25.2.2 公式法（第2课时）——根的判别式 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“根的判别式”核心知识点，通过对比x²-2x+1=0、x²-2x-1=0、x²-2x+3=0三个方程的公式法求解结果，以具体方程求解为学习支架，引导学生发现b²-4ac与根的关系，衔接已学公式法，自然引出新知。 此资料以任务驱动与合作探究为特色，学生通过解方程、记录Δ值与根的关系、小组讨论，培养数学思维中的推理意识，例题与变式训练渗透分类讨论思想，用“Δ>0两不等、Δ=0两相等、Δ<0无实根”口诀强化记忆，体现数学语言的简洁表达，分层作业满足不同需求，助力教师高效教学，提升学生抽象能力与应用意识。

人教版（2024）九年级上册“学·融”课时教学设计 年级组 九年级 学科组 数学 主备人 审阅人 授课教师 授课时间 课 题 25.2.2 公式法（第2课时）——根的判别式 课 型 新授课 教学 目标 1.理解一元二次方程根的判别式Δ=b²-4ac的意义。 2.能根据判别式判断一元二次方程根的情况，并确定字母系数的取值范围。 3.体会分类讨论的数学思想。 重点 根的判别式Δ=b²-4ac的应用。 难点 根据判别式的符号判断根的情况，以及含字母系数方程的讨论。 教学 方法 对比归纳法、分类讨论渗透、变式训练法 教学过程设计 教 学 过 程 及 方 法 目标导学 二次备课 一、情境导入 1.情境导入：观察方程x²-2x+1=0、x²-2x-1=0、x²-2x+3=0，用公式法求解，根的情况一样吗？ 2.互动提问：b²-4ac的值与根的情况有什么关系？ 任务驱学 任务1：解方程x²-2x+1=0（Δ=0），x²-2x-1=0（Δ=8>0），x²-2x+3=0（Δ=-8<0）。 任务2：记录Δ的值与根的个数关系。 任务3：小组讨论：Δ的符号决定根的什么情况？ 二次备课 探究新知 二、合作探究 探究1 判别式：一般地，式子b²-4ac叫做一元二次方程ax²+bx+c=0的根的判别式，记作Δ。 探究2 判别：Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；Δ=0时，方程有两个相等的实数根；Δ<0时，方程无实数根。 探究3 应用：已知方程根的情况，可求字母系数的取值范围（注意a≠0）。 教 学 过 程 及 方 法 激思展学 例1 不解方程，判断方程x²+4x+4=0的根的情况。 （Δ=16-16=0，有两个相等的实数根） 例2 判断方程2x²-x+3=0的根的情况。 （Δ=1-24=-23<0，无实数根） 例3 当k为何值时，方程x²+2x+k=0有两个不相等的实数根？ （Δ=4-4k>0，k<1） 方法归纳：先化一般形式再算Δ，符号决定根的情况。 变式训练 变式1 判断方程x²-6x+9=0的根的情况。 （Δ=36-36=0，有两个相等的实数根） 变式2 若方程x²+mx+4=0有两个相等的实数根，则m=____。 （Δ=m²-16=0，m=±4） 二次备课 展示交流，深化理解 学生板演计算Δ并判断根的情况；小组互出“已知根的情况求参数”的题；教师总结Δ的三种情形。 教 学 过 程 及 方 法 评价促学 反馈测学 课堂检测，反馈学情 1.填空：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的判别式Δ=____。 2.判断：Δ<0时，方程有两个相等的实数根（　）。 3.选择：方程x²+2x+5=0的根的情况是（　）A.两个不等实根 B.无实根 C.两个相等实根 【参考答案】1.b²-4ac；2.×；3.B 反馈订正：第2题Δ<0是无实数根；第3题Δ=4-20=-16<0。 拓展提升 巩固1 判断方程3x²+2x-1=0的根的情况。 （Δ=4+12=16>0，两个不等实数根） 巩固2 当m取何值时，方程x²-2mx+m²-1=0有两个不相等的实数根？ （Δ=4m²-4(m²-1)=4>0，对任意m都成立，m为任意实数） 反馈订正 互批；对Δ符号判断错误的学生，用“Δ>0两不等、Δ=0两相等、Δ<0无”的口诀强化。 二次备课 课 堂 小 结 1.Δ=b²-4ac。 2.Δ>0两不等；Δ=0两相等；Δ<0无实根。 3.由根的情况求参数范围。 课后 作业 1.必做：课本25.2.2练习；习题25.2第4题。 2.选做：已知方程(k-1)x²+2x+1=0有实数根，求k的取值范围。 板 书 设 计 25.2.2 根的判别式 一、Δ=b²-4ac 二、Δ>0两不等；Δ=0两相等；Δ<0无实根 三、参数讨论 课 后 反 思 教学反思 1.由具体方程的根引出判别式，直观自然。 2.口诀帮助记忆。 3.含参数讨论是难点，循序渐进。 4.联系二次函数图象与x轴交点个数，建立整体认识。 学科网（北京）股份有限公司 $