福建省龙岩第一中学2026-2027学年高一上学期周测数学试题（8.24）

**基本信息** 龙岩一中高一上学期周考数学试卷聚焦集合与代数基础，通过基础题巩固集合运算、因式分解等核心概念，创新题如“平方集”新定义问题培养抽象思维与推理能力，适配周测分层检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合交并补、元素互异性、因式分解|基础概念辨析，如集合相等求参数值| |多选题|3/18|一元二次方程根的判别、集合关系|多条件推理，如方程根与系数关系判断| |填空题|3/15|子集个数、因式分解、伙伴关系集合|情境化概念应用，如子集个数与元素关系| |解答题|5/77|集合运算、新定义（平方集）、方程解的讨论|分层设计，第19题新定义证明体现创新思维与逻辑推理|

2029届龙岩一中高一上学期周考数学试卷（20260824） （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，集合，则(    ) A. B. C. D. 2.已知集合，，若，则实数a的值为(    ) A. 0 B. 1 C. 1或3 D. 3 3.设集合，则满足的集合B的个数是    A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 4.小亮在计算时，错把括号内的减号写成了加号，那么正确结果与错误结果的乘积是(    ) A. B. C. D. 无法计算 5.下列因式分解不正确的是(    ) A. B. C. D. 6.下列运算结果正确的是(    ) A. B. C. D. 7.已知集合，若，则M中所有元素之和为(    ) A. 3 B. 1 C. D. 8.若集合中恰有6个整数元素，则实数a的取值范围为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.对于一元二次方程下列结论：若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；若，，则方程一定有两个不相等的实数根；若，则方程一定有两个不相等的实数根；若，且，则方程两个实数根一定互为相反数．以上结论正确的有(    ) A. B. C. D. 10.已知a为实数，若集合R，R，且，则实数a的值可以是(    ) A. 6 B. 0 C. 2 D. 11.下列各组中M，P表示不同集合的是    A. ， B. ， C. R，R D. R，R 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12分解因式： =       ． =    . 13.已知集合，若集合M有8个子集，则实数a的取值范围为          . 14.若，则，就称A是“伙伴关系”集合，集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（本小题13分）实数，分别满足，，且，求的值．  16.本小题15分 设全集，集合，集合 若，求，； 若，求实数a的取值范围. 17.本小题15分 已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围. ；   恰有两个子集；   18（本小题17分）分解因式： ； ． 19. 本小题17分 已知正实数集，定义：称为A的平方集.记为集合A中的元素个数. 若，求集合和； 若，求； ①分别取1，2，3时，试比较和的大小关系； ②猜想和的大小关系，并证明你的结论. 2029届龙岩一中高一上学期周考一数学试卷参考答案（20260824） 1. B 2.D 3.C 4.C．5.D 6.C 7.C 8.B  9.BCD 10.ABC 11.ABD  12（1）(2x+1)(2x+3)．（2）(-3x+2)(x+3). 13. 14.3  15.（本小题13分）实数，分别满足，，且，求的值． 解：由题可知，和是的两个根，所以，，.......6分 所以； .........13分. 16.本小题15分 设全集，集合，集合 若，求，； 若，求实数a的取值范围. 解：因为，所以 所以， 因为，所以或， 所以；.........7分 因为，①当时，，解得； ②当时，则，无解， 综上所述，实数a的取值范围是 .........15分 17.本小题15分已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围.；  恰有两个子集；   解：若，则关于x的方程没有实数解，则， 且，所以； .........3分 若A恰有两个子集则A为单元素集，所以关于x的方程恰有一个实数解， 讨论：①当时，，满足题意； ②当时，，所以 综上所述，或；.........9分 若， 则关于x的方程在区间内有解， 这等价于当时，求的取值范围，.........15分 18（本小题17分）分解因式： ； ． (1)解：原式； ........8分 (2)原式. .........17分 19（本小题17分） 已知正实数集，定义：称为A的平方集.记为集合A中的元素个数. 若，求集合和； 若，求； ①分别取1，2，3时，试比较和的大小关系； ②猜想和的大小关系，并证明你的结论. 解：由集合新定义中元素为A中任意两个元素的乘积，去除重复的元素， 可得， .........4分 由可得，，，， 若，要得到，就要，全部互质， 当A中所有元素互质的时候，从集合A中任取两个元素做乘积，共有个， 每个元素自身取平方共有个，此时共有个，他们构成了， ， 即，解得或舍去， 所以若，则.........10分 当时，，，； 当时： 若两个数不互质，如，，，， ； 若两个数互质，如，，，， ； 综上，； 当时，设，中最多有，6个元素， 此时， 若时，有5个元素，此时，所以， 证明：当，2，3时，由①可知成立； 若考虑互质，当时，从集合A中任取两个元素做乘积，共有个， 每个元素自身取平方共有个，此时共有个， 它们构成了， 所以作差可得， 由二次函数的性质可得当时，上式大于零， 若不考虑互质时，当且仅当，，，时， 此时中有个元素，， 综上 .........17分 原 2029届龙岩一中高一上学期周考一数学试卷（20260824） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，集合，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：集合，集合， 则 故选： 接好运集合交集运算即可求解． 本题主要考查了集合交集运算，属于基础题． 2.已知集合，，若，则实数a的值为(    ) A. 0 B. 1 C. 1或3 D. 3 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查了集合相等的定义，属于基础题． 根据集合相等的定义求解． 【解答】 解：因为集合，，且， 所以， 解得， 此时，，符合题意． 故选： 3.设集合，则满足的集合B的个数是    A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C  【解析】【分析】 本题考察并集运算，属于基础题. 先求出A，再利用并集运算列举出 【解答】 解：易知，而，故B可以是 故选 4.小亮在计算时，错把括号内的减号写成了加号，那么正确结果与错误结果的乘积是(    ) A. B. C. D. 无法计算 【答案】C  【解析】正确结果：原式， 错误结果：原式 ， ，故选C． 5.下列因式分解不正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：，故选项A分解正确； ，故选项B分解正确； ，故选项C分解正确； ，故选项D分解错误． 故选：． 利用提公因式法、公式法逐个分解得结论． 本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键． 6.下列运算结果正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】A.，故该选项错误； B.，故该选项错误； C.，故该选项正确； D.，故该选项错误． 7.已知集合，若，则M中所有元素之和为(    ) A. 3 B. 1 C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了元素与集合的关系，集合三要素中的互异性，属于基础题． 利用元素和集合的关系分类讨论并验证求解． 【解答】 解：若，则，不满足集合的互异性，舍去． 若，则，不满足集合的互异性，舍去． 若，则，或，由可知不合题意， 当时，，此时，故M中所以元素之和为 故选： 8.若集合中恰有6个整数元素，则实数a的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】若集合中恰有6个整数元素， 则解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为2，最大整数元素可以为6或7或 因为集合中恰有6个整数元素， 所以只能为， 所以解得， 故实数a的取值范围为 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.对于一元二次方程下列结论：若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；若，，则方程一定有两个不相等的实数根；若，则方程一定有两个不相等的实数根；若，且，则方程两个实数根一定互为相反数．以上结论正确的有(    ) A. B. C. D. 【答案】BCD  【解析】解：由可以得到或或， 或或， 即存在或或的三种情况． 方程可能无实数根或有两个相等实数根或两个不相等的实数根．也可取特值判断，错误，不符合题意； 若，， 则， ， 则， 方程有两个不相等的实数根．正确，符合题意； 若， ，， ， 方程有两个不相等的实数根．正确，符合题意； 若，则，方程有两个不相等的实数根． ，，两根一定互为相反数．正确，符合题意； 故选BCD． 10.已知a为实数，若集合R，R，且，则实数a的值可以是(    ) A. 6 B. 0 C. 2 D. 【答案】ABC  【解析】由，解得或，则 当时，，满足 当时，，则， 若，则或， 所以或 综上，实数a的值可以是0，2，6， 故选 11.下列各组中M，P表示不同集合的是    A. ， B. ， C. R，R D. R，R 【答案】ABD  【解析】略 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12分解因式：=       ． =        13.已知集合，若集合M有8个子集，则实数a的取值范围为          . 【答案】  【解析】【分析】 本题考查集合中子集个数问题，属于基础题. 若集合中有n个元素，则子集个数为，依此解题. 【解答】 解：因为集合M有8个子集，所以集合M中包含3个元素，所以，所以，则实数a的取值范围为 14.若，则，就称A是“伙伴关系”集合，集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是          . 【答案】3  四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（本小题13分）实数，分别满足，，且，求的值． 【答案】  【解析】解：由题可知，和是的两个根， 所以，， 所以； 故答案为：．   16.本小题15分 设全集，集合，集合 若，求，； 若，求实数a的取值范围. 【答案】解：因为， 所以 所以， 因为，所以或， 所以； 因为， ①当时，， 解得； ②当时，则，无解， 综上所述，实数a的取值范围是  【解析】本题主要考查交并补混合运算，含参数的集合关系的问题，属于基础题． 根据并集与交集，补集的概念直接计算； 根据集合间的包含关系，列不等式，解不等式即可． 17.本小题15分 已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围. ；   恰有两个子集；   【答案】解：若，则关于x的方程没有实数解，则， 且，所以；  若A恰有两个子集，则A为单元素集， 所以关于x的方程恰有一个实数解， 讨论：①当时，，满足题意； ②当时，，所以 综上所述，或； 若， 则关于x的方程在区间内有解， 这等价于当时，求的取值范围，   【解析】本题考查空集的概念、子集的个数问题以及含参数的集合运算问题，综合性较强，属于拔高题． 若，则关于x的方程没有实数解，则，由此能求出实数m的取值范围． 若A恰有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程恰有一个实数解，分类讨论能求出实数m的取值范围． 若，则关于x的方程在区间内有解，这等价于求，时的取值范围． 18（本小题17分）分解因式： ； ． 【答案】(1)解：原式；  (2)原式.  20. 本小题17分 已知正实数集，定义：称为A的平方集.记为集合A中的元素个数. 若，求集合和； 若，求； ①分别取1，2，3时，试比较和的大小关系； ②猜想和的大小关系，并证明你的结论. 【答案】解：由集合新定义中元素为A中任意两个元素的乘积，去除重复的元素， 可得， 由可得，，，， 若，要得到，就要，全部互质， 当A中所有元素互质的时候，从集合A中任取两个元素做乘积，共有个， 每个元素自身取平方共有个，此时共有个，他们构成了， ， 即，解得或舍去， 所以若，则 当时，，，； 当时： 若两个数不互质，如，，，， ； 若两个数互质，如，，，， ； 综上，； 当时，设，中最多有，6个元素， 此时， 若时，有5个元素，此时，所以， 证明：当，2，3时，由①可知成立； 若考虑互质，当时，从集合A中任取两个元素做乘积，共有个， 每个元素自身取平方共有个，此时共有个， 它们构成了， 所以作差可得， 由二次函数的性质可得当时，上式大于零， 若不考虑互质时，当且仅当，，，时， 此时中有个元素，， 综上  【解析】本题考查集合的新定义问题，属于较难题． 由集合新定义直接求出即可； ，全部互质时，由，求出即可； ①时直接证明即可；和分为互质与否可得到；②考虑互质与否，结合集合新定义与二次函数的关系可证明． 学科网（北京）股份有限公司 $