精品解析：福建省永定第一中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试题

永定一中2025级高一上学期第二次阶段测评 数学科试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的一个零点所在的区间可能是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点存在性定理即可求解. 【详解】由于均为上的单调递增函数，故在上单调递增， 因此至多有一个零点，由于，， 所以，即零点所在的区间是. 故选：B 2. 已知扇形的周长为12，圆心角的弧度是4，则该扇形的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】利用扇形的周长与圆心角求出扇形的半径，然后利用扇形的面积公式计算即可. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为，弧长为， 则周长为12得：， 所以扇形的面积为：. 故选：C. 3. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数单调性之间的关系进行求解即可. 【详解】由得或， 设，函数在为增函数， 此时增函数， 所以为增函数， 即单调增区间为. 故选：C. 4. 已知，则“”是“点在第一象限内”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】结合三角函数的想先符号判断即可. 【详解】若，则在第一或三象限， 则或，则点在第一或三象限， 若点在第一象限， 则，则. 故“”是“点在第一象限内”的必要不充分条件. 故选：B 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的性质，结合已知条件分析的取值范围，从而求解． 【详解】，底数， 对数函数单调递减， 又，， ，底数， 指数函数单调递增， 又，， ，底数， 指数函数单调递减， 又，． ， 故选：C． 6. 已知函数满足对任意，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由于函数满足对任意，都有成立， 所以在上单调递增， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：A 7. 已知函数的定义域为若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件推导出周期进而计算求解. 【详解】由，用代,得， 又，所以，得， 故的周期为, 所以. 故选：A． 8. 已知函数，若有另一函数有且仅有3个不同零点，则常数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分段函数的图象，来分析二次方程根的分布，最后利用根的分布可列参数满足的不等式，并进行求解即可. 【详解】作出函数的图象： 函数零点等价于方程， 当时，此时方程化为可得， 由，结合图象，可得方程仅有2个解，此时不满足题意；故； 当时，此时方程化为可得或， 由可得方程有一个解为， 由，结合图象，可得方程有个解，此时不满足题意；故； 所以要使得函数有且仅有3个不同零点，则满足， 由于 所以二次方程的根仅有一个满足，另一个根， 则满足或，解得， 综上的取值范围为， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合均为的子集，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，画出韦恩图，结合韦恩图和选项，逐一判断，即可得到答案. 【详解】因为集合 均为的子集，且， 画出韦恩图，如图所示： 结合图像：由，所以A正确；由 ，所以B错误； 由 ，所以C错误；由，所以D正确. 故选：AD. 10. 下列结论正确的是（     ） A. 是第三象限角 B. 若，则 C. 始边相同而终边不同的角一定不相等 D. 终边经过点的角的集合是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据角的定义即可求解ACD，根据齐次式即可求解B. 【详解】，是第二象限角，故A错误； 若，则，故B正确； 始边相同而终边不同的角一定不相等，故C正确； 终边经过点，该终边为第一象限的角平分线，即角的集合是，故D正确； 故选：BCD 11. 双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，且当时有，则下列选项正确的是（ ） A. B. 函数的最小值是0 C. 若对任意实数，不等式恒成立，则 D. ，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接验证A选项即可；求得，利用换元法求得的最小值判断B选项；分析函数的单调性与奇偶性，将不等式恒成立转化为在上恒成立，然后按照和分类讨论求解范围判断C选项；当时，由化简得出，由此可判断D选项. 【详解】对于A， ，所以，正确； 对于B， ， 令，当且仅当即时等号成立， 则，因为在上单调递增， 故时，有最小值为， 即函数的最小值是0，正确； 对于C，对任意的，，故函数的定义域为， ，即函数为奇函数， 任取、，且，则， 所以， 即，故函数为上的增函数，且为奇函数， 不等式上恒成立， 则， 函数为上的增函数，故在上恒成立， 即在上恒成立，当时，即，不合题意； 当时，由题意，解得，综上，错误； 对于D，， 当时，由整理可得， 即，故，正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则______ 【答案】 【解析】 【分析】利用奇函数得，进而求解. 【详解】由题意得，函数为奇函数，所以. 故答案为：. 13. 已知，则_______ 【答案】2 【解析】 【分析】根据诱导公式化简，即可利用弦切互化求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：2 14. 定义在上的函数满足：.已知当时，，若，则实数的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数的递推关系得到函数在其他区间上的表达式，结合函数图像可得到的最大值. 【详解】因为，且当时，， 故当时，； 当，时， ， 所以当，时，， 所以当时，， 当，时， ， 所以当，时，， 令，，所以， 所以当时，， 当时，， 所以当时，； 令， 化简得， 解得， 因为对任意，都有， 所以的最大值是， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求值： （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用对数的运算法则即可求解； （2）由，先求，再求，进而求解. 【详解】（1）原式； （2）由，则，即， 由，又，则， 故，故. 16. 在平面直角坐标系中，角以轴的正半轴为始边， （1）若是第二象限角，为其终边上一点，且，求值； （2）若终边与单位圆交于第四象限内的点，，求的值及的坐标. 【答案】（1）； （2），. 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义求解即可； （2）利用商数关系和平方关系，结合角所在象限求三角函数值即可. 【小问1详解】 依题意，，且，解得，则. 【小问2详解】 法1：， 因为①，两边平方得，即， 所以， 由角终边位于第四象限，得，， 所以②， 由①②解得：，，所以点P的坐标为. 法2：由角终边位于第四象限，得，， 因为①，且②， 由①②可得：，即， 整理得，解得，则. 所以 点P的坐标为. 17. 二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）在区间上，的图像恒在的图像的下方，试确定实数n的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数类型设，结合已知等式代入比较系数的的值，从而得的解析式； （2）将问题转化为则，恒成立，即，设，根据二次函数性质确定单调性得最值从而确定实数n的取值范围. 【小问1详解】 由于二次函数，则设， 所以， 又， 所以，即，解得， 所以； 【小问2详解】 若在区间上，的图像恒在的图像的下方， 则，恒成立， 所以，即， 设， 由于，所以在单调递减，在单调递增， 又，所以，故， 所以实数n的取值范围为. 18. 为了振兴乡村经济，某地政府利用电商平台为乡村进行直播带货，既方便了人们购物和交流，又有效地解决了农产品销售困难的问题．为了支持家乡的发展，越来越多的人注册成为某电商平台的会员进行购物和交流．已知该平台建立前3年的会员人数如下表所示： 建立平台年数x 1 2 3 会员人数y（千人） 14 20 29 为了描述建立平台年数与该平台会员人数（千人）的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③． （1）根据表中数据选出最恰当的函数模型，并说明理由，同时求出该函数的解析式； （2）根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立年的会员人数将超过2002千人，求的最小值． 参考数据：，，． 【答案】（1）选择模型③，理由见解析，， （2）14 【解析】 【分析】（1）根据表中数据，函数为增函数，增长速度越来越快，故选择模型③，代入数据列方程组可得； （2）由得，利用对数的运算可得，进而可得. 【小问1详解】 从表中数据可知，所选函数必须满足两个条件：增函数，增长速度越来越快． 因为模型①为减函数，模型②增长速度越来越慢，所以不能选择模型①和②，模型③符合两个条件，所以选择模型③． 将数据代入可得，解得 所以，函数为，． 【小问2详解】 由（1）知， 则．得， 故t的最小值为14． 19. 若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“阶自伴函数”. （1）判断是否为区间上的“阶自伴函数”，并说明理由； （2）若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的最小值； （3）若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围. 【答案】（1）不是，详见解析； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取，根据“阶自伴函数”的定义判断； （2）根据函数为区间上的“1阶自伴函数”，得到，从而化简得到，则，再根据“1阶伴随函数”的定义得到，从而有，然后利用基本不等式求解； （3）由是在区间上的“2阶伴随函数”，得到，且在区间上的值域必定包含区间，的值域所对应的自变量唯一求解. 【小问1详解】 解：，， 当时，，则， 所以，则， 即，但， 故不是区间上的“阶自伴函数”； 【小问2详解】 函数为区间上的“1阶自伴函数”， 则，，所以， 则， 因为任意的，总存在唯一的，使成立， 所以， 则，即， 又，所以， 所以， ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 【小问3详解】 因为是在区间上的“2阶伴随函数”， 所以， 则在区间上的值域必定包含区间， 且的值域所对应的自变量唯一， 当时，在上递增， 则 ，解得 ； 当时，在上递减， 则，解得 ； 当时，在上递减，在上递增， 则，解得 ； 当时，在上递减，在上递增， 则 ，解得 ， 当时，不合题意，舍去； 综上：a的取值范围是： . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永定一中2025级高一上学期第二次阶段测评 数学科试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的一个零点所在的区间可能是（    ） A. B. C. D. 2. 已知扇形的周长为12，圆心角的弧度是4，则该扇形的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 3. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则“”是“点在第一象限内”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数满足对任意，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若有另一函数有且仅有3个不同零点，则常数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合均为的子集，若，则（    ） A. B. C. D. 10. 下列结论正确的是（     ） A. 是第三象限角 B. 若，则 C. 始边相同而终边不同的角一定不相等 D. 终边经过点角的集合是 11. 双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，且当时有，则下列选项正确的是（ ） A B. 函数的最小值是0 C. 若对任意实数，不等式恒成立，则 D. ，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则______ 13. 已知，则_______ 14. 定义在上的函数满足：.已知当时，，若，则实数的最大值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 （1）求值： （2）已知，求的值. 16. 在平面直角坐标系中，角以轴的正半轴为始边， （1）若是第二象限角，为其终边上一点，且，求的值； （2）若终边与单位圆交于第四象限内点，，求的值及的坐标. 17. 二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）在区间上，的图像恒在的图像的下方，试确定实数n的取值范围. 18. 为了振兴乡村经济，某地政府利用电商平台为乡村进行直播带货，既方便了人们购物和交流，又有效地解决了农产品销售困难的问题．为了支持家乡的发展，越来越多的人注册成为某电商平台的会员进行购物和交流．已知该平台建立前3年的会员人数如下表所示： 建立平台年数x 1 2 3 会员人数y（千人） 14 20 29 为了描述建立平台年数与该平台会员人数（千人）的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③． （1）根据表中数据选出最恰当的函数模型，并说明理由，同时求出该函数的解析式； （2）根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立年的会员人数将超过2002千人，求的最小值． 参考数据：，，． 19. 若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“阶自伴函数”. （1）判断是否为区间上的“阶自伴函数”，并说明理由； （2）若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的最小值； （3）若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $