25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（课件PPT）-【顶尖课课练】2026-2027学年九年级上册数学（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦“一元二次方程的根与系数的关系”，衔接已学的方程解法，通过A层基础巩固、B层拓展提高、C层挑战创新的分层题目搭建学习支架，帮助学生逐步理解韦达定理的应用。 其亮点在于分层设计与新定义探究结合，如“和谐方程”培养抽象能力和创新意识，平行四边形菱形问题体现模型意识，通过推理运算发展数学思维。学生能提升问题解决能力，教师可实现分层教学提高效率。

1 第二十五章 一元二次方程 25.2 降次——解一元二次方程 25.2.4 一元二次方程的根与系 数的关系 《顶尖课课练·数学 九年级上册（人教版）》配套课件 2 课时作业 A层基础巩固 1.若，是方程 的两个根，则( ). A A. B. C. D. 3 2.若是一元二次方程 的一个根，则此方程的另一 个根是( ). B A. B. C. D. 4 3.已知某一元二次方程的两个根分别是2和 ，则这个一元二次方程是 ( ). D A. B. C. D. 5 4.已知关于的一元二次方程的两根分别为， ，若 ，则 的值为( ). B A. 7 B. C. 6 D. 6 5.已知关于的方程有一个根为，则 ____. 7 6.已知是关于的一元二次方程 的一个根，则方 程的另一个根是________. 8 7.设与为一元二次方程的两根，则 的 值为____. 20 9 8.已知关于的一元二次方程 的一个根比 另一个根大2，则 的值为___. 1 10 9.已知，是方程的两个实数根，求 的值. 解：，是方程 的两个实数根， ， . . 11 10.若关于的方程有两个实数根， ，且 ，求实数 的取值范围. 解： 方程有实数根， ， 即.又 代入 . 得，即 . . 12 悟：利用根与系数的关系，进行整体代换，将条件式转化为关于参数 的（不）等式. 13 B层拓展提高 11.关于的方程为常数 的根的情况，下列结论正 确的是( ). C A. 两个正根 B. 两个负根 C. 一个正根，一个负根 D. 无实数根 14 12.定义：如果一元二次方程 满足 , 那么我们称这个方程为“凤凰方程”.已知方程 是“凤凰方程”，且有两个相等的实数根， 则下列结论正确的是( ). B A. B. C. D. 15 13.已知, 是方程 的两个实数根，则代数式 的值是_______. 4 053 16 14.设, 是方程 的两个根，且 , 则 ___. 8 17 15.已知关于的一元二次方程的两实数根为, . （1）求 的取值范围； 解：原方程可化为 , 原方程有两个实数根, , 解得 . 18 （2）设, 当取得最小值时，求相应的值，并求出此时 的值. 解：, 是方程 的两个根, , 且 . 随 的增大而减小. 故当时, 取最小值1. 19 16.已知关于的一元二次方程有， 两实数根. （1）若，求及 的值； 解：由题意，得， . 将代入原方程得 . 又， . 20 （2）是否存在实数，满足 ？若存在，求出实 数 的值；若不存在，请说明理由. 解：设存在实数，满足 ，则有 ， 即 ， 整理得，解得或 . 由（1）可知，舍去，从而 . 综上所述：存在 符合题意. 21 17.平行四边形的两边，的长是关于 的一元二次方程 的两个实数根. （1）当为何值时，四边形 是菱形？ 解：若四边形 是菱形，则方程有两个相等的实数根， . . 22 （2）若，求 的值. 解：由根与系数的关系，得， ， . . . . ， . 23 C层挑战创新 18.定义：对于一元二次方程 ，设其两个实数 根为，.若存在正实数，使得 ，则称该方 程为“和谐方程”， 为“和谐系数”. 24 （1）已知关于的方程 是“和谐方程”， 其中为实数，设两个实数根为， . ①当时，则 ___； 1 ②以下是对该和谐方程的判断，其中正确的有______.（多选题） ACE A. 若，则 B. 当时，则 C. 当时，则 D. 存在一个实数，使得该方程和谐系数和 同时满足 E. 对于任意实数，总存在正实数 ，使该方程是“和谐方程” 25 （2）设关于的一元二次方程是“和谐方程”， 为“和谐系数”，且，试探究，，， 之间的关系式，并予以证明. 26 解： ，证明如下： 是“和谐方程”，设方程的两个根为， ， 则 . ， . . . . 27 $