2.6.2 直角三角形同步分层练习2026-2027学年浙教版八年级上册数学

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到综合探究梯度合理，适配初中数学直角三角形同步教学，培养抽象能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|直角三角形判定、性质等单一知识点|选择填空为主，如直角三角形判定条件辨析| |能力提升|综合应用与逻辑推理|复杂证明题，如中线性质证明及全等应用| |拓展创新|跨情境探究与实践|拼图探究题，如不同直角三角形组合的角度与线段关系|

2.6.2 直角三角形 同步分层练习 一、夯实基础： 1．给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 2．在下列条件中：①，②，③中，能确定是直角三角形的条件有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．如图，，过点作于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=AE，BC=BF，则∠ECF=(　　). A．60° B．45° C．30° D．不确定 5．如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合） ，下列说法正确说法正确的是（　　） A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC C．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90° D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90° 6．如图，在中，点在边上，E，F分别是线段，的中点．若，，则（　　） A．5 B．6 C． D．4 7．中，，是的高，若，则x的值为　 　． 8．（人教版数学八上 第十三章 三角形小结）下列四个条件： ①在△ABC 中， ∠A， ∠B 都是锐角； ②△ABC的三个内角的度数之比是1：2：3； ③在△ABC中， ∠A-∠B=∠C； ④△ABC的三个外角的度数之比是3：4：5. 其中能确定△ABC 是直角三角形的是　 　(只填序号). 9．根据下列条件判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由。 （1） 有一个外角为90°； （2） ∠A=36°，∠B=54°； （3） 如图，∠1与∠2互余，∠B=∠1。 10．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽像出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC． （1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的宇母）； （2）证明：DC⊥BE． 二、能力提升： 11．如图，等腰中，腰上的高线为，的平分线为，，则为（　　） A． B． C． D． 12．如图，在中，，分别为边上的高线和的角平分线，于点F，当，时，的度数为（ ） A． B． C． D． 13．如图，在中，于点于点D，点F是的中点，连接设，则（　　） A． B． C． D． 14．如图，在中，，点是上一点，交延长线于点，连接交于点，已知，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．如图，四边形中，，平分，，，垂足为E，且，则的度数是 　 　． 16． 已知：如图，在△ABC中，D是AB上一点，∠1=∠B，∠A=∠2。求证：△ABC是直角三角形。 17．已知命题“如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，请按以下步骤完成此命题的证明． （1）根据题意，画出图形：画及边上的中线，且满足；（画图工具不限） （2）结合（1）中画出的图形，请写出已知与求证； （3）证明：写出证明过程． 三、拓展创新： 18． 综合与实践 【问题情境】 数学课上老师组织同学们利用直角三角形纸片来进行拼图探究活动． （1）【实验探究】阳光小组将一张含30°角的直角三角形纸片和一张等腰直角三角形纸片按图①的方式摆放，则图中　 　． （2）无敌小组将两张等腰直角三角形纸片和按图②的方式摆放，点A与点D以重合，且点B，C，E在同一直线上，连接CF交AE于点G，小组同学测量发现，请你帮他们证明此结论． （3）【拓展探究】课后小强自制了两张三角形纸片和，其中，，，他把两张三角形纸片按图③的方式摆放（A与D重合，B与E重合）．点C，F在AB两侧，过点B作，交AC的延长线于点G，小强发现线段AC，AF，CG之间存在一定的数量关系，请你探究此关系并加以证明． 答案解析部分 1．【答案】D 【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的判定 【解析】【解答】解：A、∵ ∴△ABC是直角三角形，故A不符合题意. B、∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴2∠C=180° ∴∠C=90° ∴△ABC是直角三角形，故B不符合题意. C、∵ 设，则， ∵∠A+∠B+∠C=180° ∴ 解得 ∴ ∴△ABC是直角三角形，故C不符合题意. D、∵ 设，则， ∵∠A+∠B+∠C=180° ∴ 解得： ∴△ABC是钝角三角形，故D符合题意 故选D． 【分析】 A、由题意知：∠C是最大的角，计算出∠C的度数为： B、根据三角形的内角和等于180度，再，计算出∠C=90° C、设，则，，再根据三角形的内角和等于180°，列出方程：，解出x，再计算∠C的度数即可. D、设，则，，再根据三角形的内角和等于180°，列出方程：，解出x即可. 2．【答案】D 【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的判定 【解析】【解答】解：①，， ， ， 为直角三角形，故①符合题意； ②， 设，，， ， ， 解得：， ， 为直角三角形，故②符合题意； ③， ， ， ， 为直角三角形，故③符合题意； 综上所述，能确定是直角三角形的条件有3个， 故答案为：D． 【分析】①根据三角形内角和定理求出；②由三个角的比可设未知数列方程求出；③根据三角形内角和定理求出. 3．【答案】B 【知识点】两直线平行，同旁内角互补；直角三角形的两锐角互余 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：B． 【分析】根据垂直的定义得，从而得，由两直线平行，同旁内角互补即可求出的度数． 4．【答案】B 【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质 【解析】【解答】解：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=AE，BC=BF ∠AEC=∠ACE且∠BFC=∠BCF ∠ECF=180°-（∠FEC+∠CFE）=（∠BAC+∠ABC）/2=45°。 故答案为：B . 【分析】在直角三角形ABC中，由于AC=AE和BC=BF，我们可以得到∠AEC=∠ACE和∠BFC=∠BCF。通过角度关系的计算，可以得出∠ECF=45°。 5．【答案】B 【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质 【解析】【解答】解：A．∵∠BAC=90°， ∴∠BAP+∠CAP=∠B+∠C=90°， ∵∠BAP=∠B， ∴∠CAP=∠C， ∴AP=PC， 只有当∠B=30°时，AC=PC，故错误； B．∵∠BAC=90°， ∴∠BAP+∠CAP=90°， ∵∠BAP=∠C， ∴∠C+∠CAP=90°， ∴∠APC=180°-（∠C+∠CAP）=90°， 即AP⊥BC，故正确； C．∵AP⊥BC，PB=PC， ∴AP垂直平分BC， 而∠BAC不一定等于90°，故错误； D．根据PB=PC，∠BAP=∠CAP，无法证明∠BAC=90°，故错误， 故选：B． 【分析】利用等边对等角和直角三角形的两锐角互余逐项判定可求解． 6．【答案】B 【知识点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【解答】解：连接，如图所示： ∵，为的中点， ∴， 即， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：B． 【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据直角三角形斜边上中线的性质可得，代入即可求出答案． 7．【答案】66或24 【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；直角三角形的性质 8．【答案】②③④ 【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的判定 【解析】【解答】解：①∵ ∠A， ∠B 都是锐角 ∴∠A+∠B≤90° ∴△ABC不一定是直角三角形 ②∵△ABC的三个内角的度数之比是1：2：3 ∴三个内角分别为： ∴△ABC为直角三角形 ③∵ ∠A-∠B=∠C ∴∠A=∠B+∠C ∴∠A+∠B+∠C=2∠A=180° ∴∠A=90° ∴△ABC为直角三角形 ④∵△ABC的三个外角的度数之比是3：4：5 ∴设三个外角分别为3x，4x，5x ∴与他们相邻的内角分别为180-3x，180-4x，180-5x ∴180-3x+180-4x+180-5x=180 解得：x=30 ∴180-3x=90° ∴△ABC为直角三角形 故答案为：②③④ 【分析】根据直角三角形判定定理，结合三角形内角和，及外角性质即可求出答案. 9．【答案】（1）解：有一个外角为90° 则相邻内角为180°- 90°= 90° ∴△ABC是直角三角形 （2）解：∵∠A=36°，∠B=54° ∴∠A+∠B=90° ∴∠ACB=180°-(∠A+∠B)=90° ∴△ABC是直角三角形 （3）解：∵∠1与∠2互余 ∴∠1+∠2= 90° ∵∠B=∠1 ∴∠B+∠2=90° ∴∠ACB=180°-(∠A+∠B)=90° ∴△ABC是直角三角形 【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的判定 【解析】【分析】(1)根据三角形内角和定理以及直角三角形的判定，通过已知条件求出三角形的某个内角是否为90°来判断是否为直角三角形； (2)根据三角形内角和定理以及直角三角形的判定，通过已知条件求出三角形的某个内角是否为90°来判断是否为直角三角形； (3)根据三角形内角和定理以及直角三角形的判定，通过已知条件求出三角形的某个内角是否为90°来判断是否为直角三角形. 10．【答案】（1）△ABE≌△ACD． 证明：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形， ∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°． ∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE． 即∠BAE=∠CAD， 在△ABE与△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD； （2）证明∵△ABE≌△ACD， ∴∠ACD=∠ABE=45°， 又∵∠ACB=45°， ∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°， ∴DC⊥BE． 【知识点】三角形全等的判定；等腰直角三角形 【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可以得出△ABE≌△ACD；（2）由△ABE≌△ACD可以得出∠B=∠ACD﹣45°，进而得出∠DCB=90°，就可以得出结论． 11．【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质；角平分线的概念 【解析】【解答】解：∵腰上的高线为，， ∴， ∵等腰，， ∴， ∵的平分线为， ∴， ∴， 故选：B． 【分析】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，角平分线的计算．利用三角形高线的性质可得：，再根据直角三角形两锐角互以及等边对等角可得：，利用角平分线定义可得：，再利用角的运算可得：，再代入数据进行计算可求出答案. 12．【答案】B 【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的两锐角互余；三角形的角平分线 【解析】【解答】解：∵为边上的高线 ，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故选：B． 【分析】先根据直角三角形两个锐角互余，求出，再根据根据直角三角形两个锐角互余计算出，从而得到，再利用角平分线定义求得，然后利用三角形内角和求． 13．【答案】D 【知识点】三角形内角和定理；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角 【解析】【解答】解：于点于点 ∵点F是的中点， 即， 故答案为：D． 【分析】由垂直的定义得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，等边对等角得到，，于是根据平角定义及三角形的内角和定理得到结论． 14．【答案】C 【知识点】等腰直角三角形；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；直角三角形的两锐角互余 【解析】【解答】解：①∵BD⊥AP， ∴∠ADB=90°， ∴∠ACP=∠ADB， ∵∠APC=∠DPB， ∴∠CAP=∠CBD，故①正确； ②∵CH⊥CD， ∴∠HCD=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACH=∠BCD， 在△ACH和△BCD中， ， ∴△ACH≌△BCD（ASA），故②正确； ③∵△ACH≌△BCD， ∴S△ACH=S△BCD， ， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵△ACH≌△BCD， ∴CH=CD， ∵∠HCD=90°， ∴， ∴CD=，故④错误， 综上所述，正确的结论有①②③，共3个， 故答案为：C. 【分析】根据等角的余角相等可得出①正确；利用可证明△ACH≌△BCD可得出②正确；根据△ACH≌△BCD可得S△ACH=S△BCD，结合即可得出③正确；根据③中结论求出即可得出④错误． 15．【答案】 【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余 【解析】【解答】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴∠DEC=90°， ∴， 故答案为：． 【分析】利用证明，于是可得，，再根据等腰三角形的性质可求得△ACD的度数，最后根据直角三角形的性质即可解决问题． 16．【答案】证明：∵∠1=∠B，∠2=∠A ∴∠1+∠2=∠A+∠B ∴∠1+∠2=180°-(∠A+∠B)=180°-(∠1+∠2) ∴∠1+∠2=90° ∴△ABC是直角三角形 【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的判定 【解析】【分析】利用三角形内角和的性质可得∠1+∠2=90°，即可证明三角形ABC是直角三角形. 17．【答案】（1）解：作线段的垂直平分线，以中点D为圆心，长为半径画圆，在圆周上取一点C，连接，，则即为所求； （2）解：已知：如图，中，是边的中线，且； 求证：是直角三角形； （3）证明：∵是边上的中线， ∴． 又， ∴， ∴，， ∴． ∵， 即， ∴， 即， ∴是直角三角形． 【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线；直角三角形的判定 【解析】【分析】（1）作线段的垂直平分线，以中点D为圆心，长为半径画圆，取一点C，连接，，即为所求； （2）结合（1）中画出的图形，写出已知与求证即可； （3）利用（1）中写出已知，利用等腰三角形性质及内角和定理，即可求解． （1）解：作线段的垂直平分线，以点D为圆心，长为半径画圆，取一点C，连接，，即为所求； （2）解：已知：中，是边的中线，且； 求证：是直角三角形； （3）证明：∵是边上的中线， ∴． 又， ∴， ∴，， ∴． ∵， 即， ∴， 即， ∴是直角三角形． 18．【答案】（1） （2）证明：∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，点A与点D以重合， ∴AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°， ∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAF＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAF， ∴在△BAE和△CAF中， 　 　 ∴△BAE≌△CAF（SAS）， ∴∠BEA＝∠CFA， ∵∠EAF＝90°， ∴∠AEF＋∠AFE＝90°， ∴∠EFC＋∠FEC＝∠EFC＋∠FEA＋∠AEB＝∠EFC＋∠FEA＋∠AFC＝∠AFE＋∠FEA＝90°， ∴∠ACE＝180°−（∠EFC＋∠FEC）＝180°−90°＝90°， ∴CF⊥BE. （3）解：AF＝AC＋2CG. 证明如下：过点B作BH⊥AF于点H，如图所示： ∴∠BHA＝∠BHF＝90°， ∵BG⊥AC， ∴∠G＝90°， ∴∠BHA＝∠BHF＝∠G， 由题意可得∠BAF＝∠BAG， ∴在△ABH和△ABG中， ， ∴△ABH≌△ABG（AAS）， ∴AH＝AG，BH＝BG， ∵∠F＋∠ACB＝180°，∠ACB＋∠BCG＝180°， ∴∠F＝∠BCG， 在△BHF和△BGC中 ， ∴△BHF≌△BGC（AAS）， ∴HF＝GC， ∴AF＝AH＋HF＝AG＋CG＝AC＋CG＋CG＝AC＋2CG． 【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算 【解析】【解答】（1）解：如图所示， 由题意可得：∠D＝30°，∠DEF＝90°，△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ACE=∠ACB=×90°＝45°， ∴∠1＝∠ACE−∠D＝45°−30°＝15°； 故答案为：15°. 【分析】（1）先求出∠ACE=∠ACB=×90°＝45°，再利用角的运算求出∠1的度数即可； （2）先利用“SAS”证出△BAE≌△CAF，可得∠BEA＝∠CFA，再利用角的运算和等量代换可得∠ACE＝180°−（∠EFC＋∠FEC）＝180°−90°＝90°，即可得到CF⊥BE； （3）过点B作BH⊥AF于点H，先利用“AAS”证出△ABH≌△ABG，可得AH＝AG，BH＝BG，再结合∠F＝∠BCG，利用“AAS”证出△BHF≌△BGC，可得HF＝GC，最后利用线段的和差及等量代换可得AF＝AH＋HF＝AG＋CG＝AC＋CG＋CG＝AC＋2CG． 1 学科网（北京）股份有限公司 $