 6x²-7x+1=0：

a=6，b=-7，c=1，Δ=≥0，，故 、。

活动6　总结用公式法解题一般步骤：① 把方程整理成一般形式，确定 a、b、c 的值，注意符号；② 求出 Δ=b²-4ac 的值，由 Δ 与 0 的大小关系确定根的情况；③ 在 Δ≥0 的前提下，把 a、b、c 代入求根公式 x=(-b±√(b²-4ac))/(2a) 求出方程的根。

（设计意图：把具体方程与一般式同步配方推导，再讨论判别式，得到求根公式与公式法步骤。）

三、新知应用

【新知应用】例1　不解方程，判别下列各方程根的情况：

(1) 。【答】Δ=1-4=-3<0，无实数根】

(2) 。【答】Δ=9-8=1>0，有两个不等实根】

(3) 。先化一般式

自主用判别式判例1 三题根的情况并上板演算；用公式法完整解例2 四题，互查书写格式；回答取根正负与实际问题取舍。

通过例1、例2 落实判别式与公式法的完整使用。