精品解析：福建省永定第一中学2025-2026学年高一上学期数学模拟试题（二）

高一上学期数学模拟试卷（二） 一、单选题 1. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定定义可判断. 【详解】由题意得，为，. 故选：A 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式即可得到答案. 【详解】 . 故选：D. 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性即可求解. 【详解】由于，故， 由于，故， 由于，故， 因此， 故选：D 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则或， 若，则， 所以“”是“”的必要不充分条件； 故选：B 5. 函数的零点所在的大致区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出各个区间端点的符号，再利用零点存在性定理即可求解． 【详解】因为当接近于1时，趋向于， ， ， ， ， 所以零点所在的大致区间为， 故选：B． 6. 已知函数的大致图象如图，则函数的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由奇偶性、特殊点法及排除法进行判断即可. 【详解】由函数的图象可知，函数是奇函数． 对于B：，此时为偶函数，与图象不符，故B错误； 对于C：当时，，与图象不符，故C错误； 对于D：，此时为偶函数，与图象不符，故D错误； 由排除法可知A正确， 故选：A. 7. 我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率的公式，其中是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中叫做信噪比．根据此公式，在不改变的前提下，将信噪比从99提升至，使得大约增加了60%，则的值大约为（ ）（参考数据：） A. 1559 B. 3943 C. 1579 D. 2512 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可得的方程，再由对数的运算性质求解即可． 【详解】由题意得：， 则，， 故选：C 8. 已知函数，，其中表示，二者中的较大值，设，且对任意的，均存在，使得成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助指数函数、对数函数单调性求出函数在上的值域，再利用二次函数性质求出分段求出函数在上的值域，然后由值域的包含关系求出的范围即可. 【详解】函数在上分别单调递减和单调递增， 则函数在上单调递减，而， 因此当时，，此时， 当时，，此时， 则函数在上的值域为； 由对任意的，均存在，使得成立， 则函数在上的值域是函数在上的值域的子集， 函数图象开口向下，对称轴为，，，而， 当时，，则； 当时，，则； 当时，， 因此，解得， 综上，实数的取值范围是，所以实数的最小值为. 故选：A 二、多选题 9. 下列函数与是同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BC 【解析】 【分析】函数与是同一个函数的充要条件是定义域与对应法则均相同，据此逐一判断各个选项即可得解. 【详解】因为的定义域为R，的定义域为，所以与不是同一个函数，A错误； 与的定义域均为，且，所以与是同一个函数，B正确； 因为与的定义域均为，且，所以与是同一个函数，C正确； 因为的定义域为R，的定义域为，所以与不是同一个函数，D错误． 故选：BC. 10. 已知正数满足，则（　　） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据基本不等式及条件，可得，化简变形，可判断B、C的正误；结合对数的运算性质，可判断A的正误；根据“1”的代换法，化简计算，可判断D的正误. 【详解】选项A：由题意，所以，当且仅当时取等号， 所以，故A正确； 选项B：，故B错误； 选项C：， 所以，故C正确； 选项D：， 当且仅当，即时取等号，故D错误. 故选：AC 11. 已知函数的定义域为，，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 若，则 D. 若时，是连续单调递减函数，则当时，不等式的解集是 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，求得，可判定A正确；令，求得，再令，得到，可判定B错误；令，求得，可判定C正确；把不等式转化为，得到，结合函数的单调性，列出不等式组，可判定D正确. 【详解】由题意知，函数的定义域为，且满足， 对于A，令，可得，可得，所以A正确； 对于B，令，可得，可得， 再令，可得，所以为奇函数，所以B错误； 对于C，令，，可得， 解得，所以C正确； 对于D，因为，由，可得， 又因为，所以，所以， 所以不等式，即为，即 因为时，为递减函数，所以，解得，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 已知，则________. 【答案】##0.6 【解析】 【分析】根据诱导公式，化简整理，即可得答案. 【详解】因为，所以. 13. 已知一扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，若扇形周长为20，当这个扇形的面积最大时，则圆心角______弧度． 【答案】. 【解析】 【分析】由题意得到，求得扇形的面积，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，且扇形周长为20， 可得，即， 则扇形的面积， 当时，扇形面积取得最大值，此时. 故答案为：. 14. 已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式与辅助角公式对原函数进行化简，根据函数有两个零点列不等式即可求出答案. 【详解】由题意可得， 令，解得， 因为，所以， 因为在上恰有两个零点，所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）利用交集和并集的定义即可求解； （2）结合补集运算以及子集的定义，利用数轴讨论即可得解. 【小问1详解】 当时， ∴，. 【小问2详解】 ∵或，又， ∴或 解得或. 16. 已知是方程的根. （1）求的值； （2）若是第三象限角，，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求，再利用诱导公式即可求解； （2）由，利用同角三角函数平方关系求，再由求出，最后利用两角和的正弦公式即可求解. 【小问1详解】 由，解得或， 因为是方程的根，所以，（舍）， 所以； 【小问2详解】 因为是第三象限角且，所以， ∵，∴，∵，∴，∴， . 17. 某景区联合生产厂家推出了一套该景区的特色文化纪念品，并将所获利润全部用于景区的体育设施建设．据调查，当每套纪念品的售价定为元时，年销售量可达到万套．每套纪念品的成本分为固定成本和浮动成本两部分，其中固定成本为40元，浮动成本（单位：元）与年销售量（单位：万套）成反比，比例系数为20．不计其他成本，即销售每套纪念品的利润售价成本． （1）当每套纪念品的售价为元时，年利润是多少万元？ （2）写出每套的利润关于售价的函数解析式，并写出的定义域． （3）每套纪念品的售价为多少元时，单套的利润最大？最大是多少元？ 【答案】（1）万元 （2）． （3）元，最大为元 【解析】 【分析】（1）根据条件，求出年销量和成本，即可求解； （2）根据条件得每套纪念品的成本为，即可求出，再根据实际问题的意义，即可求出定义域； （3）由（2）得，再利用基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 当每套纪念品的售价为60元时，年销售量为（万套）， 每套纪念品的成本为（元）， 所以年利润为（万元）． 【小问2详解】 由题可知年销售量大于0，每套纪念品的成本为元． 由，可得， 所以． 【小问3详解】 由（2）可得， ， 当且仅当，即时取等号， 所以每套纪念品的售价为70元时，单套的利润最大，最大为20元． 18. 已知函数． （1）求的值； （2）求在上的值域； （3）将函数的图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接代入即可求解， （2）在已知x的取值范围的情况下，通过分析的范围，进而得出函数的值域. （3）根据三角函数图象的伸缩变换得到，通过换元构造函数，令，再将进行化简，参变分离，转化为对任意的恒成立，利用基本不等式求a的取值范围. 【小问1详解】 【小问2详解】 时，，故． 即在上的值域为． 【小问3详解】 将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到函数，则 ， 令，因为，所以. 则不等式对任意的恒成立，等价于对任意的恒成立， 即对任意的恒成立. 整理得，因为，所以， 则； 令，，，， 由于，故，则， 因此， 当且仅当，即时取到等号， 所以.所以， 即实数的取值范围是. 19. 已知函数 （1）若，判断函数在上的单调性（无需证明），并求在上的值域； （2）若关于的方程恰有三个不等实根，且. （i）求的值； （ii）求的最大值.（参考公式：） 【答案】（1）在上单调递减， （2）（i）4（ii）7 【解析】 【分析】（1）先判断函数的单调性，进而求出值域. （2）（i）构造函数，判断该函数的对称轴，从而证明结论；（ii）根据（i）中的结论列出的表达式，进而可化简所求式子，最后根据二次函数的性质求出最大值即可. 【小问1详解】 若， 因为函数和均在上单调递减， 所以函数在上单调递减，故，值域为. 【小问2详解】 （i）证明：， 显然：当时，， 由于方程有三个不等实根，所以必有， 令，则，即. 显然有，由 得到，所以函数关于直线对称， 由，可得：， （ii）由得：，由（i）得：， 于是，令 当且仅当时等号成立，故的最大值为7. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一上学期数学模拟试卷（二） 一、单选题 1. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. （ ） A. B. C. D. 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的零点所在的大致区间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的大致图象如图，则函数的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 7. 我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率的公式，其中是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中叫做信噪比．根据此公式，在不改变的前提下，将信噪比从99提升至，使得大约增加了60%，则的值大约为（ ）（参考数据：） A. 1559 B. 3943 C. 1579 D. 2512 8. 已知函数，，其中表示，二者中的较大值，设，且对任意的，均存在，使得成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列函数与是同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 已知正数满足，则（　　） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 若，则 D. 若时，是连续单调递减函数，则当时，不等式的解集是 三、填空题 12. 已知，则________. 13. 已知一扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，若扇形周长为20，当这个扇形的面积最大时，则圆心角______弧度． 14. 已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是______. 四、解答题 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若，求a的取值范围． 16. 已知是方程的根. （1）求的值； （2）若是第三象限角，，，求的值. 17. 某景区联合生产厂家推出了一套该景区的特色文化纪念品，并将所获利润全部用于景区的体育设施建设．据调查，当每套纪念品的售价定为元时，年销售量可达到万套．每套纪念品的成本分为固定成本和浮动成本两部分，其中固定成本为40元，浮动成本（单位：元）与年销售量（单位：万套）成反比，比例系数为20．不计其他成本，即销售每套纪念品的利润售价成本． （1）当每套纪念品的售价为元时，年利润是多少万元？ （2）写出每套的利润关于售价的函数解析式，并写出的定义域． （3）每套纪念品的售价为多少元时，单套的利润最大？最大是多少元？ 18. 已知函数． （1）求的值； （2）求在上的值域； （3）将函数的图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数 （1）若，判断函数在上的单调性（无需证明），并求在上的值域； （2）若关于的方程恰有三个不等实根，且. （i）求的值； （ii）求的最大值.（参考公式：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $