1.4.2 用空间向量研究距离、 夹角问题 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量解决距离与夹角问题，分层设计覆盖基础计算到综合应用，通过几何体情境梯度提升空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一几何体（正方体、正三棱柱）距离与夹角计算|选择题（1-6题）直接应用向量公式，强化运算能力| |能力提升|复杂几何体（三棱台、折叠梯形）及动态问题|多选题（8-10题）结合动点、面面垂直，培养逻辑推理| |综合应用|多问解答（四棱锥、正三棱柱）|解答题（14-15题）融合证明与距离、夹角计算，发展模型观念|

1.4.2 用空间向量研究距离、 夹角问题限时训练 1．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·开学考试）在三棱台中，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·湖北·期中）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·重庆·期末）在正三棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江苏苏州·期中）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·河南郑州·期末）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·广东汕头·开学考试）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·全国·期末）已知梯形如图（1）所示，其中，为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面平面，得到如图（2）所示的几何体．已知当上一点满足时，平面平面，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）（多选）如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则（    ）    A．直线平面 B．点到平面的距离是 C．异面直线和所成角的余弦值为 D．平面平面 9．（25-26高一下·内蒙古赤峰·阶段检测）（多选）如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，下列结论正确的是（    ） A．与垂直 B．平面 C．异面直线与所成的角为 D．点到平面的距离为 10．（25-26高二下·广东·期中）（多选）如图，点P在正方体的面对角线上运动（P点异于点、点），则下列判断不正确的有（    ） A．三棱锥的体积不变 B．异面直线BD与所成角为 C．存在点P使得平面 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 11．（25-26高二上·天津河北·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则直线与平面所成角的正弦值为_______；点A到直线的距离为________. 12．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）在正四棱柱中，底面边长为2，侧棱长为4，则到平面的距离为_______． 13．（25-26高二上·北京·阶段检测）如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长为1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动． ①________． ②线段MN长度的最小值是________． 14．（2026高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，E、F分别是、的中点．若，． (1)求证：平面； (2)求点F到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的大小． 15．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知正三棱柱中，侧棱长为，底面边长为2，为的中点. (1)证明：； (2)求平面和平面夹角的大小； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2 用空间向量研究距离、 夹角问题限时训练 1．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·开学考试）在三棱台中，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和在方向上的投影，即可由向量方法直接计算点到直线的距离． 【详解】因为平面，所以，又，所以. 可以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，. 所以， 所以在方向上的投影为， 所以点到直线的距离为． 2．（25-26高二下·湖北·期中）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法进行求解. 【详解】以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 因为正方体棱长为，则各点坐标为： ， 又因为为中点，所以，因为为中点，所以， 即，， 设异面直线与所成角为，则 ． 3．（25-26高一下·重庆·期末）在正三棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，利用线面角的向量计算公式求解. 【详解】取中点，连接，因为为正三角形，故， 正三棱柱中，平面，平面，故， 又，平面，因此平面， 以为原点，、过且平行于的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 已知底面边长，故，高，得各点坐标：，，， 直线的方向向量， 平面上所有点的坐标为，故其一个法向量为，， 设直线与平面所成角为，根据线面角的向量关系： ， 计算得，，代入得：，故B正确. 4．（25-26高二下·江苏苏州·期中）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，可证平面，则直线到平面的距离等于点到平面的距离，利用空间向量求点到平面的距离. 【详解】如图，以点为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，， 可得，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得， 因为，可知， 且平面，平面，所以平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 则点到平面的距离为， 所以直线到平面的距离为. 5．（25-26高一下·河南郑州·期末）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理逆定理证明，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线夹角的余弦值. 【详解】在中，， 因为，所以. 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面平面，所以. 如图，以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 则. 因为是的中点，所以. 所以. 设直线与直线所成角为， 则 . 所以直线与直线所成角的余弦值为. 6．（25-26高二上·广东汕头·开学考试）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设为直线上任意一点，过作，垂足为，利用向量表示，，再结合向量模的性质求的最小值，由此可得结论. 【详解】设为直线上任意一点，过作，垂足为， 设 ，， 则 ， 因为，所以 即 所以，所以， 所以， ∴当时， 取得最小值， 故直线与之间的距离是 故选：B. 7．（25-26高二上·全国·期末）已知梯形如图（1）所示，其中，为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面平面，得到如图（2）所示的几何体．已知当上一点满足时，平面平面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构建以A为原点，射线AB、AD、AP为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，由题设标注相关点的坐标，进而求平面、平面的法向量，根据空间向量垂直的坐标表示求参数. 【详解】由题意，可构建以A为原点，射线AB、AD、AP为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系， 所以， 则， ， 若是面一个法向量， 则， 可得， 若是面一个法向量， 则， 可得， 由面面， 所以有， 解得， 故选：C. 8．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）（多选）如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则（    ）    A．直线平面 B．点到平面的距离是 C．异面直线和所成角的余弦值为 D．平面平面 【答案】BC 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】在正三棱柱中，，，为的中点,所以, 以为原点，为轴，为轴，过作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    求得, 选项A:,, 设平面的法向量,则,,列方程可得, 代入向量得,令,则,所以, 计算,所以直线不垂直平面,选项A错误； 选项B:因为,所以点到平面的距离,选项B正确； 选项C:因为, 所以异面直线和所成角的余弦值,选项C正确； 选项D:,,设平面的法向量, 则,,列方程可得,代入向量得, 可知,令,则,所, 由前面可知平面的法向量，计算, 所以平面不垂直平面，选项D错误. 9．（25-26高一下·内蒙古赤峰·阶段检测）（多选）如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，下列结论正确的是（    ） A．与垂直 B．平面 C．异面直线与所成的角为 D．点到平面的距离为 【答案】BD 【详解】以为坐标原点，分别为轴，轴，轴，建立空间坐标系： 则,,,,, ,,,,, 对于A，因为，, 所以, 所以不垂直，即与不垂直，故A错误； 对于B，因为轴平面， 所以取平面的法向量， 因为， 所以， 又因为平面， 所以平面，故B正确； 对于C，因为，, 所以, 又因为， 所以， 即异面直线与所成的角为，故C错误； 对于D，因为，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取， 设点到平面的距离为， 则，故D正确． 10．（25-26高二下·广东·期中）（多选）如图，点P在正方体的面对角线上运动（P点异于点、点），则下列判断不正确的有（    ） A．三棱锥的体积不变 B．异面直线BD与所成角为 C．存在点P使得平面 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 【答案】BCD 【分析】利用线面平行，结合体积计算判断A；求出异面直线夹角判断B；建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断C；利用线面角的向量法求解判断D. 【详解】对于A，在正方体中，，平面， 平面，则平面，而点P在上运动， 则点到平面的距离为定值，又的面积为定值， 因此三棱锥的体积不变，A正确； 对于B，在正方体中，，为正三角形， 直线BD与所成角等于与夹角，B错误； 对于C，在正方体中，建立如图所示直角坐标系，令正方体的棱长为1， 设，， ，，， ，即与不垂直，而平面，因此与平面不垂直，C错误； 对于D，由正方体的性质知：平面， 即平面的法向量为， 直线与平面所成角正弦值， 由，得，因此，D错误． 11．（25-26高二上·天津河北·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则直线与平面所成角的正弦值为_______；点A到直线的距离为________. 【答案】 / 【分析】根据给定条件，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解；利用点到直线距离公式求解. 【详解】依题意，， 设平面的法向量，则，取，得， 设直线与平面所成角为，则； 点A到直线的距离. 故答案为：； 12．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）在正四棱柱中，底面边长为2，侧棱长为4，则到平面的距离为_______． 【答案】 【分析】以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【详解】如图，以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则 ∴，，． 设平面的法向量为， 则即取，则，所以， 所以点C1到平面AD1C的距离为＝． 13．（25-26高二上·北京·阶段检测）如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长为1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动． ①________． ②线段MN长度的最小值是________． 【答案】 【分析】以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，坐标运算求，由异面直线间的距离求线段MN长度的最小值. 【详解】正方形ABCD和正方形ABEF的边长为1，平面平面， 平面平面，，平面， 则有平面， 以A为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，. M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动，线段MN长度的最小值是异面直线AC，BF间的距离， 设与都垂直的一个法向量为， 由，令，有， 得，又， 所以线段MN长度的最小值是 故答案为：； 14．（2026高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，E、F分别是、的中点．若，． (1)求证：平面； (2)求点F到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)如图建立空间直角坐标系，，，，，，. 取的中点G，连结，则． ，， ．即． 又平面，平面， 平面． (2) (3)． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出和平面中的向量，再证明平行即可. （2）求出平面的法向量，再求出点F到平面的距离即可. （3）根据（2）以及线面角公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量为，，． ．即． 取，得． 又， 故点F到平面的距离为． （3）， ． ∴直线与平面所成角的大小为． 15．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知正三棱柱中，侧棱长为，底面边长为2，为的中点. (1)证明：； (2)求平面和平面夹角的大小； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明：由为正三棱柱可知，平面， 又平面，所以， 又因点D为正三角形的边AB的中点，所以； 又，平面，所以平面； 又平面，所以. (2) (3) 【分析】（1）先由正三棱柱的性质可得平面，再利用线面垂直的判定定理证明平面，由线面垂直的性质定理可得； （2）以的中点O为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，及平面的一个法向量，利用求平面与平面夹角的大小； （3）设直线CA与平面所成的角为，利用求直线CA与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）分别取线段的中点，连接，易知两两垂直， 可以O为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示; 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得； 易得为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为，则     ， 因,则，即平面与平面夹角为； （3）由（2）可知，平面的一个法向量为， 设直线CA与平面所成的角为， 所以， 即直线CA与平面所成角的正弦值为. 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $