25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教学设计 2026-2027学年数学人教版九年级上册

课题

25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

学科

数学

年级

九年级

教材版本

人教版（2026）

课时

第1课时

课型

新授课

教学目标

（1）掌握一元二次方程根与系数的关系，并能运用它解决具体问题；

（2）经历观察→发现→猜想→验证的过程，培养分析问题与解决问题的能力。

教学重点

根与系数的关系及其应用。

教学难点

探索一元二次方程根与系数的关系。

教学方法

观察猜想、推导验证、讲练结合

教学准备

多媒体课件

课后练习

完成检测反馈四题，并完成教材“试一试”。

板书设计

见板书设计部分

教学环节

教学内容与教师活动

学生活动

设计意图

一、创设情境

【创设情境】问题　完成下面的表格，观察两根之和、两根之积与方程系数的关系。

① x²-2x-3=0　两根 3、-1　x₁+x₂=2　x₁·x₂=-3；

② x²-5x+6=0　两根 2、3　x₁+x₂=5　x₁·x₂=6；

③ x²+2x+1=0　两根 -1、-1　x₁+x₂=-2　x₁·x₂=1；

④ 2x²-3x+1=0　两根 1、　x₁+x₂=　x₁·x₂=。

观察表格结果，你有什么发现？

发现：一元二次方程的两根之和、两根之积与其系数之间存在确定联系——两根之和等于一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比。

（设计意图：通过具体方程填表，直观发现 x₁+x₂ 与 x₁·x₂ 和系数的关系，为推导铺垫。）

解四个方程填出两根，计算两根之和与积，观察并猜测与系数a、b、c的关系。

由具体数据归纳出根与系数的关系猜想。

二、探索归

【探索归纳】运用发现的规律填空：

用猜想的规律填空

通过推导完善认

纳

(1) 方程 的根为 x₁、x₂，则 x₁+x₂=____、x₁·x₂=____。答案：x₁+x₂=4、x₁·x₂=-7。

(2) 方程 的两根为 x₁、x₂，则 x₁+x₂=____、x₁·x₂=____。答案：x₁+x₂=-3、x₁·x₂=-5。

思考1　(1) 若方程 x²+mx+n=0 的两根为 x₁、x₂，x₁+x₂ 和 x₁·x₂ 的值各是多少？(2) 若 ax²+bx+c=0 的两根为 x₁、x₂，x₁+x₂ 与 x₁·x₂ 和系数有何关系？说明理由。

由求根公式 ，可得 x₁+x₂=，

。

归纳结论（根与系数的关系，即韦达定理）：若一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）有两实数根 x₁、x₂，则

，。即两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比。

思考2　运用根与系数的关系解决问题时，是否需要考虑 Δ=b²-4ac≥0？为什么？

需要。因为只有当 Δ≥0 时方程才有实数根，才存在 x₁、x₂，否则谈两根之和、积无意义。故使用前必须先判断 Δ≥0。

（设计意图：由特殊到一般推导韦达定理，并强调运用前提 Δ≥0，防止误用。）

；由求根公式推导两根之和与积同 a、b、c 的关系；讨论为何需 Δ≥0 前提。

识，理解韦达定理及其使用条件。

三、新知应用

【新知应用】例1　不解方程，求下列方程两根之和与两根之积：

(1) 。解：x₁+x₂=6，x₁·x₂=-15。

(2) 。解：x₁+x₂=，x₁·x₂=。

(3) 5x-1=4x²。解：先化一般式 ，则 x₁+x₂=，x₁·x₂=。

【试一试】完成教材第 16 页练习（上板演算，互查系数与符号）。

例2　已知方程 x²-x+c=0 的一根为 3，求方程的另一根及 c 的值。

自主完成例1 三题并上板；完成教材“试一试”；逆用求例2 另一根与c；把例3 中代数式化归为 x₁+x₂ 与 x₁·x₂ 求值；在例4 用韦达定理列方程并结合 Δ 取舍。

从直接应用到逆向与综合，全面掌握韦达定理。