25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

课题

25.2.4　一元二次方程的根与系数的关系

授课人

教

学

目

标

　　1.掌握一元二次方程的根与系数的关系,并会初步应用.

2.通过一元二次方程根与系数关系的教学,进一步培养学生观察、分析、归纳的能力和推理论证的能力.

3.根据一元二次方程根与系数的关系确定两根之和与两根之积,并能根据这一关系解决简单的数学问题.

教学

重点

　　一元二次方程根与系数的关系及其推导过程.

教学

难点

　　一元二次方程根与系数的关系的推导过程及其应用.

授课

类型

新授课

课时

教具

多媒体

教学活动

教学

步骤

师生活动

设计意图

回顾

1.一元二次方程的一般形式是什么?

2.一元二次方程有实数根的条件是什么?

3.当Δ>0,Δ=0,Δ<0时,一元二次方程根的情况如何?

4.一元二次方程的求根公式是什么?

师生活动:教师指导学生回忆知识,学生进行口答,教师指出重点.

　　通过对一元二次方程相关知识的复习,巩固旧知识,并为新知识的学习做铺垫.

活动

一:

创设

情境

导入

【课堂引入】

由一元二次方程的解法可知,当Δ≥0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根可由系数a,b,c确定.由求根公式x=可知,通过对系数a,b,c进行有限次加、减、乘、除、乘方、开方等运算,可以得到方程的根.求根公式反映了一元二次方程的根与系数的关系,这种关系

　　引导学生进行思考,可先鼓励学生自己尝试猜想和验证之后再讲解.

新课

还有其他表现形式吗?

活动

二:

探究

与

应用

【探究】 根与系数的关系

思考:观察求根公式x=,它有什么特点?由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系,你能获得什么启发?

方法一:整体上看,两个根分别是“m+n”和“m-n”的形式,而且式子“n”中含有根号.这种形式的式子相加可以消去“n”,相乘可以去掉“n”中的根号,从而使形式简洁.

∵x1=,x2=,

∴x1+x2==-,

x1x2=·.

由此得出,一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1,x2与其系数a,b,c有如下关系:x1+x2=-,x1x2=.

方法二:我们知道,如果一元二次方程ax2+bx+c=0的左边可以分解因式为a(x-x1)(x-x2),那么方程ax2+bx+c=0的两个根为x1和x2.反过来,如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1和x2,那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),即

ax2+bx+c=ax2-a(x1+x2)x+ax1x2.

由此可得-a(x1+x2)=b,ax1x2=c.

因此,x1+x2=-,x1x2=.

归纳并板书:

若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别为x1和x2,则x1+x2=-,x1x2=.

　　1.进一步分析、验证所发现的一元二次方程根与系数的关系,为从感性认识到理性认识打好基础.

2.通过证明过程使学生明确利用一元二次方程根与系数的关系进行计算需要满足Δ≥0.

3.探究一元二次方程根与系数关系的结论,培养学生严谨的学习态度.

【理解应用】

例1　根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程两个根x1,x2的和与积:

(1)x2-6x-15=0;(2)3x2+7x-9=0;(3)5x-1=4x2.

答案:(1)x1+x2=6,x1x2=-15　(2)x1+x2=-,x1x2=-3　

　　问题的设置是针对本课时的重点所学进行及时巩固,也是培养学生计算能力和熟记公式的关键.