精品解析：浙江宁波市镇海蛟川书院2026-2027学年九年级上学期学情自测数学试题

初三数学试卷 一、选择题本大题有10小题，每小题3分． 1. 下列4个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③任何一条直径都是圆的对称轴；④相等的圆心角所对的弧相等；正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 若一个三角形的外心在这个三角形的一边上，那么这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 3. 点P为⊙O内一点，且OP=4，若⊙O的半径为6，则过点P的弦长不可能为（ ）． A. 12 B. C. 8 D. 10.5 4. 如图，为的外接圆的直径，若，则等于（ ） A. 32° B. 36° C. 48° D. 52° 5. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，使点C落在边上的E处，点B落在D处，则的长为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 6. 线段是的直径，弦于点．若，则半径长为（　　） A. B. 5 C. D. 7. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，．若．则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC=40°，则∠AMB的度数不可能是( ) A. 45° B. 60° C. 75° D. 85° 9. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CB，∠BAC＝30°，BD＝，则AD＋CD的值为（ ） A. 3 B. 2 C. ＋1 D. 不能确定 10. 如图，的半径是5，点A是圆周上一定点，点B在上运动，且，，垂足为点C，连接，则的最小值是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分） 11. 在中，弦，，则的半径为___________． 12. 的直径为，点P到圆心O的距离为，点P与的位置关系是______． 13. 如图，的弦、半径延长交于点，，若，则_________ ． 14. 如图，的半径为4，点为上一点，弦于点，，则___________． 15. 如图，的直径，是上半圆（，除外）上任一点，的平分线交于，弦过，的中点，，则的长是___________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，经过原点，且与轴交于点，与轴交于点，点在第二象限上，且，则__． 17. 如图，的直径与弦相交于点，且，若，则的半径为___________． 18. 直线l：与x轴交于点A．与y轴交于点B，以为直径作，点P为线段上一动点（与点O、A不重合），作于C，连结并延长交于点D．连接，当点P在线段上运动时，则的最大值是___________． 三、解答题 19. 如图，AB是的直径，四边形ABCD内接于，OD交AC于点E，AD=CD． （1）求证：； （2）若，，求BC的长． 20. 如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D． （1）求证：∠BAC=2∠ABD； （2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小； （3）当AD=2，CD=3时，求边BC的长． 21. 如图，在锐角三角形中，以边为直径的交于点，作．依次交于点，交于点，交于点． （1）求证：； （2）若，的直径等于5，，求CE的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学试卷 一、选择题本大题有10小题，每小题3分． 1. 下列4个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③任何一条直径都是圆的对称轴；④相等的圆心角所对的弧相等；正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】需关注各圆相关结论的适用前提，结合定义判断说法的正确性． 【详解】解：①直径是经过圆心的弦，故①正确； ②平分弦的直径垂直于弦的前提是被平分的弦不是直径，该说法缺少此前提，故②错误； ③圆的对称轴是直径所在的直线，直径是线段，不是对称轴，故③错误； ④相等的圆心角所对的弧相等的前提是在同圆或等圆中，该说法缺少此前提，故④错误； 综上，正确的说法共个． 2. 若一个三角形的外心在这个三角形的一边上，那么这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是其斜边的中点，钝角三角形的外心在其三角形的外部；由此可知若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是直角三角形．故选B． 考点：三角形的外接圆与外心． 3. 点P为⊙O内一点，且OP=4，若⊙O的半径为6，则过点P的弦长不可能为（ ）． A. 12 B. C. 8 D. 10.5 【答案】C 【解析】 【分析】过点P最长的弦是圆的半径，最短的弦是与OP垂直的弦，所以过点P的弦最长是12，最短是． 【详解】解：如图所示，OP⊥AB，则AB是过点P最短的弦， ∴AP=BP，OA=6，OP=4， 在Rt△AOP中，AP==， 所以AB=．由于8＜， 所以过点P的弦长不可能为8． 故选C． 4. 如图，为的外接圆的直径，若，则等于（ ） A. 32° B. 36° C. 48° D. 52° 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据圆周角定理的推论得到，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：连接， ∵为的外接圆的直径， ∴ ∵， ∴， 由圆周角定理得，， 故选：A． 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握直径所对的圆周角是直径是解题的关键． 5. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，使点C落在边上的E处，点B落在D处，则的长为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，旋转，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 根据题意和勾股定理得，根据旋转即可得，即可得． 【详解】解：在中，， 根据勾股定理得，， ∵将绕点A逆时针旋转，使点C落在边上的E处，点B落在D处， ∴， ∴， 故选：A． 6. 线段是的直径，弦于点．若，则半径长为（　　） A. B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及垂径定理、圆的性质、勾股定理等知识，连接，如图所示，由垂径定理得到，设，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 线段是的直径，弦于点， ， 在中，，，由勾股定理可得，解得， 故选：D． 7. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，．若．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴. 8. 如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC=40°，则∠AMB的度数不可能是( ) A. 45° B. 60° C. 75° D. 85° 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵B是弧AC的中点， ∴∠AOB=2∠BDC=80°． 又∵M是OD上一点， ∴∠AMB≤∠AOB=80°． 则不符合条件的只有85°． 故选D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，正确理解圆周角定理求得∠AOB的度数是关键． 9. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CB，∠BAC＝30°，BD＝，则AD＋CD的值为（ ） A. 3 B. 2 C. ＋1 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过点B作BE⊥AD于E，BF⊥DC交DC的延长线于F．利用全等三角形的性质证明DE＝DF，AE＝CF，推出DA＋DC＝2DF，求出DF即可解决问题． 【详解】解：如图，过点B作BE⊥AD于E，BF⊥DC交DC的延长线于F． ∵AB＝BC， ∴＝， ∴∠BDE＝∠BDF， ∵∠DEB＝∠DFB＝90°，DB＝DB， ∴△BDE≌△BDF（AAS）， ∴BE＝BF，DE＝DF， ∵∠AEB＝∠F＝90°，BA＝BC，BE＝BF， ∴Rt△BEA≌Rt△BFC（HL）， ∴AE＝CF， ∴AD＋DC＝DE＋AE＋DF﹣CF＝2DF， ∵∠BDF＝∠BAC＝30°，BD＝， ∴BF＝BD＝， ∴DF＝＝， ∴DA＋DC＝3， 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 10. 如图，的半径是5，点A是圆周上一定点，点B在上运动，且，，垂足为点C，连接，则的最小值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设交于，连接、、，过作于，连接，由题意易证明是等边三角形，即得出，，从而由勾股定理可求出．再根据直角三角形斜边中线的性质可知，最后利用三角形三边关系即可求解． 【详解】设交于，连接、、，过作于，连接， ， ， ， 是等边三角形， ，， 由勾股定理得：． ， ． ， ， 在中，， ， 的最小值是， 故选：D． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质和三角形三边关系的应用．正确的作出辅助线是解题关键． 二、填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分） 11. 在中，弦，，则的半径为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理得到直角三角形，再结合等腰三角形和含角的直角三角形即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵ ，都是的半径， ∴ ， ∵ ，， ∴ 由垂径定理得， ∵ ，， ∴ ， 在中，， ∴． 12. 的直径为，点P到圆心O的距离为，点P与的位置关系是______． 【答案】点P在外 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系．若点与圆心的距离d，圆的半径为r，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此求解即可． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径为， ∵点P到圆心O的距离为，， ∴点P与的位置关系是点P在外． 故答案为：点P在外． 13. 如图，的弦、半径延长交于点，，若，则_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】作辅助线OB，根据OA＝OB＝BD＝半径，构造出两个等腰三角形，结合三角形外角的性质与三角形内角和定理，即可求解． 【详解】连接OB， ∵BD＝OA，OA＝OB ∴△AOB和△BOD为等腰三角形， 设∠D＝x°，则∠OBA＝2x°， ∵OB＝OA， ∴∠A＝2x°， 在△AOB中，2x＋2x＋（105−x）＝180， 解得：x＝25， 即∠D＝25°． 故答案是：． 【点睛】此题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，以及三角形的外角的性质三角形内角和定理，难易程度适中． 14. 如图，的半径为4，点为上一点，弦于点，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，求解，可得，再进一步可得答案. 【详解】解：连接， ∵的半径为4，弦于点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 15. 如图，的直径，是上半圆（，除外）上任一点，的平分线交于，弦过，的中点，，则的长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点，连接，由垂径定理的结论说明，从而说明是的中点，在中，由勾股定理得的长，即可求得． 【详解】解：连接交于点，连接， 平分， ， ， ， ， ， ，分别是，的中点， ， ， ． ， ， 是的中点， ， ， 直径， ， ， 在中，，由勾股定理得 ， ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，经过原点，且与轴交于点，与轴交于点，点在第二象限上，且，则__． 【答案】2+ 【解析】 【分析】连接AC，CM，AB，过点C作CH⊥OA于H，设OC=a．利用勾股定理构建方程解决问题即可． 【详解】解：连接AC，CM，AB，过点C作CH⊥OA于H，设OC=a． ∵∠AOB=90°， ∴AB是直径， ∵A（-4，0），B（0，2）， ∴， ∵∠AMC=2∠AOC=120°， ， 在Rt△COH中，， ， 在Rt△ACH中，AC2=AH2+CH2， ∴， ∴a=2+ 或2-（因为OC＞OB，所以2-舍弃）， ∴OC=2+， 故答案为：2+． 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 17. 如图，的直径与弦相交于点，且，若，则的半径为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点O作于点E，连接，根据垂径定理得出，根据等腰三角形的判定和性质得出，整理得出，最后求出结果即可． 【详解】解：过点O作于点E，连接，如图所示： 则， ∵， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，负值舍去， 即的半径为． 18. 直线l：与x轴交于点A．与y轴交于点B，以为直径作，点P为线段上一动点（与点O、A不重合），作于C，连结并延长交于点D．连接，当点P在线段上运动时，则的最大值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，先后证明，，得到，然后证明，得到，所以，设，则，所以，再根据二次函数的性质，即可求得答案． 【详解】解：连接，， 令，则， 令，则， 解得， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 设，则， ， 当时，的最大值是． 三、解答题 19. 如图，AB是的直径，四边形ABCD内接于，OD交AC于点E，AD=CD． （1）求证：； （2）若，，求BC的长． 【答案】（1）， ∴= 又为半径， ， 为直径， ， （2） 【解析】 【分析】（1）先根据垂径定理推出，从而得到，再根据直径所对的圆周角是直角得到，所以，从而结论得证； （2）设半径为r，再根据勾股定理列出方程求出r，从而求出直径AB的值，再次根据勾股定理可求出BC即可． 【详解】解：（1） 略 （2）设圆的半径为r ，， ， 在中， 即，所以， ，O是AC，AB的中点 ， 【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理的推论，掌握相关知识是解题的关键． 20. 如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D． （1）求证：∠BAC=2∠ABD； （2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小； （3）当AD=2，CD=3时，求边BC的长． 【答案】 （1）证明：连接OA，如下图1所示： ∵AB=AC， ∴=， ∴OA⊥BC， ∴∠BAO=∠CAO． ∵OA=OB， ∴∠ABD=∠BAO， ∴∠BAC=2∠ABD． （2）∠BCD的值为67.5°或72°； （3）． 【解析】 【分析】(1)连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可． (2)分三种情形：①若BD=CB，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD．③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可． (3) 如图3中，作AEBC交BD的延长线于E．则，进而得到，设OB=OA=4a，OH=3a，根据BH2=AB2-AH2=OB2-OH2，构建方程求出a即可解决问题． 【详解】解：(1)略 (2)如图2中，延长AO交BC于H． ①若BD=CB，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD． ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∴∠DBC=2∠ABD． ∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°， ∴8∠ABD=180°， ∴∠C=3∠ABD=67.5°． ②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD，∴∠C=4∠ABD． ∵∠DBC+∠C+∠CDB=180°， ∴10∠ABD=180°， ∴∠BCD=4∠ABD=72°． ③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在． 综上所述：∠C的值为67.5°或72°． (3)如图3中，过A点作AEBC交BD的延长线于E． 则==，且BC=2BH， ∴==， 设OB=OA=4a，OH=3a． 则在Rt△ABH和Rt△OBH中， ∵BH2=AB2﹣AH2=OB2﹣OH2， ∴25 - 49a2=16a2﹣9a2， ∴a2=， ∴BH=， ∴BC=2BH=． 故答案为：． 【点睛】本题属于圆的综合题，考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 21. 如图，在锐角三角形中，以边为直径的交于点，作．依次交于点，交于点，交于点． （1）求证：； （2）若，的直径等于5，，求CE的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接AD，由圆周角定理得出∠ADC=90°，根据等角的余角相等得∠DAC=∠GBC，由圆周角定理得出∠DAC=∠DEC，可得∠EBC=∠DEC，即可证明△ECD∽△BCE； （2）证出BD=AD，得出AD+DC=7，由勾股定理得出AD2+DC2=AC2，即（7-DC）2+DC2=52，解得DC=4或DC=3，由题意得出DC=3，AD=4，由相似三角形的性质得出CE：BC=CD：CE，即可得出答案． 【详解】解：（1）证明：连接AD， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC=90°， ∴∠ADB=90°， ∵BH⊥AC， ∴∠BGC=90°， ∵∠DAC+∠ACD=∠GBC+∠ACD=90°， ∴∠DAC=∠GBC， 又∵∠DAC=∠DEC， ∴∠EBC=∠DEC， ∵∠ECD=∠BCE， ∴△ECD∽△BCE； （2）解：由（1）得：∠EBC=∠DEC， ∵∠ABC=45°， ∴∠ABG+∠DEC=∠ABG+∠CAD=45°，又∠AGB=90°， ∴∠BAD=45°， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴BD=AD， ∴AD+DC=BD+DC=BC=7， ∵∠ADC=90°，AC=5， ∴AD2+DC2=AC2，即（7-DC）2+DC2=52， 解得：DC=4或DC=3， ∵∠DAC=∠GBC＜45°， ∴AD＞DC， ∴DC=3，AD=4， 由（1）得：△ECD∽△BCE， ∴CE：BC=CD：CE， ∴CE2=CD×BC=3×7=21， ∴CE=． 【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆心角定理，证明三角形相似是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $