5.1 认识方程课时作业2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到综合应用梯度递进，通过“概念辨析-技能训练-问题解决”路径巩固方程认知，培养符号意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|方程概念、解、一元一次方程判定|选择填空辨析基础考点，解答题训练代入检验与简单列方程，夯实抽象能力| |B组|含参数方程、复杂实际问题（行程/利润）|结合参数讨论与多情境列方程，提升推理意识与运算能力| |C组|综合应用（损耗利润/动态几何）|创设真实问题情境，需建立多步等量关系，发展模型意识与创新意识|

第五章 一元一次方程　1 认识方程 北师大版　七年级上册　课时作业（含知识点·答案·解析） 班级：　　　　　姓名：　　　　　得分：　　　　　用时：　　　分钟 一、知识点梳理 知识点 1　方程的概念 含有未知数的等式叫做方程。 判断一个式子是不是方程，要同时满足两个条件，缺一不可： ① 它必须是等式（含有等号“=”）； ② 等式中必须含有未知数（通常用 、、 等字母表示）。 式子 是否为方程及理由 是。既是等式，又含未知数 不是。是等式但不含未知数 不是。含未知数但不是等式，它是代数式 不是。是不等式，不是等式 是。含未知数的等式 易错提醒：代数式与方程的本质区别在于有没有等号；代数式只能求值，方程才能“解”。 知识点 2　方程的解（根） 使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。 只含有一个未知数的方程的解，也叫做这个方程的根。求方程解的过程叫做解方程。 检验一个数是不是方程的解的方法——代入检验法： 把这个数分别代入方程的左边和右边，分别算出左边的值和右边的值； 若左边的值 = 右边的值，则这个数是方程的解；否则不是。 例如检验 是否为方程 的解： 左边 ，右边 ，左边 = 右边，所以 是这个方程的解。 知识点 3　一元一次方程 在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。 “一元一次”要同时满足四个条件： ① 只含有一个未知数（“一元”）； ② 未知数的次数是 1（“一次”）； ③ 等号两边都是整式（分母中不能含有未知数）； ④ 未知数的系数不等于 0。 方程 是否为一元一次方程 是 是（分母是数，不是未知数） 否。未知数的次数是 2 否。含有两个未知数 否。分母中含有未知数，不是整式方程 当 时是；当 时不是 知识点 4　一元一次方程的一般形式 一元一次方程的一般形式是 （其中 、 是已知数，且 ）。 常见考法： ① 已知 是一元一次方程，求 ：由 得 ，； ② 已知 是一元一次方程，求 ：需要二次项消失，即 ，。 知识点 5　列方程解决实际问题的步骤 列方程的关键是找出题目中的相等关系。一般步骤为： ① 审：审清题意，弄清已知量、未知量及它们之间的关系； ② 设：设适当的未知数（通常设所求的量为 ，并写清单位）； ③ 找：找出能表示题目全部含义的一个相等关系； ④ 列：根据相等关系列出方程； ⑤ 解与答：解方程并作答（本节只要求列出方程）。 天平是理解方程的好模型：天平平衡表示等式成立，天平两边就是方程的左边与右边。 知识点 6　常见的等量关系 问题类型 基本等量关系 行程问题 路程 = 速度 × 时间；相遇：两者路程之和 = 总路程；追及：路程差 = 追及距离 工程问题 工作量 = 工作效率 × 工作时间；把总工作量看作 1 利润问题 利润 = 售价 − 进价；售价 = 标价 × 折扣；利润率 和差倍分 大量 = 小量 × 倍数 ± 差；总量 = 各部分量之和 几何问题 长方形周长 ；面积、体积公式；等积变形中体积不变 数字问题 两位数 十位数字 个位数字 知识点 7　方程与代数式、等式的区别与联系 概念 特征与举例 代数式 没有等号，只能求值。如 等式 含等号，可以含未知数也可以不含。如 、 方程 含未知数的等式，可以求解。如 不等式 用 、 等符号连接，不是方程。如 三者的关系可以概括为：方程一定是等式，等式不一定是方程；方程的左右两边都是代数式，但代数式本身不是方程。 知识点 8　用尝试的方法估计方程的解 本节还不要求用运算规则解方程，但可以用“尝试—检验—调整”的方法估计方程的解，步骤是： ① 先取一个可能的值代入方程，分别算出左边与右边的值； ② 比较左右两边的大小，判断应把所取的值调大还是调小； ③ 反复尝试，直到左右两边相等为止，并列表整理尝试的过程。 例如估计方程 的解：取 时左边为 14，小于 17；取 时左边为 17，等于右边，所以 是它的解。 【典型例题】 例 1　检验 与 是否为方程 的解。 解：当 时，左边 ，右边 ， 左边 ≠ 右边，所以 不是该方程的解。 当 时，左边 ，右边 ， 左边 = 右边，所以 是该方程的解。 例 2　如图，用一根长 m 的绳子围成一个长方形，它的长为 m，宽比长少 m。求这个长方形的长。（只列方程） 解：设这个长方形的长为 m，则宽为 m。 相等关系：长方形的周长 = 绳子的长度。 列方程得 。 点拨：也可以设宽为 m，则长为 m，列出方程 ，两种设法都正确。 例 3　甲、乙两地相距 km，一辆汽车从甲地开往乙地，前一段以 km/h 行驶，后一段以 km/h 行驶，全程共用 h。求以 km/h 行驶的时间。（只列方程） 解：设以 km/h 行驶了 h，则以 km/h 行驶了 h。 相等关系：两段路程之和 = 总路程。 列方程得 。 二、基础达标（A 组） （一）选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1．下列式子中，是方程的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3． 是下列哪个方程的解（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4．若 是关于 的一元一次方程，则 的值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5．某数的 3 倍与 5 的和等于 20，设这个数为 ，则所列方程为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 6．一件商品的进价为 元，按进价提高 标价，再打八折出售，售价为 元，则所列方程为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 7．关于 的方程 是一元一次方程，则 应满足（　　） A．　　B．　　C．　　D． 为任意数 8．甲、乙两人分别从相距 km 的两地同时出发相向而行，甲的速度为 km/h，乙的速度为 km/h，经过 h 相遇，则方程为（　　） A．　　B．　　C．　　D． （二）填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9．含有　　　　　的　　　　　叫做方程。 10．使方程左右两边的值　　　　　的未知数的值，叫做方程的解。 11．在方程 中，未知数是　　　　　，它的次数是　　　　　。 12．若 是方程 的解，则 　　　　　。 13．若关于 的方程 是一元一次方程，则 　　　　　。 14．一个两位数，个位数字是 ，十位数字是 ，这个两位数可以表示为　　　　　；若这个两位数比十位数字的 倍多 ，则可列方程　　　　　。 15．某班有学生 人，其中女生占 ，男生比女生多 6 人，则可列方程　　　　　。 16．如图，一个长方体容器的底面是边长为 cm 的正方形，容器中水的高度为 cm。若把水全部倒入底面积为 的容器中，水的高度变为 cm，则可列方程　　　　　。 （第 16 题图） （三）解答题（共 34 分） 17．（6 分）判断下列各式是不是方程，是一元一次方程的打“√”，并简要说明理由： （1）；　（2）；　（3）； （4）；　（5）；　（6）。 18．（6 分）检验下列各数是不是方程 的解： （1）；　（2）。 19．（7 分）根据下列条件列出方程（不必求解）： （1） 的 5 倍与 3 的差等于 12； （2）某数的 比它的 2 倍少 10； （3）长方形的长为 cm，宽为 cm，周长为 26 cm； （4）一件衣服打八折后售价 160 元，求原价 元。 20．（7 分）某工程队修一条长 m 的公路，甲队每天修 m，乙队每天比甲队多修 m。 （1）用含 的代数式表示乙队每天修的米数； （2）若两队合修 6 天完成，列出方程； （3）若甲队先修 2 天后两队再合修 4 天恰好完成，列出方程。 21．（8 分）如图，天平左盘放有 3 个相同的砝码和一个质量为 g 的物体，右盘放有 5 个相同的砝码，天平恰好平衡。设每个砝码的质量为 g。 （1）用含 的代数式表示天平左盘、右盘物体的总质量； （2）根据天平平衡列出方程； （3）通过尝试的方法，检验 是否为所列方程的解。 三、能力提升（B 组） 22．（4 分）若关于 的方程 是一元一次方程，则 的值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 或 23．（4 分）已知 是方程 的解，则 的值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 24．（5 分）若 是方程 的解，则 　　　　　；此时方程 的解为 　　　　　。 25．（5 分）一个两位数，十位数字比个位数字大 3，若把这个两位数的两个数字对调，所得新数比原数小 27。设个位数字为 ，则原两位数为　　　　　，新两位数为　　　　　，可列方程　　　　　。 26．（8 分）某商店购进一批文具，每件进价 8 元。 （1）若按每件 元出售，用含 的代数式表示每件的利润； （2）若每件的利润率为 ，列出方程求售价（只列方程）； （3）若售出 50 件共获利 200 元，列出方程。 27．（8 分）一列火车以 km/h 的速度匀速通过一座长 m 的大桥，从车头上桥到车尾离桥共用 s。设火车车身长为 m。 （1）火车 s 行驶的路程是多少米？ （2）火车通过大桥所行驶的路程与车长、桥长有什么关系？ （3）根据上述关系列出方程。 28．（8 分）某班组织活动需购买奖品，若每人发 3 支笔则多 10 支，若每人发 4 支笔则少 6 支。设该班有 人。 （1）用含 的代数式表示奖品的总支数（用两种方法表示）； （2）根据“总支数不变”列出方程； （3）用尝试的方法求出 的值。 28-1．（6 分）下表是小华用尝试的方法估计方程 的解的记录，请补全表格并回答问题。 的取值 左边 的值／与右边 17 比较 　　　／　　　 　　　／　　　 　　　／　　　 （1）补全上表； （2）方程 的解是多少？ （3）说说你在尝试过程中是怎样调整所取的值的。 28-2．（6 分）有一批图书，若每箱装 20 本，则剩下 8 本；若每箱装 24 本，则有一箱只装了 16 本，且其余箱都装满。设共有 个箱子。 （1）用两种方法表示这批图书的总本数； （2）列出方程； （3）用尝试的方法求出箱子的个数。 四、拓展探究（C 组） 29．（10 分）某水果店以每千克 6 元的价格购进苹果 200 kg，销售中有 的损耗。为了使总利润达到 480 元，应按每千克多少元定价？ （1）求这批苹果的总进价； （2）用含定价 （元/kg）的代数式表示实际可售出的质量和销售总额； （3）根据“销售总额 − 总进价 = 总利润”列出方程； （4）通过尝试判断 与 哪一个更接近方程的解。 30．（10 分）综合与实践： 小明用一根长 cm 的铁丝围成一个长方形，设长方形的宽为 cm。 （1）用含 的代数式表示长方形的长； （2）若长比宽多 cm，列出方程； （3）若长是宽的 倍，列出方程； （4）分别尝试 、，判断它们各是（2）（3）中哪个方程的解，并说明检验过程。 五、参考答案与解析 一、选择题 1．C　2．D　3．B　4．B　5．B　6．B　7．B　8．B 1．C　A 是等式但不含未知数；B 是代数式，没有等号；D 是不等式；只有 C 既是等式又含未知数。 2．D　A 中未知数次数为 2；B 含两个未知数；C 的分母含未知数；D 的分母是数 3，符合一元一次方程的定义。 3．B　逐一代入检验：A 中 ；B 中左边 右边，符合；C 中 ；D 中 。故选 B。 4．B　由 得 。 5．B　“3 倍与 5 的和”即 ，等于 20。 6．B　标价为 ，打八折即乘 0.8，故售价为 。 7．B　一元一次方程要求未知数的系数不为 0，故 ，即 。 8．B　相向而行属于相遇问题，两人路程之和等于两地距离，故 。 二、填空题 9．未知数；等式。 10．相等。 11．；。 12．。　解析：把 代入得 ，，。 13．。　解析：由 得 或 。 14．；。　解析：两位数 十位数字 个位数字。 15．。　解析：女生 人，男生 人，男女生人数之和为全班人数。 16．。　解析：水的体积不变，这是“等积变形”的基本等量关系。 三、解答题 17．解：（1）是方程，且是一元一次方程（√）。 （2）不是方程，因为不含未知数。 （3）是方程，但含有两个未知数，不是一元一次方程。 （4）是方程，但未知数的最高次数是 2，不是一元一次方程。 （5）是方程，且是一元一次方程（√），分母 2 是数不是未知数。 （6）是方程，但分母中含有未知数，不是整式方程，因此不是一元一次方程。 18．解：（1）当 时， 左边 ，右边 ， 左边 ≠ 右边，所以 不是方程的解。 （2）当 时， 左边 ，右边 ， 左边 = 右边，所以 是方程的解。 19．解：（1）。 （2）设某数为 ，则 。 （3）。 （4）。 20．解：（1）乙队每天修 m。 （2）。 （3）。 21．解：（1）左盘总质量为 g，右盘总质量为 g。 （2）由天平平衡得 。 （3）当 时，左边 ，右边 ， 左边 = 右边，所以 是所列方程的解，即每个砝码 10 g。 四、能力提升 22．B　解析：一元一次方程要求未知数次数为 1 且系数不为 0， 由 得 ，；又由 得 ， 所以 。 23．B　解析：把 代入得 ，，，。 24．；。　解析：把 代入 得 ，；再解 得 。 25．；；。 解析：十位数字为 ，个位数字为 ；对调后十位数字为 ，个位数字为 。 26．解：（1）每件利润为 元。 （2）由利润率 得 。 （3）。 27．解：（1） km/h m/s， s 行驶 （m）。 （2）火车从车头上桥到车尾离桥，所行驶的路程等于桥长加车长。 （3）。 解析：单位换算是本题的第一个关键： km/h m/s m/s，故 km/h m/s。 28．解：（1）第一种表示： 支；第二种表示： 支。 （2）由总支数不变得 。 （3）尝试 ：左边 ，右边 ，左边 ≠ 右边； 尝试 ：左边 ，右边 ，左边 = 右边。 所以 ，即该班有 16 人，奖品共 58 支。 28-1．解：（1）当 时，左边 ，小于 17； 当 时，左边 ，小于 17； 当 时，左边 ，等于 17。 （2）方程的解是 。 （3）当左边的值小于右边时，说明 取小了，应把 调大；反之应调小，直到两边相等。 28-2．解：（1）第一种表示： 本； 第二种表示：前 箱各装 24 本，最后一箱装 16 本，共 本。 （2）由总本数不变得 。 （3）尝试 ：左边 ，右边 ，左边大； 尝试 ：左边 ，右边 ，两边相等。 所以 ，共有 4 个箱子，图书总数为 88 本。 五、拓展探究 29．解：（1）总进价 （元）。 （2）实际可售出 （kg），销售总额为 元。 （3）由“销售总额 − 总进价 = 总利润”得 。 （4）当 时，左边 ，与 480 相差较大； 当 时，左边 ，仍小于 480 但更接近， 所以 比 更接近方程的解（实际解约为 元/kg）。 解析：本节只要求会列方程并会用尝试的方法估计解，精确求解将在下一节学习。 30．解：（1）长方形周长为 60 cm，则长 + 宽 cm， 所以长为 cm。 （2）由“长比宽多 6 cm”得 。 （3）由“长是宽的 2 倍”得 。 （4）把 代入（2）：左边 ，右边 ，左边 = 右边， 所以 是（2）中方程的解； 把 代入（3）：左边 ，右边 ，左边 ≠ 右边，不是（3）的解。 把 代入（3）：左边 ，右边 ，左边 = 右边， 所以 是（3）中方程的解。 ——本课时作业结束—— 学科网（北京）股份有限公司 $