福建省龙岩第一中学2026-2027学年高二上学期第一次周考数学试题

**基本信息** 以数列为核心，融入《九章算术》“竹九节”、斐波那契数列等文化与创新情境，覆盖等差数列定义、求和及递推关系，适配高二周测巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|等差数列基本量计算|第6题以《九章算术》为背景，第8题结合几何点列考等差数列判定，体现数学眼光与几何直观| |多选题|3/18|数列性质与创新数列|第10题引入斐波那契数列，考递推与求和，培养数学思维与推理意识| |填空题|3/15|递推数列与最值|第14题考等差数列参数最值，需符号运算与逻辑推理| |解答题|3/43|综合证明与新定义|第17题以“M_n”新定义考充要条件，融合数列单调性与推理，发展创新意识与数学语言表达|

龙岩一中2028届高二上学期第一次周考 数 学 试 题 （考试时间：90分钟 总分：116分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.数列满足，则等于(    ) A. B. C. D. 2.已知数列为等差数列，且，，则(    ) A. B. C. D. 3.已知数列为递增的等差数列，若，则的公差为(    ) A. B. C. D. 4.已知等差数列的前项和为，若，，则的公差为(    ) A. B. C. D. 5.数列满足，则(    ) A. B. C. D. 6.九章算术“竹九节”问题：现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面节的容积共升，下面节的容积共升，则第节的容积为(    ) A. 升 B. 升 C. 升 D. 升 7.已知数列满足，，则等于(    ) A. B. 或 C. 或 D. 8.如图，点列，分别在某锐角的两边上，且，，，，，，表示点与不重合若，为的面积，则(    ) A. 是等差数列 B. 是等差数列 C. 是等差数列 D. 是等差数列 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.） 9.下列说法中，正确的有(    ) A. 数列的通项，则中最大项为第项； B. 已知数列中，，那么是这个数列的第项 C. 已知数列，，且，则； D. 已知，则数列是递增数列． 10.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，，，，，，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和．后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 11.若，，均不为是等差数列，则下列说法正确的是(    ) A. ，，一定成等差数列 B. ，，可能成等差数列 C. ，，一定成等差数列 D. ，，可能成等差数列 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.已知数列，，，则          ． 13.在数列中，，且，则          ． 14.若等差数列，，，满足，则的最大值为          ． 四、解答题（本题共3小题，共43分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.本小题1分在各项均为正数的数列中，． 当时，求与的值 求证：当时，． 16.本小题分记为数列的前项和，且，． 证明：数列是等差数列 求数列的通项公式． 17.本小题分 若无穷数列前项中的最大值为，最小值为，令． 若，请写出，，的值 求证：“数列是递增的等差数列”是“数列是递增的等差数列”的充要条件． 龙岩一中2028届高二上学期第一次周考 数 学参考答案 1-8：ADDCB CCA 8.设锐角的顶点为，再设，，，，由于，不确定，和不一定是等差数列，设的底边上的高为，运用三角形相似知识，，由，可得，进而得到数列为等差数列． 【解答】解：设锐角的顶点为，，， ，， 由于，不确定，则不一定是等差数列，不一定是等差数列， 设的底边上的高为，由三角形的相似可得， ，两式相加可得，， 即有，由，可得， 即为，则数列为等差数列． 另解：可设，，，为直角三角形， 且，，，为直角边，即有，由，可得， 即为，则数列为等差数列． 9.  10. 对于，由，得，即，所以，故正确；对于，由可得，故正确． 11. 解：对于，令，，，则，，， 不满足，所以，，不成等差数列，故A错误； 对于，令，则，满足，故B正确； 对于，，，成等差数列，，， 即，，，一定成等差数列，故C正确； 对于，令，则，满足，故D正确． 12.  13.  14.  解：为等差数列，则使，所以数列中的项一定有正有负，不妨设， 因为为定值，故设，则，解得． 若且，，则，同理若，，则． 所以，所以数列的项数，，且，所以 ，由于，所以，故， 15.【解】因为，所以，所以，得． 又，所以，得．因为，，所以． 要证当时，，由题意，故只需证， 即证，．整理得，则需证，． 当时，由题意，则， 当且仅当时，等号成立，得证．所以当时，．  16.解：因为，所以 ，又，所以数列是首项为，公差为的等差数列； 由得，所以， 当时，；当且时，， 又不适合上式，故数列的通项公式为．  17.由，得，，， 则，，，，，， 又，所以，，． 证明：充分性当数列是递增的等差数列时， 设其公差为，则，，于是，， 则，，所以数列是递增的等差数列 必要性当数列是递增的等差数列时，设其公差为，则， 则， 若，则，，，矛盾， 若，则，，，矛盾， 因此，此时， 故， 所以数列是递增的等差数列． 综上，“数列是递增的等差数列”是“数列是递增的等差数列”的充要条件．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $