14.2三角形全等的判定【精讲精练-分层训练】同步讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦“三角形全等的判定”核心知识点，系统梳理SSS、SAS、ASA、AAS四大通用判定及直角三角形专属HL判定，构建从基础概念（夹角、夹边）到特殊应用（HL），再到综合问题（动态、二次全等、数量关系）的学习支架。 资料以13类分层题型设计为特色，通过“识破SSA陷阱”“挖掘隐含条件”等实例培养推理意识与几何直观，规范证明书写强化数学语言表达。课中辅助教师精准授课，课后A/B/C组训练助力学生分层巩固，有效查漏补缺。

14.2三角形全等的判定 学习目标和重难点 1、掌握四大通用判定：熟练运用 SSS、SAS、ASA、AAS 判定一般三角形全等，并精准把握“夹角”与“夹边”的核心概念。 2、攻克直角专属判定：掌握直角三角形全等的特殊判定方法 HL，理解“一般与特殊”的数学辩证关系。 3、建立规范证明逻辑：能够根据已知条件灵活选择最优判定方法，熟练运用全等三角形的性质证明线段或角相等。 学习重点 1、判定方法的灵活运用：在复杂图形中准确剥离出基本模型，根据已知条件（边、角关系）快速匹配正确的判定定理。 2、证明过程的规范书写：严格按照“准备条件 → 指出三角形 → 列出判定依据 → 得出结论”的标准几何语言格式进行书写。 学习难点 1、识破“SSA”陷阱：深刻理解“边边角”不能判定一般三角形全等的原因，但在直角三角形中（HL）却可以作为判定依据。 2、挖掘隐含条件：在复杂的几何图形中，敏锐识别并提取公共边、公共角、对顶角、平行线带来的等角等“隐藏线索”。 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型1 “边角边”（SAS）证明三角形全等 题型2 “角边角”（ASA）证明三角形全等 题型3 “角角边”（AAS）证明三角形全等 题型4 “边边边”（SSS）证明三角形全等 题型5 三角形的稳定性 题型6 斜边、直角边定理（HL）证明三角形全等 题型7 灵活选用方法证明三角形全等 题型8 二次证明三角形全等 题型9 数全等三角形的对数 题型10 全等三角形的动态问题 题型11 利用全等三角形的判定与性质确定线段间的数量关系 题型12 利用全等三角形的判定与性质确定线段间的位置关系 题型13 结合尺规作图的全等问题 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 教材◆核心知识 知识点01 边角边（SAS）判定全等 1. 边角边（SAS）的概念： 若两个三角形有 两边及其夹角 对应相等，则这两个三角形全等。可以简写成“边角边”或“SAS”。 2. 数学语言： 如图：在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF（SAS）。 注意：在列“SAS”的全等条件时，角一定写在中间的位置。强调对应关系。 【针对训练】 1．如图，AC和BD相交于O点，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（　　） A．AB＝DC B．OB＝OC C．∠A＝∠D D．∠AOB＝∠DOC 2．如图，AB＝AD，AC＝AE，则△ABC≌△ADE的判定依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 3．如图，点B，F，C，E四点在同一条直线上，∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝CE．求证：△ABC≌△DEF． 知识点02 角边角（ASA）判定三角形全等 1. 角边角（ASA）判定三角形全等的概念： 若两个三角形的 两个角及其夹边 对应相等，则这两个三角形全等。 2. 数学语言： 如图，在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF。 【针对训练】 1．如图，AE∥DF，AE＝DF，若利用“ASA”来判定△AEC≌△DFB，则需添加的条件是（　　） A．∠E＝∠F B．AC＝BD C．∠E＝∠DBF D．EC＝BF 2．如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，∠C＝∠F，则△ABC≌△DEF的依据是（　　） A．SSA B．SAS C．SSS D．ASA 3．如图，点C在线段BD上，CE∥AB，BC＝CE，∠ACB＝∠E．求证：△ABC≌△DCE． 知识点03 角角边（AAS）判定三角形全等 1. 角角边（AAS）判定三角形全等的概念： 若两个三角形的 两个角 及其 其中一个角的对边 对应相等，则这两个三角形全等。 2. 数学语言： 如图，在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF。 【针对训练】 1．如图，∠C＝∠D，再添加条件 　 　 可以用AAS定理判定△ABD≌△BAC． 2．如图，AC与BD相交于点O，AB＝DC，∠A＝∠D，不添加辅助线，能直接判定△AOB≌△DOC的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．AAS D．HL 3．已知：如图，C是AE的中点，AB∥CD，且∠B＝∠D．求证：△ABC≌△CDE． 知识点04 边边边（SSS）判定全等 1. 边边边（SSS）的概念： 若两个三角形的 三条边 分别对应相等，则这两个三角形全等。 2. 数学语言： 如图：在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF（SSS）。 【针对训练】 1．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，要利用“SSS”判定△ABC≌△DEF，则还需添加的条件为（　　） A．BF＝CF B．BF＝CE C．CF＝CE D．∠A＝∠D 2．如图，AC＝AD，BC＝BD，这样可以证明△ABC≌△ABD．其依据是（　　） A．SSS B．SAS C．SSA D．ASA 3．如图，A，B，C，D四点共线，AB＝CD，CF＝BE，AF＝DE． 求证：△ACF≌△DBE． 知识点05 用直尺与圆规作三角形 1. 尺规作图的基本定义： （1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。 （2）基本要求 它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同。 直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度． 圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度。 2. 用直尺和圆规作三角形 已知 线段a，b，c 求作 △ABC，使其三边的长分别为a，b，c 作法 步骤： （1）作线段BC＝a； （2）以点C为圆心，以b为半径画圆弧，再以B为圆心，以c为半径画圆弧，两弧交于点A； （3）连接AC和AB，则三角形即为所求作三角形。 依据 SSS证全等 【针对训练】 1．“已知两线段及一角作三角形”的尺规作图过程． 已知：如图，线段m，n及∠O． 求作：△ABC，使得其中的两边长分别为m，n，一内角等于∠O．按以下作法作图： ①以点O为圆心，线段m的长为半径画弧，分别交∠O的两边于点M，N； ②画一条射线AP，以点A为圆心，线段m的长为半径画弧，交AP于点B； ③以点B为圆心，MN的长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D； ④画射线AD； ⑤以点A为圆心，线段n的长为半径画弧，交AD于点C； ⑥连接BC，则△ABC即为所求作的三角形．请回答： （1）步骤③得到两条线段相等，即 　 　 ＝　 　 ； （2）∠A＝∠O的作图依据是 　 　 ； （3）还能再作出其他的三角形吗？试试吧! 知识点06 用直尺和圆规作一个角等于已知角 1. 尺规作图作一个角等于已知角： 已知 ∠AOB 求作 ∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB 作法 步骤： （1）以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于C，D； （2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于C′； （3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交与点D′； （4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求角。 依据 SSS证全等 【针对训练】 1．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明∠O′＝∠O的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA 2．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠BCD＝∠AOB．以下是排乱的作图过程： ①作射线CD，则∠BCD＝∠AOB． ②以C为圆心，OE长为半径画弧MN，交OB于点M． ③以M为圆心，EF长为半径画弧，交弧MN于点D． ④以O为圆心，任意长为半径画弧EF，分别交OA，OB于点E，F． 则正确的作图顺序是（　　） A．①﹣②﹣③﹣④ B．②﹣④﹣①﹣③ C．④﹣②﹣③﹣① D．④﹣③﹣②﹣① 3．尺规作图：已知∠AOB，求作∠A′O′B′．使∠A′O′B′＝∠AOB．（保留作图痕迹，写出作法） 知识点07 用直尺和圆规作直线的平行线 2. 尺规作图作一个角等于已知角： 已知 直线AB及直线外一点C 求作 过C作直线AB的平行线CD 作法 步骤： （1）过C作一条直线与直线AB相交于点E； （2）在点C处作∠CEB的同位角∠FCD，使∠CEB＝∠FCD； （3）反向延长CD得到直线CD，则CD∥AB。 【针对训练】 1．如图，在△ABC中，点D在边BC上．在边AC求作点E，使得DE∥AB．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 题型解析◆精准备考 【题型1 “边角边”（SAS）证明三角形全等】 【典例1】如图．中．，平分．点为上一点．则图中全等三角形有 对． 【变式1】数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度，此方案依据的数学定理或基本事实是（    ） A． B． C． D． 【题型2 “角边角”（ASA）证明三角形全等】 【典例1】如图，已知，要说明，若以“”为依据，则需添加一个条件是 ． 【变式1】如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（    ） A． B． C． D． 【题型3 “角角边”（AAS）证明三角形全等】 【典例1】如图，，，分别过点A，B作过点C的直线的垂线，．若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【变式1】如图，，要使，需要添加的条件可以是下列选项中的（   ） A． B． C． D． 【题型4 “边边边”（SSS）证明三角形全等】 【典例1】如图，AD＝CB，E，F是AC上两动点，且有DE＝BF (1)若E，F运动如图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF； (2)若E，F运动如图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？ (3)若E，F不重合，AD和CB平行吗？说明理由． 【变式1】分水油纸伞是泸州市江阳区分水岭镇特产，中国国家地理标志产品，国家级非物质文化遗产．油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着许多数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则的判定依据是（   ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【题型5 三角形的稳定性】 【典例1】如图，我们可以看到跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪姿势可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定，这里蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．三角形的任意两边之和大于第三边 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 【变式1】如图，小明将一根吸管折叠后，伸入一个空玻璃瓶中，使吸管一端顶住瓶壁，再轻轻一提，瓶子就被提起来了．这其中用到的数学原理是（      ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性 【题型6 斜边、直角边定理（HL）证明三角形全等】 【典例1】小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）： ．    【变式1】如图，，垂足为，且，点在上，若用“”证明，则需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【题型7 灵活选用方法证明三角形全等】 【典例1】【问题提出】 我们知道：三角形全等的判定方法有：“，，，”，面对于“”，课本第38页提供了如下材料： 思考：如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到，这个实验说明了什么？ 这个实验说明：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“”不一定成立．那么，什么情况下，“”成立呢？数学兴趣小组对两个三角形按角进行分类，展开了以下探究． 【初步思考】 我们不妨设这个对应角为，然后对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】 (1)第一种情况：当是直角时，． 如图2，在和中，，，，根据 ，可以知道． (2)第二种情况：当是钝角时，． 如图3，在和中，，，，且、都是钝角，李明由（1）受到了启发，很快证出了．请聪明的你完成李明的推理过程； (3)第三种情况：当是锐角时，和不一定全等． ①如图4，在和中，，，，且、都是锐角，则的结论是否仍然成立；请说明成立的理由； ②如图4，和是不全等的，还要满足什么条件，就可以使？请直接写出结论： ． 【变式1】如图，已知各内角的度数和各边的长度．下面是同学们用不同的方法画出的三角形，并将所画三角形的三个元素标出，则所画三角形不一定与全等的是（   ）    A．  B．  C．   D．   【题型8 二次证明三角形全等】 【典例1】如图，在四边形中，是对角线上一点，，，求证：． 【变式1】如图，和的顶点A和D在的同侧，，，交于点O，试说明：． 下面是小明的解答过程： 解：在和中，因为，，，所以，所以，所以． 请问小明的解法正确吗？如果不正确，请改正过来． 【题型9 数全等三角形的对数】 【典例1】如图，在中，线段，都是的角平分线，连接，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【变式1-1】如图，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，则图中的全等三角形的对数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型10 全等三角形的动态问题】 【典例1】如图，已知三条边的长都为，三个内角都相等，点、同时从点A出发，点以每秒速度沿向点运动，点以每秒速度沿折线运动，当点到达点时，点也同时停止运动．如果点在边上，且以A、、中的两点和点为顶点构成的三角形与全等，那么运动的时间为 秒． 【变式2-1】（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，在中，，，点为的中点，如果点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动时间为 秒时，与全等． 【题型11 利用全等三角形的判定与性质确定线段间的数量关系】 【典例1】题目：“如图，直线，平分，过点作交于点，且．动点从点出发，沿射线运动，作，交直线于点．关于和的关系，下列说法正确的是（    ） A．点只有在线段上运动时，和才相等 B．点只有在线段的延长线上时，和才相等 C．点在运动过程中，和一直相等 D．无法判断 【变式3-1】（23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图， (1)试判断线段与的关系，并说明理由． (2)证明． 【题型12 利用全等三角形的判定与性质确定线段间的位置关系】 【典例1】已知和都是等腰三角形，，，． 【初步感知】（1）特殊情形：如图①，若点，分别在边，上，则______．（填、或） 【发现证明】（2）将图①中的绕点顺时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请就图②中给出的情况加以证明． 【深入研究】（3）如图③，和均为等腰直角三角形，，连接，，则，满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 【变式1】如图，点，分别在四边形的边，的延长线上，连接分别交，于点，，，，． (1)与全等吗？为什么？ (2)判断线段与的位置关系，并说明理由． 【题型13 结合尺规作图的全等问题】 【典例1】（1）如图，在中，以为一边作，使得，画出所有符合条件的（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）请用两种不同方法作出边上的中点．（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【变式1】在课堂上，陈老师布置了一道画图题：画一个，使，它的两条边分别等于两条已知线段，小明和小强两位同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示． 那么小明和小强两位同学作图确定三角形的依据分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 1．如图，两根钢条、的中点 O连在一起，使、 可以绕着点 O自由转动，就做成一个测量工具， 的长等于内槽宽 ，那么判定的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 2．如图，点E在上，点F在上，，，判断的依据是（   ） A． B． C． D． 3．如图，，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知，用直尺和圆规按照以下步骤作图：①以点O为圆心，任意长为半径画弧， 分别交于点 C、D； ②画射线， 以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③以点为圆心， 长为半径画弧，交前弧于点；④过点画射线 ．就是与 相等的角．根据以上操作， 可以判定， 其判定的依据是（    ） A． B． C． D． 5．如图，有两根长度相同的竹竿靠在一面竖直的墙两侧，已知左边竹竿端点与墙角的距离等于右边竹竿底部与墙角的距离，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知，若要用“”证明，还需加上的一个条件可以是_________． 7．如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为________． 8．如图，以的顶点A为圆心，以长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点D；连接，．由作图的方法可得，的依据是________． 9．如图，已知线段a、b和，按要求尺规作图（不必写作法、保留作图痕迹）． 求作，使，； 上述问题中作图依据是__________． 10．如图，，，垂足分别为，，．若，则_____． 11．如图，在和中，，，． 求证：． 12．如图，已知于B，于E，，，求证：． 13．如图，在和中，点、、、在同一条直线上，，，．求证：． 14．如图，分别在上，若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 15．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴，轴上，，，若，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 16．如图，已知，求作，使得．根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 17．如图，已知和一条长度为的线段，作一个以为底角，为腰长的等腰三角形的方法是：①连接；②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；③在的两边上截取；④画射线，以点为圆心，的长为半径画弧，在射线上截取，并以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点．以上画法正确的顺序是（　　） A．③④①② B．④③②① C．③④②① D．④③①② 18．如图，，，，则（　　） A． B． C． D． 19．如图，在和中，，，再添加一个条件用“”使成立，那么添加的条件是______． 20．如图，在和中，，，在不添加任何辅助线的条件下，可以判断，则判定这两个三角形全等的依据是__________． 21．如图，四边形中，，连接，请你添加一个条件______（写出一种即可），可以根据“”得到． 22．如图，在中，D为上一点，E为的中点，连接并延长至点F，使得，连接．求证：． 23．如图，，，． (1)求证：． (2)求证：． 24．已知：如图，，．求证： (1)； (2)（要求不用三角形全等证明）． 25．如图，在四边形中，点E在边上，，且平分，F是四边形外一点，连接，． (1)和全等吗？请说明理由； (2)若，，，求的度数． 26．如图所示的网格是正方形网格，正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．将与全等，并与有且只有一条边重合的格点三角形称为的“友好格点三角形”． (1)画出以为公共边的的所有“友好格点三角形”； (2)共有________个“友好格点三角形”． 27．如图1，为外部一点，连接，已知．现在要求用尺规作图“在内求作一点，使．”下面是两位同学的过程． (1)嘉嘉采用了图2的尺规作图，根据作图痕迹，得到的判定依据是__________；（用字母表示） (2)琪琪想通过“”得到， ①请你帮助她在图1中用尺规作图进行实现；（保留作图痕迹，不写作法） ②求证：． 28．如图，在中，，平分，于点E，点F在上且满足． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求四边形的面积． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.2三角形全等的判定 学习目标和重难点 1、掌握四大通用判定：熟练运用 SSS、SAS、ASA、AAS 判定一般三角形全等，并精准把握“夹角”与“夹边”的核心概念。 2、攻克直角专属判定：掌握直角三角形全等的特殊判定方法 HL，理解“一般与特殊”的数学辩证关系。 3、建立规范证明逻辑：能够根据已知条件灵活选择最优判定方法，熟练运用全等三角形的性质证明线段或角相等。 学习重点 1、判定方法的灵活运用：在复杂图形中准确剥离出基本模型，根据已知条件（边、角关系）快速匹配正确的判定定理。 2、证明过程的规范书写：严格按照“准备条件 → 指出三角形 → 列出判定依据 → 得出结论”的标准几何语言格式进行书写。 学习难点 1、识破“SSA”陷阱：深刻理解“边边角”不能判定一般三角形全等的原因，但在直角三角形中（HL）却可以作为判定依据。 2、挖掘隐含条件：在复杂的几何图形中，敏锐识别并提取公共边、公共角、对顶角、平行线带来的等角等“隐藏线索”。 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型1 “边角边”（SAS）证明三角形全等 题型2 “角边角”（ASA）证明三角形全等 题型3 “角角边”（AAS）证明三角形全等 题型4 “边边边”（SSS）证明三角形全等 题型5 三角形的稳定性 题型6 斜边、直角边定理（HL）证明三角形全等 题型7 灵活选用方法证明三角形全等 题型8 二次证明三角形全等 题型9 数全等三角形的对数 题型10 全等三角形的动态问题 题型11 利用全等三角形的判定与性质确定线段间的数量关系 题型12 利用全等三角形的判定与性质确定线段间的位置关系 题型13 结合尺规作图的全等问题 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 教材◆核心知识 知识点01 边角边（SAS）判定全等 1. 边角边（SAS）的概念： 若两个三角形有 两边及其夹角 对应相等，则这两个三角形全等。可以简写成“边角边”或“SAS”。 2. 数学语言： 如图：在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF（SAS）。 注意：在列“SAS”的全等条件时，角一定写在中间的位置。强调对应关系。 【针对训练】 1．如图，AC和BD相交于O点，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（　　） A．AB＝DC B．OB＝OC C．∠A＝∠D D．∠AOB＝∠DOC 【答案】B 【解答】解：A、AB＝DC，不能根据SAS证两三角形全等，故本选项错误； B、∵在△AOB和△DOC中 ， ∴△AOB≌△DOC（SAS），故本选项正确； C、两三角形相等的条件只有OA＝OD和∠AOB＝∠DOC，不能证两三角形全等，故本选项错误； D、根据∠AOB＝∠DOC和OA＝OD，不能证两三角形全等，故本选项错误； 故选：B． 2．如图，AB＝AD，AC＝AE，则△ABC≌△ADE的判定依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】B 【解答】解：在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）， 故选：B． 3．如图，点B，F，C，E四点在同一条直线上，∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝CE．求证：△ABC≌△DEF． 【答案】证明见解答． 【解答】证明：∵BF＝CE， ∴BF+FC＝CE+FC， 即BC＝EF． 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 知识点02 角边角（ASA）判定三角形全等 1. 角边角（ASA）判定三角形全等的概念： 若两个三角形的 两个角及其夹边 对应相等，则这两个三角形全等。 2. 数学语言： 如图，在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF。 【针对训练】 1．如图，AE∥DF，AE＝DF，若利用“ASA”来判定△AEC≌△DFB，则需添加的条件是（　　） A．∠E＝∠F B．AC＝BD C．∠E＝∠DBF D．EC＝BF 【答案】A 【解答】解：添加条件：∠E＝∠F，理由如下： 由平行线性质可知∠A＝∠D， 又AE＝DF，∠E＝∠F， ∴△AEC≌△DFB（ASA）， 故选：A． 2．如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，∠C＝∠F，则△ABC≌△DEF的依据是（　　） A．SSA B．SAS C．SSS D．ASA 【答案】D 【解答】解：∵AC∥DF， ∴∠A＝∠D（两直线平行，内错角相等）， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， 所以△ABC≌△DEF的依据是ASA， 综上所述，只有选项D正确，符合题意， 故选：D． 3．如图，点C在线段BD上，CE∥AB，BC＝CE，∠ACB＝∠E．求证：△ABC≌△DCE． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵CE∥AB， ∴∠ABC＝∠ECD， 在△ABC和△DCE中， ， ∴△ABC≌△DCE（ASA）． 知识点03 角角边（AAS）判定三角形全等 1. 角角边（AAS）判定三角形全等的概念： 若两个三角形的 两个角 及其 其中一个角的对边 对应相等，则这两个三角形全等。 2. 数学语言： 如图，在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF。 【针对训练】 1．如图，∠C＝∠D，再添加条件 　∠ABD＝∠BAC　 可以用AAS定理判定△ABD≌△BAC． 【答案】∠ABD＝∠BAC（或∠ABC＝∠BAD）． 【解答】解：∵∠C＝∠D，AB＝AB，∠ABD＝∠BAC， ∴△ABD≌△BAC； 同理，∠C＝∠D，AB＝AB，∠ABC＝∠BAD， ∴△ABD≌△BAC． 故答案为：∠ABD＝∠BAC（或∠ABC＝∠BAD）． 2．如图，AC与BD相交于点O，AB＝DC，∠A＝∠D，不添加辅助线，能直接判定△AOB≌△DOC的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．AAS D．HL 【答案】C 【解答】解：根据题意，在△AOB和△DOC中， ， ∴△AOB≌△DOC（AAS）， 综上所述只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 3．已知：如图，C是AE的中点，AB∥CD，且∠B＝∠D．求证：△ABC≌△CDE． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵C是AE的中点， ∴AC＝CE， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠DCE， 在△ABC和△CDE中， ， ∴△ABC≌△CDE（AAS）． 知识点04 边边边（SSS）判定全等 1. 边边边（SSS）的概念： 若两个三角形的 三条边 分别对应相等，则这两个三角形全等。 2. 数学语言： 如图：在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF（SSS）。 【针对训练】 1．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，要利用“SSS”判定△ABC≌△DEF，则还需添加的条件为（　　） A．BF＝CF B．BF＝CE C．CF＝CE D．∠A＝∠D 【答案】B 【解答】解：∵△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF， ∴利用“SSS”判定△ABC≌△DEF的条件是BC＝EF，即添加BF＝EC． 故选：B． 2．如图，AC＝AD，BC＝BD，这样可以证明△ABC≌△ABD．其依据是（　　） A．SSS B．SAS C．SSA D．ASA 【答案】A 【解答】证明：在△ABC和△ABD中， ， ∴△ABC≌△ABD（SSS）， ∴证明△ABC≌△ABD，其依据是SSS． 故选：A． 3．如图，A，B，C，D四点共线，AB＝CD，CF＝BE，AF＝DE． 求证：△ACF≌△DBE． 【答案】见解析． 【解答】证明：∵A，B，C，D四点共线，AB＝CD， ∴AB+BC＝CD+BC， ∵AC＝AB+BC，DB＝CD+BC， ∴AC＝DB， 在△ACF和△DBE中， ， ∴△ACF≌△DBE（SSS）． 知识点05 用直尺与圆规作三角形 1. 尺规作图的基本定义： （1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。 （2）基本要求 它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同。 直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度． 圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度。 2. 用直尺和圆规作三角形 已知 线段a，b，c 求作 △ABC，使其三边的长分别为a，b，c 作法 步骤： （1）作线段BC＝a； （2）以点C为圆心，以b为半径画圆弧，再以B为圆心，以c为半径画圆弧，两弧交于点A； （3）连接AC和AB，则三角形即为所求作三角形。 依据 SSS证全等 【针对训练】 1．“已知两线段及一角作三角形”的尺规作图过程． 已知：如图，线段m，n及∠O． 求作：△ABC，使得其中的两边长分别为m，n，一内角等于∠O． 按以下作法作图： ①以点O为圆心，线段m的长为半径画弧，分别交∠O的两边于点M，N； ②画一条射线AP，以点A为圆心，线段m的长为半径画弧，交AP于点B； ③以点B为圆心，MN的长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D； ④画射线AD； ⑤以点A为圆心，线段n的长为半径画弧，交AD于点C； ⑥连接BC，则△ABC即为所求作的三角形．请回答： （1）步骤③得到两条线段相等，即 　BD　 ＝　MN　 ； （2）∠A＝∠O的作图依据是 　三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等　 ； （3）还能再作出其他的三角形吗？试试吧! 【答案】（1）BD，MN； （2）（3）见解析． 【解答】解：（1）BD，MN． （2）三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等 （3）小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论． 故答案为BD，MN，三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等，小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论． 知识点06 用直尺和圆规作一个角等于已知角 1. 尺规作图作一个角等于已知角： 已知 ∠AOB 求作 ∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB 作法 步骤： （1）以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于C，D； （2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于C′； （3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交与点D′； （4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求角。 依据 SSS证全等 【针对训练】 1．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明∠O′＝∠O的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA 【答案】B 【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′， 在△COD和△C'O'D'中， ， ∴△COD≌△C'O'D'（SSS）， ∴∠A'O'B'＝∠AOB， 故选：B． 2．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠BCD＝∠AOB．以下是排乱的作图过程： ①作射线CD，则∠BCD＝∠AOB． ②以C为圆心，OE长为半径画弧MN，交OB于点M． ③以M为圆心，EF长为半径画弧，交弧MN于点D． ④以O为圆心，任意长为半径画弧EF，分别交OA，OB于点E，F． 则正确的作图顺序是（　　） A．①﹣②﹣③﹣④ B．②﹣④﹣①﹣③ C．④﹣②﹣③﹣① D．④﹣③﹣②﹣① 【答案】C 【解答】解：作法：④以O为圆心，任意长为半径画弧EF，分别交OA，OB于点E，F． ②以C为圆心，OE长为半径画弧MN，交OB于点M． ③以M为圆心，EF长为半径画弧，交弧MN于点D． ①作射线CD，则∠BCD＝∠AOB． 故选：C． 3．尺规作图：已知∠AOB，求作∠A′O′B′．使∠A′O′B′＝∠AOB．（保留作图痕迹，写出作法） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图∠A′O′B′即为所求； 知识点07 用直尺和圆规作直线的平行线 2. 尺规作图作一个角等于已知角： 已知 直线AB及直线外一点C 求作 过C作直线AB的平行线CD 作法 步骤： （1）过C作一条直线与直线AB相交于点E； （2）在点C处作∠CEB的同位角∠FCD，使∠CEB＝∠FCD； （3）反向延长CD得到直线CD，则CD∥AB。 【针对训练】 1．如图，在△ABC中，点D在边BC上．在边AC求作点E，使得DE∥AB．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析． 【解答】解：图形如图所示． 题型解析◆精准备考 【题型1 “边角边”（SAS）证明三角形全等】 【典例1】如图．中．，平分．点为上一点．则图中全等三角形有 对． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是关键．首先利用角平分线定义可得，然后利用可判定，根据全等三角形的性质可得，，再判定，最后证明即可． 【详解】解： 平分， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 共对全等三角形， 故答案为． 【变式1】数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度，此方案依据的数学定理或基本事实是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是全等三角形的应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据全等三角形的判定定理“”解答即可． 【详解】解：在和中， ， ， ， 此方案依据的数学定理或基本事实是“”， 故选：A． 【题型2 “角边角”（ASA）证明三角形全等】 【典例1】如图，已知，要说明，若以“”为依据，则需添加一个条件是 ． 【答案】 【分析】根据证明，即可． 【详解】解：添加，理由如下： ∵，，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【变式1】如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定； 根据即可解答． 【详解】解：有图形可以看到这个三角形还能明显看到的条件为两个角和一条边，且是两角及其夹边，因此符合． 故选D． 【题型3 “角角边”（AAS）证明三角形全等】 【典例1】如图，，，分别过点A，B作过点C的直线的垂线，．若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，一般三角形全等的判定方法有、、，，直角三角形的判定方法还有，全等三角形对应边相等，对应角相等．熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 由，可得，进而可得．又由可得，进而可得．再根据可得，则可得，，进而可求得的长． 【详解】解：，， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ，， ． 故选：B． 【变式1】如图，，要使，需要添加的条件可以是下列选项中的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据已知得到，，再根据选项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， 选项中只有当时，，添加其它选项都不能证明． 故选：D． 【题型4 “边边边”（SSS）证明三角形全等】 【典例1】如图，AD＝CB，E，F是AC上两动点，且有DE＝BF (1)若E，F运动如图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF； (2)若E，F运动如图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？ (3)若E，F不重合，AD和CB平行吗？说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）成立，证明详见解析；（3）AD与CB不一定平行，理由详见解析. 【分析】（1）根据AF=CE可得AF+EF=CE+EF，即AE=CF，利用SSS即可证明△ADE≌△CBF；（2）根据AF=CE可得AF-EF=CE-EF，即AE=CF，利用SSS即可证明△ADE≌△CBF；（3）根据已知两个条件，不能判定△ADE≌△CBF，不能确定∠A=∠C，即可得AD和CB不一定平行. 【详解】（1）∵AF=CE， ∴AF+EF=CE+EF，即AE=CF， 在△ADE和△CBF中， ∴△ADE≌△CBF. （2）成立.理由如下： ∵AF=CE， ∴AF-EF=CE-EF，即AE=CF， 在△ADE和△CBF中， ∴△ADE≌△CBF. （3）AD与CB不一定平行，理由如下： ∵只给了两组对应相等的边， ∴不能判定△ADE≌△CBF， ∴不能判定∠A与∠C的大小关系， ∴AD与CB不一定平行， 【点睛】本题考查全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角. 【变式1】分水油纸伞是泸州市江阳区分水岭镇特产，中国国家地理标志产品，国家级非物质文化遗产．油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着许多数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则的判定依据是（   ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理推出即可解答． 【详解】解：在和中， ， ． 故选：D． 【题型5 三角形的稳定性】 【典例1】如图，我们可以看到跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪姿势可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定，这里蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．三角形的任意两边之和大于第三边 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性即可得到答案． 【详解】解：由题意得这三个三角形可以使射击者在射击过程中保持稳定，其中，蕴含的数学道理是三角形的稳定性； 故选：D． 【变式1】如图，小明将一根吸管折叠后，伸入一个空玻璃瓶中，使吸管一端顶住瓶壁，再轻轻一提，瓶子就被提起来了．这其中用到的数学原理是（      ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的稳定性．根据三角形具有稳定性作答即可． 【详解】解：吸管一端顶住瓶壁，可以构造一个三角形， ∴这其中用到的数学原理是三角形具有稳定性． 故选：D． 【题型6 斜边、直角边定理（HL）证明三角形全等】 【典例1】小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）： ．    【答案】 【分析】本题考查角平分线的判定以及全等三角形的判定定理，解题的关键是利用直尺宽度相等构造全等直角三角形，进而得出角平分线． 过点作于点于点．因为直尺的宽度相等，所以，同时（公共边），，证明， 可得，即平分，因此这种画法的依据是． 【详解】解：如图2中，过点P作于点M，于点N．    ∵尺的宽度相等， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ∴平分， 画法的依据是：． 故答案为：． 【变式1】如图，，垂足为，且，点在上，若用“”证明，则需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查运用“”证明三角形全等，根据“”证明三角形全等的条件即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 当时， 在和中 ， ∴． 故选：B 【题型7 灵活选用方法证明三角形全等】 【典例1】【问题提出】 我们知道：三角形全等的判定方法有：“，，，”，面对于“”，课本第38页提供了如下材料： 思考：如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到，这个实验说明了什么？ 这个实验说明：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“”不一定成立．那么，什么情况下，“”成立呢？数学兴趣小组对两个三角形按角进行分类，展开了以下探究． 【初步思考】 我们不妨设这个对应角为，然后对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】 (1)第一种情况：当是直角时，． 如图2，在和中，，，，根据 ，可以知道． (2)第二种情况：当是钝角时，． 如图3，在和中，，，，且、都是钝角，李明由（1）受到了启发，很快证出了．请聪明的你完成李明的推理过程； (3)第三种情况：当是锐角时，和不一定全等． ①如图4，在和中，，，，且、都是锐角，则的结论是否仍然成立；请说明成立的理由； ②如图4，和是不全等的，还要满足什么条件，就可以使？请直接写出结论： ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①见解析；②或 【分析】（1）直接利用定理得出 ； （2）首先得出，则，进而得出 ，再求出； （3）①利用已知图形再做一个钝角三角形即可得出答案； ②利用①中方法可得出当或 【详解】（1）解：∵， ∴和是直角三角形， 在和中， 故答案为：； （2）证明：在和 ，且都是钝角，如图，过点作交的延长线于，过点作交的延长线于， 且都是钝角， 在和 在 和 在和中 ； （3）解：①在和中，，且都是锐角，如图，和不全等； ②由①图可知，， ∴当时，就唯一确定了， 则． 当时， 即， 在和中， 故答案为：或． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方式解题的关键． 【变式1】如图，已知各内角的度数和各边的长度．下面是同学们用不同的方法画出的三角形，并将所画三角形的三个元素标出，则所画三角形不一定与全等的是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，理解全等三角形的判定定理是解题关键． 根据全等三角形的判定条件进行逐项分析即可． 【详解】解：A、根据“”可证明与原三角形全等，不符合题意； B、根据“”可证明与原三角形全等，不符合题意； C、根据“”可证明与原三角形全等，不符合题意； D、与原三角形形成三个内角分别相等，两个三角形不一定全等，符合题意； 故选：D． 【题型8 二次证明三角形全等】 【典例1】如图，在四边形中，是对角线上一点，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先证明得出，再证明． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式1】如图，和的顶点A和D在的同侧，，，交于点O，试说明：． 下面是小明的解答过程： 解：在和中，因为，，，所以，所以，所以． 请问小明的解法正确吗？如果不正确，请改正过来． 【答案】不正确，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键； 根据已知条件得出，得，在和中，利用即可得出结论. 【详解】解：不正确，正确步骤为： 在和中， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． 【题型9 数全等三角形的对数】 【典例1】如图，在中，线段，都是的角平分线，连接，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线、全等三角形的判定、等腰三角形的性质，根据已知条件得到，利用全等三角形的判定即可． 【详解】令和的交点为． 都是的角平分线 是和的公共角 故选：B． 【变式1】如图，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，则图中的全等三角形的对数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】图中有3对全等三角形，分别为△ABC≌△DEF；△ABF≌△DEC；△BCF≌△EFC，△ABC≌△DEF，理由为：由AB与DE平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，再由AF=DC，两边都加上FC，得到AC=DF，利用SAS可得证；△ABF≌△DEC，理由为：由AB与DE平行利用两直线平行得到一对内错角相等，由已知两对边相等，利用SAS可得证；△BCF≌△EFC，理由为：由全等三角形对应边相等得到FB=EC，CB=EF，再由FC为公共边，利用SSS即可得证． 【详解】解：图中的全等三角形的对数为3对，分别为△ABC≌△DEF；△ABF≌△DEC；△BCF≌△EFC． △ABC≌△DEF，理由为： ∵AB∥DE， ∴∠A＝∠D， ∵AF＝DC， ∴AF+FC＝CD+FC，即AC＝DF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）； △ABF≌△DEC，理由为： 证明：∵AB∥DE， ∴∠A＝∠D， 在△ABF和△DEC中， ， ∴△ABF≌△DEC（SAS）； ∵△ABC≌△DEF，△ABF≌△DEC， ∴BC＝EF，BF＝EC， 在△BCF和△EFC中， ， ∴△BCF≌△EFC（SSS）． 故选：C． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定方法有：SSS；SAS；ASA；AAS；以及HL（直角三角形判定全等的方法）． 【题型10 全等三角形的动态问题】 【典例1】如图，已知三条边的长都为，三个内角都相等，点、同时从点A出发，点以每秒速度沿向点运动，点以每秒速度沿折线运动，当点到达点时，点也同时停止运动．如果点在边上，且以A、、中的两点和点为顶点构成的三角形与全等，那么运动的时间为 秒． 【答案】2或或4． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定、等边三角形的性质等知识，学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键． 分当点Q在上时以及当点Q在上时的有两种情形或满足条件，分别构建方程求解即可． 【详解】解：当点Q在上时，时，， ∴， ∴，解得：． 当点Q在BC上时， 如图：当时，，， ； ∴，解得：； 如图：当时，， ∴，解得， 综上所述，满足条件的t的值为2或或4． 故答案为：2或或4． 【变式1】如图，在中，，，点为的中点，如果点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动时间为 秒时，与全等． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 根据等腰三角形的性质可得，然后分两种情况讨论：当时，当时，即可求解． 【详解】解：∵点D为的中点， ∴， ∵在中，， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴运动时间为； 当时，， ∵， ∴， ∴运动时间为， 综上所述，点Q的运动时间为或 故答案为：或． 【题型11 利用全等三角形的判定与性质确定线段间的数量关系】 【典例1】题目：“如图，直线，平分，过点作交于点，且．动点从点出发，沿射线运动，作，交直线于点．关于和的关系，下列说法正确的是（    ） A．点只有在线段上运动时，和才相等 B．点只有在线段的延长线上时，和才相等 C．点在运动过程中，和一直相等 D．无法判断 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的性质与判定，由，，得到，从而有，分两种情况：点E在线段上运动时，点E在线段的延长线上运动时，分别证明即可，熟练掌握判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图，点在线段上运动时， ∵，， ∴，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 点在线段的延长线上时， ∵，，， ∴，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 综上可知：点在运动过程中，和一直相等， 故选：． 【变式1】如图， (1)试判断线段与的关系，并说明理由． (2)证明． 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质： （1）先由平行线的性质得到，进而利用证明即可证明； （2）由可得，进而可证明． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴． 【题型12 利用全等三角形的判定与性质确定线段间的位置关系】 【典例1】已知和都是等腰三角形，，，． 【初步感知】（1）特殊情形：如图①，若点，分别在边，上，则______．（填、或） 【发现证明】（2）将图①中的绕点顺时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请就图②中给出的情况加以证明． 【深入研究】（3）如图③，和均为等腰直角三角形，，连接，，则，满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 【答案】（1）；（2）仍然成立，证明见解析；（3），，理由见解析 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握三角形全等的判定． （1）根据线段的和差关系即可得到； （2）由旋转得到的结论判断出，得到； （3）根据全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴； （2）解：仍然成立，证明如下： ， 即：， 在和中， ， ， ； （3），，理由如下： 延长，分别交、于点、， 和都是等腰直角三角形， ，，， 即：， 在和中， ， ， ，， ， 即：． 【变式1】如图，点，分别在四边形的边，的延长线上，连接分别交，于点，，，，． (1)与全等吗？为什么？ (2)判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，见解析； (2)，见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质． 根据平行线的性质可知，根据可得：，利用可证； 由可知，根据全等三角形对应角相等，可证，根据内错角相等，两直线平行可得：． 【详解】（1）解：， 理由如下： ， ， ， ， ， 在和中，， ； （2）解：， 理由如下： 由可知，， ， ． 【题型13 结合尺规作图的全等问题】 【典例1】（1）如图，在中，以为一边作，使得，画出所有符合条件的（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）请用两种不同方法作出边上的中点．（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】（1）结合全等三角形的判定与性质，先以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，在的两侧分别交于点，，连接，，，，则和均满足题意． （2）①作线段的垂直平分线，交于点，则点即为所求；②以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，在的下方交于点，连接，，连接交于点，则点即为所求． 【详解】解：（1）如图所示， 和为所求． 在和中， 在和中， ． （2）如图①所示，点即为所求； 如图②所示，点即为所求；． 如图①，根据线段垂直平分线的定义可得点E是的中点； 如图②，∵，，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，即点E是的中点． 【点睛】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式1】在课堂上，陈老师布置了一道画图题：画一个，使，它的两条边分别等于两条已知线段，小明和小强两位同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示． 那么小明和小强两位同学作图确定三角形的依据分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】分别根据全等三角形的判定定理进行解答即可． 【详解】解：∵小明同学先确定的是直角三角形的两条直角边， ∴确定依据是SAS定理； ∵小强同学先确定的是直角三角形的一条直角边和斜边， ∴确定依据是HL定理． 故选：A． 【点睛】本题考查的是作图-复杂作图，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理． 1．如图，两根钢条、的中点 O连在一起，使、 可以绕着点 O自由转动，就做成一个测量工具， 的长等于内槽宽 ，那么判定的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【答案】A 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】根据线段中点的定义得到，再由对顶角相等得到，则，可得，据此可得答案． 【详解】解：∵两根钢条的中点连在一起， 又∵， ， ， 故判定的理由是边角边． 2．如图，点E在上，点F在上，，，判断的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，发现隐含条件是解题的关键．由已知条件可得，，再结合隐含条件即可解答． 【详解】解：在和中， ， ， 故选：B． 3．如图，，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理的应用，先证明，得出，，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， 故选：B． 4．如图，已知，用直尺和圆规按照以下步骤作图：①以点O为圆心，任意长为半径画弧， 分别交于点 C、D； ②画射线， 以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③以点为圆心， 长为半径画弧，交前弧于点；④过点画射线 ．就是与 相等的角．根据以上操作， 可以判定， 其判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、尺规作图——作三角形 【分析】根据基本作图，结合三角形全等的判定解答即可．本题考查了已知角的等角的基本作图，三角形全等的判定，熟练掌握基本作图，三角形全等的判定是解题的关键． 【详解】解：根据基本作图，由作图得，， 判定的依据是， 故选：D． 5．如图，有两根长度相同的竹竿靠在一面竖直的墙两侧，已知左边竹竿端点与墙角的距离等于右边竹竿底部与墙角的距离，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 根据题意可知，、，，进而证得，根据全等三角形的性质证得，进而证得． 【详解】解：由题意得，、，， ， ， ， 故选：A． 6．如图，已知，若要用“”证明，还需加上的一个条件可以是_________． 【答案】 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS． 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴当添加时，（SAS）． 故答案为：． 7．如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为________． 【答案】 【知识点】算术平方根的实际应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识．作交延长线于点，证明得到，根据得到，即可求出． 【详解】解：如图，作交延长线于点． ∵，，， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴（负值已舍）． 故答案为：． 8．如图，以的顶点A为圆心，以长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点D；连接，．由作图的方法可得，的依据是________． 【答案】/边边边 【知识点】作线段(尺规作图)、用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查了作线段，全等三角形的判定，熟记定理内容是解题关键．由作图过程可得：，结合，利用可证，即可解答． 【详解】解：由题意可知：，，， ． 故答案为：． 9．如图，已知线段a、b和，按要求尺规作图（不必写作法、保留作图痕迹）． 求作，使，； 上述问题中作图依据是__________． 【答案】 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、尺规作图——作三角形 【分析】根据一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应相等，并且两边的夹角也相等，那么这两个三角形全等，即可得出答案． 【详解】略 10．如图，，，垂足分别为，，．若，则_____． 【答案】50 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，得到，三角形的内角和定理，求出的度数，再根据角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴； 故答案为：50． 11．如图，在和中，，，． 求证：． 【答案】证明：在和中 ， 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】根据题干的条件，由“边角边”证明两三角形全等即可． 【详解】略． 12．如图，已知于B，于E，，，求证：． 【答案】证明：于B，于E， ． ∵在和中， ， ． 【知识点】垂线的定义理解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】通过“”证明即可得出结论． 【详解】略 13．如图，在和中，点、、、在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：， ，即． 在和中， ． ． 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的“”判定方法是解决本题的关键． 先证明，再利用“”证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 14．如图，分别在上，若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角，先证明，得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 15．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴，轴上，，，若，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】该题考查了坐标与图形，全等三角形的性质和判定，如图，过点C作轴，则，证明，得出，，即可解答． 【详解】解：如图，过点C作轴， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 16．如图，已知，求作，使得．根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，尺规作图—作与已知角相等的角，根据作图方法可判断A、B，可利用证明，则可判断D；根据现有条件无法推出C中的结论． 【详解】解：由作图方法可得， ∴， ∴， 根据现有条件无法证明， 故选：C． 17．如图，已知和一条长度为的线段，作一个以为底角，为腰长的等腰三角形的方法是：①连接；②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；③在的两边上截取；④画射线，以点为圆心，的长为半径画弧，在射线上截取，并以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点．以上画法正确的顺序是（　　） A．③④①② B．④③②① C．③④②① D．④③①② 【答案】C 【知识点】尺规作图——作三角形、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查了尺规作图和等腰三角形的作图，解决本题的关键是理解等腰三角形的作图过程，根据尺规作等腰三角形的过程逐项判断即可解答． 【详解】解：已知和一条长度为的线段，作一个以为底角，为腰长的等腰三角形的方法是： ③在的两边上截取； ④画射线，以点为圆心，的长为半径画弧，在射线上截取，并以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点； ②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点； ①连接． 即为所求作的三角形． 画法正确的顺序是③④②①， 故选C． 18．如图，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理可得的度数，再证明，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 19．如图，在和中，，，再添加一个条件用“”使成立，那么添加的条件是______． 【答案】 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定．已知两个三角形的两组对应边相等，用“SAS”使成立，需添加． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 20．如图，在和中，，，在不添加任何辅助线的条件下，可以判断，则判定这两个三角形全等的依据是__________． 【答案】/边边边 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握证明全等三角形的判定定理．根据已知条件结合公共边，即可根据“”证明两三角形全等即可． 【详解】解：在和中， ， ∴． 故答案为：． 21．如图，四边形中，，连接，请你添加一个条件______（写出一种即可），可以根据“”得到． 【答案】（或） 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，根据题意两个直角三角形的斜边为公共边，因此只需要条件一组直角边对应相等即可． 【详解】解：∵， ∴和都是直角三角形， 当时，又∵， ∴， 当时，又∵， ∴． 22．如图，在中，D为上一点，E为的中点，连接并延长至点F，使得，连接．求证：． 【答案】证明：∵E为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【知识点】内错角相等两直线平行、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】先结合线段的中点得，再结合以及对顶角相等，证明，故，再根据内错角相等得出两直线平行，即． 【详解】略 23．如图，，，． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴； (2) 证明：∵，，， ∴． 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、等式的性质1 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，等式的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据等式的性质即可证明； （2）根据即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 24．已知：如图，，．求证： (1)； (2)（要求不用三角形全等证明）． 【答案】(1) 证明：∵， ∴与均为直角三角形， 在与中， ， ∴， ∴． (2) 证明：∵， ∴平分， ∵， ∴，， ∴． 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）证明，即可证得结论； （2）根据角平分线的性质，即可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 25．如图，在四边形中，点E在边上，，且平分，F是四边形外一点，连接，． (1)和全等吗？请说明理由； (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)解：，理由如下： ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴． (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）先得出，再根据定理即可得证； （2）先得出，，再得出，然后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）略． （2）解：由（1）已得：， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 26．如图所示的网格是正方形网格，正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．将与全等，并与有且只有一条边重合的格点三角形称为的“友好格点三角形”． (1)画出以为公共边的的所有“友好格点三角形”； (2)共有________个“友好格点三角形”． 【答案】(1) 如图,,为所求． (2)7 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、格点作图题 【分析】本题考查了新定义，全等三角形的性质，理解新定义是解答关键. （1）根据新定义画出图形即可； （2）根据新定义和全等三角形的性质画出图形来求解． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意画图如下，的“友好格点三角形”有,,，，，，共7个． 故答案为：7． 27．如图1，为外部一点，连接，已知．现在要求用尺规作图“在内求作一点，使．”下面是两位同学的过程． (1)嘉嘉采用了图2的尺规作图，根据作图痕迹，得到的判定依据是__________；（用字母表示） (2)琪琪想通过“”得到， ①请你帮助她在图1中用尺规作图进行实现；（保留作图痕迹，不写作法） ②求证：． 【答案】(1) (2) ①如图，点M即为所求． ②证明：在中，， 在中，． ∵， ∴． ∴ ． ∴． 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、尺规作图——作三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）由作图知，，，根据即可证明； （2）①根据题意，以点A为圆心，为半径画弧，再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，连接，故，所以利用“”得到； ②结合全等三角形的判定可得，在和中，利用三角形内角和定理可得． 【详解】（1）解：由作图知，，，又， ∴， 故答案为：； （2）解：①略； ②略． 28．如图，在中，，平分，于点E，点F在上且满足． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：∵平分， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， (2) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)54 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、全等三角形的性质、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）利用证明； （2）得到，再利用证明可证明； （3）由全等三角形的性质得到，，则可证明，据此计算求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，用（）证明三角形全等（或者），全等的性质和综合（）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $