25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过回顾方程一般形式、根的判别式及求根公式搭建学习支架，以“根与系数还有其他表现形式吗”设问导入，衔接旧知与新知。 资料亮点在于探究环节采用求根公式推导和因式分解法两种方式验证关系，培养推理能力，应用环节从基础例题到拓展提升（如求平方和、含参数问题），提升运算能力与应用意识，帮助学生构建知识网络，便于教师高效实施教学。

25.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 　　　　　　　　　　　　　　　 课题 25.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 授课人 教 学 目 标 　　1.掌握一元二次方程的根与系数的关系,并会初步应用. 2.通过一元二次方程根与系数关系的教学,进一步培养学生观察、分析、归纳的能力和推理论证的能力. 3.根据一元二次方程根与系数的关系确定两根之和与两根之积,并能根据这一关系解决简单的数学问题. 教学 重点 　　一元二次方程根与系数的关系及其推导过程. 教学 难点 　　一元二次方程根与系数的关系的推导过程及其应用. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 1.一元二次方程的一般形式是什么? 2.一元二次方程有实数根的条件是什么? 3.当Δ>0,Δ=0,Δ<0时,一元二次方程根的情况如何? 4.一元二次方程的求根公式是什么? 师生活动:教师指导学生回忆知识,学生进行口答,教师指出重点. 　　通过对一元二次方程相关知识的复习,巩固旧知识,并为新知识的学习做铺垫. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 由一元二次方程的解法可知,当Δ≥0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根可由系数a,b,c确定.由求根公式x=可知,通过对系数a,b,c进行有限次加、减、乘、除、乘方、开方等运算,可以得到方程的根.求根公式反映了一元二次方程的根与系数的关系,这种关系还有其他表现形式吗? 　　引导学生进行思考,可先鼓励学生自己尝试猜想和验证之后再讲解. 活动 二: 探究 与 应用 【探究】 根与系数的关系 思考:观察求根公式x=,它有什么特点?由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系,你能获得什么启发? 方法一:整体上看,两个根分别是“m+n”和“m-n”的形式,而且式子“n”中含有根号.这种形式的式子相加可以消去“n”,相乘可以去掉“n”中的根号,从而使形式简洁. ∵x1=,x2=, ∴x1+x2==-, x1x2=·. 由此得出,一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1,x2与其系数a,b,c有如下关系:x1+x2=-,x1x2=. 方法二:我们知道,如果一元二次方程ax2+bx+c=0的左边可以分解因式为a(x-x1)(x-x2),那么方程ax2+bx+c=0的两个根为x1和x2.反过来,如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1和x2,那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),即 ax2+bx+c=ax2-a(x1+x2)x+ax1x2. 由此可得-a(x1+x2)=b,ax1x2=c. 因此,x1+x2=-,x1x2=. 归纳并板书: 若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别为x1和x2,则x1+x2=-,x1x2=. 　　1.进一步分析、验证所发现的一元二次方程根与系数的关系,为从感性认识到理性认识打好基础. 2.通过证明过程使学生明确利用一元二次方程根与系数的关系进行计算需要满足Δ≥0. 3.探究一元二次方程根与系数关系的结论,培养学生严谨的学习态度. 【理解应用】 例1　根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程两个根x1,x2的和与积: (1)x2-6x-15=0;(2)3x2+7x-9=0;(3)5x-1=4x2. 答案:(1)x1+x2=6,x1x2=-15　(2)x1+x2=-,x1x2=-3　 (3)x1+x2=,x1x2= 师生活动:学生自主进行解答,教师做好评价和总结. 变式1　已知x1,x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根,则x1x2的值为 (C) A.-4　　　　　　　　　　　　B.-1 C.1 D.4 　　问题的设置是针对本课时的重点所学进行及时巩固,也是培养学生计算能力和熟记公式的关键. 活动 二: 探究 与 应用 变式2　若x1,x2为方程x2-2x-1=0的两个实数根,求x1+x2-x1x2的值. [答案:3] 变式3　已知一元二次方程3x2-18x+m=0的一个根是1,求它的另一个根及m的值. [答案:方程的另一个根是5,m=15] 【拓展提升】 例2　不解方程,求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和及倒数和. 答案:该方程的两根的平方和是,倒数和是3 例3　已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根. (1)求实数m的最大整数值; (2)在(1)的条件下,方程的实数根是x1,x2,求代数式-x1x2的值. [答案:(1)实数m的最大整数值为1　(2)5] 师生活动:教师引导学生进行交流、讨论,确定出解决问题的方法,适时点拨,提示能否用多种方法进行解答. 　　拓展提升是根与系数关系的综合应用,有利于提高学生思考的广度和深度,能够给予学生必要的知识补充. 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【当堂训练】 1.若-1是方程2x2-x+m=0的一个根,则另一个根是　1.5　,m=　-3　.  2.设x1,x2是方程x2-4x+1=0的两个根,则 (1)x1+x2=　4　,x1x2=　1　;  (2)=(x1+x2)2-　2x1x2　=　14　;  (3)(x1-x2)2=(　x1+x2　)2-4x1x2=　12　.  3.不解方程,求下列方程两个根x1,x2的和与积: (1)x2+7x+6=0;(2)2x2-3x-2=0. 答案:(1)x1+x2=-7,x1x2=6　(2)x1+x2=,x1x2=-1 4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根,且(x1+1)·(x2+1)=4. (1)求k的值; (2)求(x1-x2)2的值. [答案:(1)k=-7　(2)65] 　　设置当堂训练,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到“堂堂清”. 活动 三: 课堂 总结 反思 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在探究新知的环节中,关于两根之和与两根之积的计算看似复杂,教师进行板演后,能够使学生清晰认识到结论的来由,并能够顺利地进行应用;在当堂训练的环节中,学生运用新知解答问题不甚灵活,教师的必要引导起到了关键作用,学生体验到方法的简便性和重要性. ②[讲授效果反思] 重点应用过程中,应注意:(1)运用根与系数的关系首先保证一元二次方程有实数根;(2)运用根与系数的关系解答问题方便运算. ③[师生互动反思] 从教学过程来看,学生能够在教师的引导下进行探索和交流,并能够运用知识解答问题,还应增加其兴趣和思维敏捷性的训练. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $