福建省龙岩第一中学2026-2027学年高二上学期第二次周考数学试题

**基本信息** 聚焦数列核心知识，融合斐波那契数列、三分损益法等文化情境，通过基础计算、性质探究及新定义“美好成长”问题，梯度考查抽象能力、推理能力与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|等差等比数列基本量、前n项和最值|基础巩固，如等比数列公比计算| |多选题|3/18|斐波那契数列性质、递推数列|能力提升，如斐波那契数列求和公式推导| |填空题|3/15|三分损益法、分组构等差数列|文化传承，如第13题古代音律长度计算| |解答题|3/43|等差等比通项、新定义“美好成长”|创新应用，第17题通过新定义考查逻辑推理与数列求和|

龙岩一中2028届高二上学期第二次周考 数 学 试 题 （考试时间：90分钟 总分：116分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．在160和之间插入4个数，使这6个数成等比数列，则公比q的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为（    ） A．117 B．120 C．121 D．122 3．已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 （   ） A． B．12 C．21 D． 4．已知等差数列的公差为，其前项和为，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．中最大 D． 5．记为数列的前n项积，已知，则（    ） A．11 B．18 C．19 D．37 6．已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，为等差数列，为坐标原点，直线上三点，，满足，则（     ） A． B． C． D． 8．已知数列满足．给出下列四个结论： ①，有； ②若，，则； ③当时，数列为递减数列； ④当时，数列是等比数列． 其中所有正确结论的序号是（     ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.） 9．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列结论正确的有（     ） A．， B．当时，最小 C．使得成立的最小自然数 D． 10．记数列的前项和为，若，，则下列选项正确的有（    ） A．数列为等差数列 B． C． D．数列为周期数列 11．意大利著名数学家莱昂纳多•斐波那契（Leonardo Fibonacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，该数列的特点是：前面个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”.同时，随着趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618，因此又称“黄金分割数列”，其通项公式为，它是用无理数表示有理数数列的一个范例.记斐波那契数列为，其前项和为，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．已知为数列的前项和，若，则__________． 13．中国古代以“三分损益法”确定十二律管的长度，从“黄钟”出发，交替进行“损一”和“益一”操作，依次生得十二律管．记“黄钟”长度为，第次损益后得到的律管长度为，已知损益规则为：，则__________． 14．已知6个数为：1，2，4，8，16，29．将这6个数分为3组，每组2个数，使得每组的2个数之和构成一个项数为3且公差为的等差数列，则公差d的值可以为__________． 四、解答题（本题共3小题，共43分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.本小题1分 已知等差数列的前项和为，数列是各项均为正数的等比数列，且满足，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列，求数列的前项和． 16.本小题分 已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列．数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 17.本小题分 定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”.将数列进行“美好成长”，第一次得到数列；第二次得到数列；设第次“美好成长”后得到的数列为，并记. (1)求； (2)证明：； (3)求数列的前项和. 龙岩一中2028届高二上学期第二次周考数学参考答案 1-8：ACBD CAAB 9. BCD 10.AC 11.BCD 12． 13．（或） 14．10或11或17 7．【详解】因为，，三点在直线上，且， 所以.又因为为等差数列，所以 因为，所以. 所以.所以. .所以.所以. 8．【详解】①由递推式：  ，所以，有，① 正确； ② 若数列是常数列，则 ，代入递推式，解得或，并非只有，②错误； ③由，当，，可知，此时，数列递增； 当，，此时，数列递减，③错误； ④ 令，则，代入递推式，化简得，则， 因为，所以，即是以为首项，2为公比的等比数列，④ 正确. 10．【详解】令，则． 因为，所以．于是， 所以，即．所以是以为首项，公差为的等差数列． 所以，所以． 选项A：因为，所以为等差数列，所以A正确． 选项B：．因为时，所以不恒成立，B错误． 选项C：由，得． 而，所以，C正确． 选项D：随变化，对应的点分布在函数的图象上，不是周期数列，D错误． 11．【详解】选项A：可以发现， 因此我们归纳，猜想，事实上，，故A错误； ，， 选项B：计算可得，故B正确； 选项C：由及，，故，故C正确； 选项D：可以发现，，，归纳得到， 事实上， 故，故D正确.故选：BCD 14．【详解】6个数的和为， 设新数列首项为，公差为，项数为3. 则新数列的和为，化简得：. 所以可设新数列为：. 所以原6个数中必须有两个数之和为20，观察发现：. 剩下：1，2，8，29分成两组，一组和为，另一组和为. 由，，解得，经检验符合题意. 由，，解得，经检验符合题意. 由，，解得，经检验符合题意. 15．【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，，所以， 又，，所以，解得或（舍）， 所以等差数列的通项为，即， 等比数列的通项为，即；…………7分 （2）由（1）可得，，，所以， 所以 .…………13分 16．【详解】（1）在等差数列中，公差， ，，， 因为，，成等比数列， 所以，即， 解得，所以．…………6分 （2）因为，所以， 所以， ， 两式相减得 ， 所以．…………15分 17．【详解】（1）由题意得，；…………2分 (2)证明：由题意得 ， 即；…………6分 （3）由（1）（2）知，，整理得，又， 所以数列是首项为，公比为3的等比数列， 故，即， 所以， 所以.…………15分 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $