4.3 多边形和圆的初步认识 课时作业 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 初中数学同步练（新授课），覆盖多边形概念、对角线、圆的概念、扇形统计图及多边形分割，分层设计科学，实现从概念理解到综合应用的递进，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组（基础达标）|单一知识点（多边形边/顶点、对角线公式、圆的半径/直径）|选择/填空考查概念辨析，解答题训练公式直接应用，夯实基础| |B组（能力提升）|综合知识点（对角线与边数关系、扇形圆心角计算）|方程应用、规律探究题，提升推理能力与运算能力| |C组（拓展探究）|跨知识点应用（多边形分割、扇形统计图实际问题）|动手操作与实际情境题，发展空间观念与模型意识|

第四章 基本平面图形　3 多边形和圆的初步认识 北师大版　七年级上册　课时作业（含知识点·答案·解析） 班级：　　　　　姓名：　　　　　得分：　　　　　用时：　　　分钟 一、知识点梳理 知识点 1　多边形的概念 由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形，叫做多边形。 名称 含义 边 组成多边形的各条线段 顶点 相邻两边的公共端点 内角 相邻两边组成的角，简称多边形的角 对角线 连接多边形不相邻的两个顶点的线段 多边形按边数命名：有 3 条边的叫三角形，有 4 条边的叫四边形，……，有 条边的叫 边形（）。 各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形，如正三角形（等边三角形）、正方形、正五边形、正六边形等。 易错提醒：各边相等的四边形（菱形）不一定是正方形；各角相等的四边形（矩形）也不一定是正方形。只有边、角都相等才是正多边形。 知识点 2　多边形的对角线 从 边形的一个顶点出发，可以引出的对角线条数为 （条）。 这些对角线把 边形分成的三角形个数为 （个）。 边形的对角线的总条数为 （条）。 理由：每个顶点都可以引出 条对角线，共 个顶点，但每条对角线被数了两次，所以要除以 2。 多边形 一个顶点引出对角线条数／分成三角形个数／对角线总条数 三角形 ／／ 四边形 ／／ 五边形 ／／ 六边形 ／／ 边形 ／／ 知识点 3　圆的有关概念 平面上，一条线段绕着它的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆。固定的端点叫做圆心，线段的长叫做半径。 名称 含义与表示 圆心 圆的中心，记作点 ，圆记作“” 半径 连接圆心与圆上任意一点的线段，如 直径 经过圆心且两端都在圆上的线段，如 ；直径 = 2 × 半径 弦 连接圆上任意两点的线段；直径是圆中最长的弦 弧 圆上任意两点间的部分，读作“弧 ”；大于半圆的弧是优弧，小于半圆的弧是劣弧 扇形 由一条弧和经过这条弧两端的两条半径所组成的图形 圆心角 顶点在圆心的角，如 易错提醒： ① 半径、直径都是线段，不能说“半径是 直径的长”时把图形与长度混淆； ② 弦是线段，弧是曲线，二者不能混为一谈； ③ 同圆或等圆中，所有的半径都相等。 知识点 4　扇形及扇形统计图 把一个圆平均分成 份，每一份所对的圆心角为 。 例如把圆 3 等分，每份圆心角为 ；4 等分为 ；6 等分为 。 扇形统计图能直观反映各部分在总体中所占的百分比。其中 某部分对应的圆心角 该部分所占的百分比； 某部分所占百分比 。 在扇形统计图中，各部分百分比之和为 ，各圆心角之和为 。 知识点 5　多边形的分割与拼接 从一个顶点出发引对角线，可以把多边形分成若干个三角形，这是研究多边形的重要方法——“化多为少、化生为熟”。 若在多边形内部任取一点，与各顶点相连，则 边形被分成 个三角形；若在某条边上取一点与各顶点相连，则被分成 个三角形。 【典型例题】 例 1　从八边形的一个顶点出发可以引出几条对角线？它们把八边形分成几个三角形？八边形共有多少条对角线？ 解：从一个顶点出发可引对角线 （条）； 这些对角线把八边形分成 （个）三角形； 八边形的对角线总条数为 （条）。 例 2　一个多边形共有 35 条对角线，求这个多边形的边数。 解：设这个多边形的边数为 ， 由 得 。 因为 ，所以 。 答：这个多边形是十边形。 例 3　某校对 400 名学生最喜欢的运动项目进行调查，结果绘制成扇形统计图（如图）。 （1）喜欢 A 项目的学生占百分之几？有多少人？ （2）求 B 项目对应扇形的圆心角度数。 解：（1）由图知 A 占 ，人数为 （人）。 （2）B 占 ，圆心角为 。 二、基础达标（A 组） （一）选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1．下列图形中，不是多边形的是（　　） A．三角形　　B．四边形　　C．圆　　D．正六边形 2．从七边形的一个顶点出发，可以引出对角线（　　）条 A．　　B．　　C．　　D． 3．从十边形的一个顶点出发引对角线，可以把它分成三角形（　　）个 A．　　B．　　C．　　D． 4．六边形共有对角线（　　）条 A．　　B．　　C．　　D． 5．下列说法正确的是（　　） A．直径是弦　　B．弦是直径　　C．半圆是弦　　D．过圆心的线段是直径 6．把一个圆平均分成 6 份，每份所对的圆心角是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 7．在扇形统计图中，某部分所占百分比为 ，则它对应的圆心角是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 8．一个多边形有 9 条对角线，则它是（　　） A．五边形　　B．六边形　　C．七边形　　D．八边形 （二）填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9．组成多边形的线段叫做多边形的　　　　　，相邻两边的公共端点叫做多边形的　　　　　。 10．连接多边形　　　　　的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。 11．从 边形的一个顶点出发可以引　　　　　条对角线，把 边形分成　　　　　个三角形。 12．十二边形共有　　　　　条对角线。 13．圆中最长的弦是　　　　　；若圆的半径为 5 cm，则直径为　　　　　cm。 14．把一个圆平均分成 8 份，每份所对的圆心角是　　　　　度。 15．某班有学生 50 人，在扇形统计图中，喜欢篮球的学生对应扇形的圆心角为 ，则喜欢篮球的学生有　　　　　人。 16．如图，在正六边形 中，从顶点 出发的对角线共有　　　　　条，它们把六边形分成　　　　　个三角形。 （第 16 题图） （三）解答题（共 34 分） 17．（6 分）填写下表： 多边形 边数／一个顶点引对角线条数／分成三角形个数／对角线总条数 四边形 ／　　／　　／　　 五边形 ／　　／　　／　　 七边形 ／　　／　　／　　 边形 ／　　／　　／　　 18．（6 分）已知一个多边形从一个顶点出发可以引 6 条对角线。 （1）求这个多边形的边数； （2）这些对角线把它分成多少个三角形？ （3）这个多边形共有多少条对角线？ 19．（7 分）如图，图①、图②中 均为圆心。 （1）写出图①中的一条半径、一条直径和一条弦； （2）图②中的阴影部分叫什么图形？它是由哪些线围成的？ （3）若半径 cm，求直径的长。 20．（7 分）某校调查了 200 名学生的课外阅读偏好，绘制成扇形统计图：文学类占 ，科普类占 ，历史类占 ，其他占 。 （1）求各类对应扇形的圆心角度数； （2）求喜欢科普类的学生人数； （3）验证各圆心角之和是否为 。 21．（8 分）如图，在五边形 中，从顶点 出发引出所有对角线。 （1）写出这些对角线； （2）它们把五边形分成了几个三角形？ （3）若改为从五边形内部任取一点 ，连接 与各顶点，能分成几个三角形？与（2）相比多了几个？ 三、能力提升（B 组） 22．（4 分）一个多边形的对角线条数是边数的 2 倍，则这个多边形的边数是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 23．（4 分）在扇形统计图中，若 A、B、C 三部分对应的圆心角度数之比为 ，则 A 部分所占的百分比约是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 24．（5 分）若一个多边形从一个顶点出发引对角线，能把它分成 8 个三角形，则这个多边形共有　　　　　条边，　　　　　条对角线。 25．（5 分）一个圆的半径为 ，把它平均分成 12 份，每份所对的圆心角为　　　　　度；其中相邻 3 份合起来所对的圆心角为　　　　　度。 26．（8 分）某商场统计某天四类商品的销售额（单位：万元）：家电 12，服装 8，食品 6，其他 4。 （1）求当天的总销售额； （2）求各类商品销售额占总销售额的百分比； （3）若用扇形统计图表示，求各类商品对应扇形的圆心角度数。 27．（8 分）探究多边形的对角线条数： （1）分别求出四边形、五边形、六边形、七边形的对角线条数； （2）观察上述结果，写出 边形对角线条数的表达式，并说明理由； （3）是否存在一个多边形，它的对角线条数恰好为 20 条？若存在，求出它的边数；若不存在，说明理由。 28．（8 分）把一个正六边形的中心 与它的六个顶点分别连接起来。 （1）正六边形被分成几个三角形？ （2）每个三角形所对的圆心角是多少度？ （3）若正六边形的边长为 4 cm，求它的周长。 四、拓展探究（C 组） 29．（10 分）某校对 600 名学生上学方式进行调查，并绘制成扇形统计图，其中“步行”“骑车”“乘车”“其他”四部分对应的圆心角度数分别为 、、、。 （1）验证四个圆心角之和是否为 ； （2）分别求出四种方式的人数； （3）若明年学生总数增加到 750 人，且各方式所占百分比不变，求步行上学的人数； （4）“骑车”比“乘车”多的人数占总人数的百分之几？ 30．（10 分）动手操作与探究： （1）在一张纸上画一个五边形，从一个顶点出发画出所有对角线，数一数被分成几个三角形； （2）改为在一条边上取一点（不是顶点），与其余各顶点连线，数一数被分成几个三角形； （3）改为在五边形内部取一点，与各顶点连线，数一数被分成几个三角形； （4）把（1）（2）（3）推广到 边形，分别写出所分成三角形的个数，并比较三者的大小关系。 五、参考答案与解析 一、选择题 1．C　2．A　3．B　4．B　5．A　6．C　7．C　8．B 1．C　多边形是由线段首尾顺次相连组成的封闭图形，圆是由曲线组成的，不是多边形。 2．A　（条）。 3．B　（个）。 4．B　（条）。 5．A　直径是经过圆心的弦，所以直径一定是弦；但弦不一定过圆心，故 B 错；半圆是弧不是弦，C 错；过圆心的线段两端不一定都在圆上，D 错。 6．C　。 7．C　。 8．B　由 得 ，故 。 二、填空题 9．边；顶点。 10．不相邻。 11．；。 12．。　解析：（条）。 13．直径；。 14．。　解析：。 15．。　解析：（人）。 16．；。　解析：（条），（个）。 三、解答题 17．解：四边形：／／／； 五边形：／／／； 七边形：／／／； 边形：／／／。 18．解：（1）由 得 ，即这是一个九边形。 （2）分成 （个）三角形。 （3）共有 （条）对角线。 19．解：（1）半径：（或 、）；直径：；弦：（直径是圆中最长的弦）。 （2）图②中的阴影部分是扇形，它由弧 与两条半径 、 围成。 （3）直径 （cm）。 20．解：（1）文学类：；科普类：； 历史类：；其他：。 （2）（人）。 （3），符合“各扇形圆心角之和为周角”的规律。 21．解：（1）从顶点 出发的对角线是 和 。 （2）分成 （个）三角形。 （3）从内部一点 与五个顶点相连，分成 5 个三角形，比（2）多 （个）。 四、能力提升 22．C　解析：由 得 ，。 23．B　解析：A 占 。 24．；。　解析：由 得 ；对角线共 （条）。 25．；。　解析：，。 26．解：（1）总销售额 （万元）。 （2）家电 ；服装 ； 食品 ；其他 。 （3）家电 ；服装 ； 食品 ；其他 。 检验：，正确。 27．解：（1）四边形 2 条，五边形 5 条，六边形 9 条，七边形 14 条。 （2） 边形的对角线条数为 。 理由：每个顶点可与除自身及相邻两个顶点外的 个顶点连出对角线， 个顶点共得 条，而每条对角线的两个端点都被计算了一次，故要除以 2。 （3）令 ，得 。 当 时 ，符合，所以存在，这个多边形是八边形。 28．解：（1）被分成 6 个三角形。 （2）每个三角形在中心处所对的圆心角为 。 （3）周长 （cm）。 五、拓展探究 29．解：（1），符合要求。 （2）步行：（人）； 骑车：（人）； 乘车：（人）； 其他：（人）。 检验：（人），正确。 （3）（人）。 （4）骑车比乘车多 。 30．解：（1）分成 3 个三角形。 （2）在一条边上取一点，与其余各顶点相连，分成 4 个三角形。 （3）在内部取一点与各顶点相连，分成 5 个三角形。 （4）推广到 边形： 从一个顶点出发分成 个三角形； 从一条边上一点出发分成 个三角形； 从内部一点出发分成 个三角形。 因为 ，所以三者依次增大，每次多 1 个三角形。 解析：从顶点出发时，该顶点处不产生新的角；从边上一点出发时，该点处产生一个平角，多出 1 个三角形；从内部一点出发时，该点处产生一个周角，又多出 1 个三角形。 ——本课时作业结束—— 学科网（北京）股份有限公司 $