25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教学设计 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过解具体方程填表观察两根和积与系数的联系，衔接求根公式知识，搭建从具体到抽象的学习支架，引导学生发现规律。 以“观察-猜想-验证”为主线，体现数学眼光中的抽象能力和数学思维中的推理能力，采用讲练结合方法，如例4结合判别式综合应用，培养学生应用意识，为教师提供清晰教学流程与巩固资源。

25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 教学设计 课题 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2026） 课时 第1课时 课型 新授课 教学目标 （1）掌握一元二次方程根与系数的关系，并能运用它解决具体问题； （2）经历观察→发现→猜想→验证的过程，培养分析问题与解决问题的能力。 教学重点 根与系数的关系及其应用。 教学难点 探索一元二次方程根与系数的关系。 教学方法 观察猜想、推导验证、讲练结合 教学准备 多媒体课件 课后练习 完成检测反馈四题，并完成教材“试一试”。 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、创设情境 【创设情境】问题　完成下面的表格，观察两根之和、两根之积与方程系数的关系。 ① x²-2x-3=0　两根 3、-1　x₁+x₂=2　x₁·x₂=-3； ② x²-5x+6=0　两根 2、3　x₁+x₂=5　x₁·x₂=6； ③ x²+2x+1=0　两根 -1、-1　x₁+x₂=-2　x₁·x₂=1； ④ 2x²-3x+1=0　两根 1、　x₁+x₂=　x₁·x₂=。 观察表格结果，你有什么发现？ 发现：一元二次方程的两根之和、两根之积与其系数之间存在确定联系——两根之和等于一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比。 （设计意图：通过具体方程填表，直观发现 x₁+x₂ 与 x₁·x₂ 和系数的关系，为推导铺垫。） 解四个方程填出两根，计算两根之和与积，观察并猜测与系数a、b、c的关系。 由具体数据归纳出根与系数的关系猜想。 二、探索归纳 【探索归纳】运用发现的规律填空： (1) 方程 的根为 x₁、x₂，则 x₁+x₂=____、x₁·x₂=____。答案：x₁+x₂=4、x₁·x₂=-7。 (2) 方程 的两根为 x₁、x₂，则 x₁+x₂=____、x₁·x₂=____。答案：x₁+x₂=-3、x₁·x₂=-5。 思考1　(1) 若方程 x²+mx+n=0 的两根为 x₁、x₂，x₁+x₂ 和 x₁·x₂ 的值各是多少？(2) 若 ax²+bx+c=0 的两根为 x₁、x₂，x₁+x₂ 与 x₁·x₂ 和系数有何关系？说明理由。 由求根公式 ，可得 x₁+x₂=， 。 归纳结论（根与系数的关系，即韦达定理）：若一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）有两实数根 x₁、x₂，则 ，。即两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比。 思考2　运用根与系数的关系解决问题时，是否需要考虑 Δ=b²-4ac≥0？为什么？ 需要。因为只有当 Δ≥0 时方程才有实数根，才存在 x₁、x₂，否则谈两根之和、积无意义。故使用前必须先判断 Δ≥0。 （设计意图：由特殊到一般推导韦达定理，并强调运用前提 Δ≥0，防止误用。） 用猜想的规律填空；由求根公式推导两根之和与积同 a、b、c 的关系；讨论为何需 Δ≥0 前提。 通过推导完善认识，理解韦达定理及其使用条件。 三、新知应用 【新知应用】例1　不解方程，求下列方程两根之和与两根之积： (1) 。解：x₁+x₂=6，x₁·x₂=-15。 (2) 。解：x₁+x₂=，x₁·x₂=。 (3) 5x-1=4x²。解：先化一般式 ，则 x₁+x₂=，x₁·x₂=。 【试一试】完成教材第 16 页练习（上板演算，互查系数与符号）。 例2　已知方程 x²-x+c=0 的一根为 3，求方程的另一根及 c 的值。 解：设另一根为 x₁。由两根之和 x₁+3=1 得 x₁=-2；再由 x₁·3=c 得 c=-2×3=-6。 例3　已知方程 x²-5x-7=0 的两根为 x₁、x₂，求下列式子的值： 解：由根与系数关系 x₁+x₂=5、x₁·x₂=-7。(1) x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁·x₂=5²-2×(-7)=25+14=39； (2) 。 例4　已知 x₁、x₂ 是方程 x²-6x+k=0 的两个实数根，且 (x₁·x₂)²-x₁-x₂=115，求 k 的取值。 解：x₁+x₂=6、x₁·x₂=k。代入得 ，故 k²=121，k=11 或 k=-11；又方程有实数根，Δ=36-4k≥0 即 k≤9，故 k=11 不合题意舍去，所以 k=-11。 （设计意图：例1 直接应用、例2 逆用、例3 代数式变形、例4 与判别式综合，层层深入。） 自主完成例1 三题并上板；完成教材“试一试”；逆用求例2 另一根与c；把例3 中代数式化归为 x₁+x₂ 与 x₁·x₂ 求值；在例4 用韦达定理列方程并结合 Δ 取舍。 从直接应用到逆向与综合，全面掌握韦达定理。 四、检测反馈 【检测反馈】 1.若 x₁、x₂ 是方程 的两个实数根，则 x₁+x₂=____、x₁·x₂=____。【答案】-1、-1】 2.已知 x=1 是方程 的一个根，则另一个根为____、m=____。【答案】设另一根为 x₂，x₂·1=-3 得 x₂=-3；1+(-3)=-m 得 m=2】 3.若方程 的两根分别为 2 和 -3，则 a=____、b=____。【答案】a=-(2-3)=1、b=2×(-3)=-6】 4.已知 a、b 是方程 的两根，求 的值。【答案】a+b=3、ab=-1，】 （设计意图：由直接到综合四题当堂巩固韦达定理的应用。） 独立完成四题：直接求两根和积、已知一根逆向求系数、由两根确定系数、代数式整体变形求值。 当堂落实根与系数关系的正向、逆向与综合运用。 五、课堂小结 【课堂小结】一元二次方程的根与系数的关系 如果 ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根是 x₁、x₂，那么：，。使用前提：Δ=b²-4ac≥0。 （设计意图：小结韦达定理，强调前提条件与常见变形。） 复述韦达定理及成立条件，交流常见代数式变形技巧。 结构化总结根与系数的关系。 板书设计 25.2.4 根与系数的关系 一、韦达定理 ax²+bx+c=0（a≠0）两根 x₁、x₂： ， 前提：Δ=b²-4ac≥0 二、常用变形 ★ 化归思想：代数式→x₁+x₂ 与 x₁x₂ 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $