福建省永定第一中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试题

永定一中2025级高一上学期第二次阶段测评 数学科试卷参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.【答案】B 【详解】由题设，函数单调递增，，，，所以，零点所在的区间可能是故选：B 2.【答案】C 【解析】设扇形的半径为，圆心角为，弧长为， 则周长为12得：，所以扇形的面积为：. 故选：C. 3．【答案】C 【详解】由得或，设，函数在为增函数，此时为增函数，所以为增函数，即的单调增区间为.故选：C. 4.【答案】B 【解析】若，则在第一或三象限， 则或，则点在第一或三象限， 若点在第一象限，则，则. 故“”是“点在第一象限内”的必要不充分条件. 故选：B 5．【答案】C 【解析】，底数，对数函数单调递减， 又，，，底数， 指数函数单调递增，又，， ，底数，指数函数单调递减， 又，．， 故选：C． 6．【答案】A 【详解】函数满足对任意，都有成立， 所以在上单调递增，所以，解得，所以的取值范围是.故选：A 7.A 【详解】由，用代替，得，又，所以，得，故的周期为2，所以. 故选：A. 8．【答案】D 【解析】作出函数的图象： 函数的零点等价于方程， 当时，此时方程化为可得， 由，结合图象，可得方程仅有2个解，此时不满足题意；故； 当时，此时方程化为可得或， 由可得方程有一个解为， 由，结合图象，可得方程有个解，此时不满足题意；故； 所以要使得函数有且仅有3个不同零点，则满足， 由于 所以二次方程的根仅有一个满足，另一个根， 则满足或，解得， 综上的取值范围为， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．【答案】AD 【详解】因为集合 均为的子集，且， 画出韦恩图，如图所示：结合图像：由，所以A正确；由 ，所以B错误； 由 ，所以C错误；由，所以D正确. 故选：AD. 10．【答案】BCD 【详解】，是第二象限角，故A错误； 若，则，故B正确； 始边相同而终边不同的角一定不相等，故C正确； 终边经过点，该终边为第一象限的角平分线，即角的集合是，故D正确； 故选：BCD 11．【答案】ABD 【详解】对于A， ，所以，正确； 对于B， ， 令，当且仅当即时等号成立， 则，因为在上单调递增， 故时，有最小值为， 即函数的最小值是0，正确； 对于C，对任意的，，故函数的定义域为， ，即函数为奇函数， 任取、，且，则， 所以， 即，故函数为上的增函数，且为奇函数， 不等式在上恒成立，则， 函数为上的增函数，故在上恒成立， 即在上恒成立，当时，即，不合题意； 当时，由题意，解得，综上，错误； 对于D，， 当时，由整理可得， 即，故，正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 【答案】-6 【详解】 由题意得，函数为奇函数，所以. 13.【答案】2 【详解】因为， 所以. 14.【答案】 【解析】因为，且当时，， 故当时，； 当，时， ， 所以当，时，， 所以当时，， 当，时， ， 所以当，时，， 令，，所以，所以当时，， 当时，，所以当时，； 令，化简得， 解得，因为对任意，都有，所以的最大值是， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【详解】（1）原式； （2）由，则，即， ，又，则，故，故. 16．（15分） 【解析】（1）依题意，，且， 解得，则； （2）法1：， 因为，① 所以两边平方得，即， 所以， 由角终边位于第四象限，得，， 所以，② 由①②解得：，，所以点P的坐标为. 法2：由角终边位于第四象限，得，， 因为，① 且，② 所以由①②解得：，， 所以 点P的坐标为. 17.【详解】 （1）由于二次函数，则设， 所以， 又，所以，即，解得， 所以； （2）若在区间上，的图像恒在的图像的下方， 则，恒成立，所以，即， 设， 由于，所以在单调递减，在单调递增， 又，所以，故， 所以实数n的取值范围为. 18．【解析】（1）从表中数据可知，所选函数必须满足两个条件：增函数，增长速度越来越快．因为模型①为减函数，模型②增长速度越来越慢，所以不能选择模型①和②，模型③符合两个条件，所以选择模型③．（2分） 将数据代入可得，解得 所以，函数为，．（8分） （2）由（1）知， 则．得，（10分） 故t的最小值为14．（17分） 19．【解析】（1），， 当时，，则， 所以，则，即，但， 故不是区间上的“阶自伴函数”； （2）函数为区间上的“1阶自伴函数”， 则，，所以， 则，因为任意的，总存在唯一的，使成立，所以，则，即， 又，所以， 所以， ， ， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为. （3）因为是在区间上的“2阶伴随函数”， 所以，则在区间上的值域必定包含区间，且的值域所对应的自变量唯一， 当时，在上递增， 则 ，解得 ； 当时，在上递减， 则，解得 ； 当时，在上递减，在上递增， 则，解得 ； 当时，在上递减，在上递增， 则 ，解得 ， 当时，不合题意，舍去； 综上：a的取值范围是： . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 永定一中2025级高一上学期第二次阶段测评 数学科试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的一个零点所在的区间可能是（     ） A． B． C． D． 2．已知扇形的周长为12，圆心角的弧度是4，则该扇形的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 3．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则“”是“点在第一象限内”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5．已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数满足对任意，都有成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7.已知函数的定义域为，，若，则（ ） A. B. C. D. 8．已知函数，若有另一函数有且仅有3个不同零点，则常数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知集合均为的子集，若，则（ ） A． B． C． D． 10．下列结论正确的是（     ） A．是第三象限角 B．若，则 C．始边相同而终边不同的角一定不相等 D．终边经过点的角的集合是 11．双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，且当时有，则下列选项正确的是（   ） A． B．函数的最小值是0 C．若对任意实数，不等式恒成立，则 D．，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是定义在上的奇函数，当时，，则 13．已知，则 14．定义在上的函数满足：.已知当时，，若，则实数的最大值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） (1)求值： (2)已知，求的值. 16.（15分） 在平面直角坐标系中，角以轴的正半轴为始边。 （1）若是第二象限角，为其终边上一点，且，求的值； （2）若角的终边与单位圆交于第四象限内的点，且，求的值及点的坐标. 17. （15分） 二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）在区间上，的图像恒在的图像的下方，试确定实数n的取值范围. 18．（17分） 为了振兴乡村经济，某地政府利用电商平台为乡村进行直播带货，既方便了人们购物和交流，又有效地解决了农产品销售困难的问题．为了支持家乡的发展，越来越多的人注册成为某电商平台的会员进行购物和交流．已知该平台建立前3年的会员人数如下表所示： 为了描述建立平台年数与该平台会员人数（千人）的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③． (1)根据表中数据选出最恰当的函数模型，并说明理由，同时求出该函数的解析式； (2)根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立年的会员人数将超过2002千人，求的最小值． 参考数据：，，． 19．（17分） 若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“阶自伴函数”. （1）判断是否为区间上的“阶自伴函数”，并说明理由； （2）若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的最小值； （3）若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $