13.3.1三角形的内角【精讲精练-分层训练】同步讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦三角形内角和定理（180°）及其证明，系统梳理直角三角形两锐角互余的性质与判定方法，为后续多边形内角和推导奠定基础，构建从基础概念到应用拓展的知识支架。 通过剪拼、测量等操作活动培养学生动手能力与逻辑推理能力，题型分层设计（基础、拔高、拓展）结合中考真题，助力学生用数学眼光观察几何图形，用数学思维解决折叠、三角板摆放等问题，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺。

13.3.1三角形的内角 学习目标与重难点 1、理解并掌握三角形内角和定理，能利用该定理进行角度的计算和简单的证明。 2、了解直角三角形的两个锐角互余的性质，能利用该性质解决直角三角形中的角度问题。 3、通过剪拼、测量等操作活动，体验数学探究的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力。 4、能运用三角形内角和定理解决生活中的实际问题，如求解多边形内角和的基础推导等。 教学重点：三角形内角和定理的理解与应用；直角三角形两锐角互余的性质。 教学难点：三角形内角和定理的证明过程（尤其是辅助线的添加方法，如过顶点作平行线）；在复杂的几何图形中，灵活运用内角和定理结合方程思想求解角度。 教材核心知识解读 知识点1 三角形内角和定理 1. 三角形内角和定理的内容： 三角形的三个内角之和等于 180° 。 即若三角形的角是∠A、∠B、∠C，则∠A＋∠B＋∠C＝ 180° 。 2. 三角形内角和定理的证明： 证明思路：过三角形任意一个顶点作对边的平行线即可证明。 如图：过点A作DE平行于BC。 ∵DE∥BC ∴∠B＝ ∠DAB ；∠C＝ ∠EAC 。 ∵∠DAB＋∠EAC＋∠BAC＝ 180° 。 ∴∠B＋∠BAC＋∠C＝ 180° 。 【拓展】三角形内角和的倒角模型： 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4． 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D． 知识点2 直角三角形的性质及判定 1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余． 在△ABC 中，∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°． 2.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 在△ABC中，∵∠A+∠B=90°,∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形 ． 核心题型◆归纳 题型01 利用三角形的内角和求角度 题型02 直角三角形的性质 题型03 直角三角形的判定 题型04 三角形的内角和与直角三角板 题型05 三角形同一个顶点的高线与角平分线 题型06 三角形的折叠问题 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 链接中考 题型解析◆精准备考 题型01 利用三角形的内角和求角度 【典例1】已知三角形的一个内角是50°，另两个内角的度数比为2：3，则最大内角的度数是（　　） A．75° B．78° C．80° D．85° 【变式1】若△ABC三个角的大小满足∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠A的度数为（　　） A．40° B．60° C．80° D．100° 题型02 直角三角形的性质 【典例1】在直角三角形中，一个锐角为38°，则另一个锐角等于　 　 °． 【变式1】如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠B＝39°，则∠1的度数为（　　） A．39° B．51° C．38° D．52° 题型03 直角三角形的判定 【典例1】具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C 【变式1】在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型04 三角形的内角和与直角三角板 【典例1】如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α≠∠β的图形有（　　） A． B． C． D． 【变式1】将一副三角板按照如图方式摆放，则∠BGE的度数为（　　） A．65° B．75° C．85° D．105° 题型05 三角形同一个顶点的高线与角平分线 【典例1】如图，若AE是△ABC边上的高，∠EAC的角平分线AD交BC于D，∠ACB＝40°，则∠DAE等于（　　） A．50° B．40° C．35° D．25° 【变式1】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝40°，∠B＝35°，则∠2的度数为（　　） A．15° B．25° C．35° D．45° 题型06 三角形的折叠问题 【典例1】如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B'处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（　　） A．30° B．37° C．54° D．63° 【变式1】如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 1．如图，是一个缺角的残片，量得，则此三角形残缺的部分为（   ） A． B． C． D． 2．如图，x的值是（     ） A．33 B．34 C．67 D．69 3．在中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线，线段和线段垂直于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．将三角尺按如图位置摆放，顶点落在直线上，顶点落在直线上．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．， 7．一个三角形的两个内角分别为和，那么这个三角形的第三个内角度数为______． 8．如图，在中，于点D，平分．若，，则的度数为________． 9．在直角三角形中，有一个锐角是，则这个三角形中的另一个锐角的度数为_______°． 10．如图，在中，若，于点，则______． 11．如图，中，是上的高，平分，，，求的度数． 12．如图，已知，求的度数． 13．如图，一把直尺的边缘经过一块三角板的直角顶点，交斜边于点，直尺的边缘分别交，于点，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 14．如图，一束光线照射到平面镜上，然后在平面镜和之间来回反射，光线的反射角等于入射角．若，则的度数为（　　） A．50° B．55° C．63° D．65° 15．已知中．，，则（   ） A． B． C． D． 16．如图，直线，直线分别与直线，相交于点E，F，于点M，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 17．如图，在中，平分，平分，如果，那么______°． 18．如图，直角三角形卡纸，将纸片沿折叠，若，则的度数为___________ 19．把一块直尺与一块三角板按如图所示的方式放置．若，则的度数是______． 20．如图，，，是边上的高，是的角平分线． (1)求的度数； (2)是的角平分线，与交于点．求的度数． 21．如图：已知和一块含角的直角三角尺． (1)如图，三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数； (2)如图，三角尺的两个锐角的顶点、分别放在和上，若，求的度数． 22．【问题背景】（1）小明在学习多边形时，把如图1的图形看成“8”字形，并得出如下结论：，请你说明理由； 【尝试应用】（2）如图2，、分别平分、，若，，求的度数； 【拓展延伸】（3）如图3，已知，，，，其中，且为整数，请利用上述结论或方法直接写出的度数．（用含n，，的代数式表示） 23．如图所示，有一块直角三角板（足够大），其中，把直角三角板放置在锐角上，三角板的两边，恰好分别经过点，． (1)若，则 ， ， ； (2)若，则 ； (3)请探究与的数量关系． 解：在中，，（ ）（写出依据） 在中，，（ ）（写出依据） ∴， ∴ ． 链接中考 1．（2026·山东东营·中考真题）随着地摊经济的蓬勃发展，街巷夜市充满了烟火气．某夜市摊主使用的折叠方桌（如图（1））结构稳固、方便收纳，将其展开后可抽象为如图（2）所示的图形．已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，把一块直角三角板放置在直线、之间，点B、C分别落在直线、上，若，则（） A． B． C． D． 3．（2026·四川凉山·中考真题）如图，，，若，则（     ） A． B． C． D．． 4．（2026·上海·中考真题）在等腰三角形（）中，，则的度数为________． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.3.1三角形的内角 学习目标与重难点 1、理解并掌握三角形内角和定理，能利用该定理进行角度的计算和简单的证明。 2、了解直角三角形的两个锐角互余的性质，能利用该性质解决直角三角形中的角度问题。 3、通过剪拼、测量等操作活动，体验数学探究的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力。 4、能运用三角形内角和定理解决生活中的实际问题，如求解多边形内角和的基础推导等。 教学重点：三角形内角和定理的理解与应用；直角三角形两锐角互余的性质。 教学难点：三角形内角和定理的证明过程（尤其是辅助线的添加方法，如过顶点作平行线）；在复杂的几何图形中，灵活运用内角和定理结合方程思想求解角度。 教材核心知识解读 知识点1 三角形内角和定理 1. 三角形内角和定理的内容： 三角形的三个内角之和等于 180° 。 即若三角形的角是∠A、∠B、∠C，则∠A＋∠B＋∠C＝ 180° 。 2. 三角形内角和定理的证明： 证明思路：过三角形任意一个顶点作对边的平行线即可证明。 如图：过点A作DE平行于BC。 ∵DE∥BC ∴∠B＝ ∠DAB ；∠C＝ ∠EAC 。 ∵∠DAB＋∠EAC＋∠BAC＝ 180° 。 ∴∠B＋∠BAC＋∠C＝ 180° 。 【拓展】三角形内角和的倒角模型： 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4． 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D． 知识点2 直角三角形的性质及判定 1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余． 在△ABC 中，∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°． 2.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 在△ABC中，∵∠A+∠B=90°,∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形 ． 核心题型◆归纳 题型01 利用三角形的内角和求角度 题型02 直角三角形的性质 题型03 直角三角形的判定 题型04 三角形的内角和与直角三角板 题型05 三角形同一个顶点的高线与角平分线 题型06 三角形的折叠问题 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 链接中考 题型解析◆精准备考 题型01 利用三角形的内角和求角度 【典例1】已知三角形的一个内角是50°，另两个内角的度数比为2：3，则最大内角的度数是（　　） A．75° B．78° C．80° D．85° 【答案】B 【解答】解：设另两个内角的度数分别为2x，3x， 根据题意得：50°+2x+3x＝180°， 解得：x＝26°， ∴2x＝2×26°＝52°，3x＝3×26°＝78°， ∵50°＜52°＜78°， ∴最大内角的度数是78°． 故选：B． 【变式1】若△ABC三个角的大小满足∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠A的度数为（　　） A．40° B．60° C．80° D．100° 【答案】A 【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝2：3：4，且∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A180°＝40°． 故选：A． 题型02 直角三角形的性质 【典例1】在直角三角形中，一个锐角为38°，则另一个锐角等于　52　 °． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：在直角三角形中，一个锐角为38°，则另一个锐角等于90°﹣38°＝52°． 故答案为52． 【变式1】如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠B＝39°，则∠1的度数为（　　） A．39° B．51° C．38° D．52° 【答案】B 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝39°， ∴∠A＝51°， ∵EF∥AB， ∴∠1＝∠A， ∴∠1＝51°， 故选：B． 题型03 直角三角形的判定 【典例1】具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C 【答案】D 【解答】解：A选项，∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，不符合题意； B选项，∠A﹣∠B＝∠C，即2∠A＝180°，∠A＝90°，为直角三角形，不符合题意； C选项，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，即∠A+∠B＝∠C，同A选项，不符合题意； D选项，∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，符合题意． 故选：D． 【变式1】在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解答】解：①因为∠A+∠B＝∠C，则2∠C＝180°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形； ②因为∠A：∠B：∠C＝1：2：3，设∠A＝x，则x+2x+3x＝180，x＝30°，∠C＝30°×3＝90°，所以△ABC是直角三角形； ③因为∠A＝90°﹣∠B，所以∠A+∠B＝90°，则∠C＝180°﹣90°＝90°，所以△ABC是直角三角形； ④因为∠A＝∠B∠C，所以∠A+∠B+∠C∠C∠C+∠C＝180°，则∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形； ⑤因为3∠C＝2∠B＝∠A，∠A+∠B+∠C∠A∠A+∠A＝180°，∠A，所以△ABC为钝角三角形． 所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③④共4个， 故选：C． 题型04 三角形的内角和与直角三角板 【典例1】如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α≠∠β的图形有（　　） A．B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、∠α＝∠β＝45°，故不符合题意； B、根据同角的余角相等，得∠α＝∠β，故不符合题意； C、根据三角尺的特点和摆放位置得：∠α+45°＝180°，∠β+45°＝180°， ∴∠α＝∠β，故不符合题意； D、根据图形可知∠α与∠β是邻补角， ∴∠α+∠β＝180°，∠α≠∠β，故符合题意； 故选：D． 【变式1】将一副三角板按照如图方式摆放，则∠BGE的度数为（　　） A．65° B．75° C．85° D．105° 【答案】B 【解答】解：∵将一副三角板按照如图方式摆放， ∴∠BCF＝60°，∠EAD＝45°， ∴∠AGC＝180°﹣∠BCF﹣∠EAD＝75°， ∴∠BGE＝∠AGC＝75°， 故选：B． 题型05 三角形同一个顶点的高线与角平分线 【典例1】如图，若AE是△ABC边上的高，∠EAC的角平分线AD交BC于D，∠ACB＝40°，则∠DAE等于（　　） A．50° B．40° C．35° D．25° 【答案】D 【解答】解：∵AE是△ABC边上的高，∠ACB＝40°， ∴∠CAE＝90°﹣∠ACB＝90°﹣40°＝50°， ∴∠DAE∠CAE50°＝25°． 故选：D． 【变式1】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝40°，∠B＝35°，则∠2的度数为（　　） A．15° B．25° C．35° D．45° 【答案】B 【解答】解：∵AE平分∠BAC，∠1＝40°， ∴∠BAC＝2∠1＝2×40°＝80°． 在△ABC中，∠B＝35°，∠BAC＝80°， ∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣35°﹣80°＝65°． ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠2＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣90°﹣65°＝25°． 故选：B． 题型06 三角形的折叠问题 【典例1】如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B'处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（　　） A．30° B．37° C．54° D．63° 【答案】C 【解答】解：∵△BMN沿MN折叠，使点B落在点B'处， ∴△BMN≌△B'MN， ∴∠BMN＝∠B'MN， ∵∠B＝35°，∠BNM＝28°， ∴∠BMN＝180°﹣35°﹣28°＝117°，∠AMN＝35°+28°＝63°， ∴∠AMB'＝∠B'MN﹣∠AMN＝117°﹣63°＝54°， 故选：C． 【变式1】如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 【答案】D 【解答】解：三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°， 根据三角形内角和定理可得： ∠C＝∠C'＝180°﹣65°﹣70°＝45°； 如图，设C'D与BC交于点O， 则∠2＝∠C+∠DOC，∠DOC＝∠1+∠C'， 则∠2＝∠C+∠1+∠C'＝45°+20°+45°＝110°． 故选：D． 1．如图，是一个缺角的残片，量得，则此三角形残缺的部分为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求出的度数，即可选出答案． 【详解】解：∵缺角的另外的两个角， ∴， 则缺角的的残片为 故选∶B 2．如图，x的值是（     ） A．33 B．34 C．67 D．69 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形内角和是，由此即可计算，关键是掌握三角形内角和定理． 【详解】解：由三角形内角和定理得：， ∴． 故选：A． 3．在中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，一元一次方程的应用，根据得出，然后根据三角形的内角和定理列方程求解即可． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴ ∴． 故选：B． 4．如图，直线，线段和线段垂直于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，直角三角形的性质，由平行线的性质得，由垂线的定义得，进而根据直角三角形的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 5．将三角尺按如图位置摆放，顶点落在直线上，顶点落在直线上．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，平行线的性质，掌握平行线的性质求角度的计算是关键． 根据题意，得到，根据平行线的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， ， ∴， ∵， ∴， 故选：C ． 6．下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．， 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和，根据三角形内角和定理，直角三角形的判定逐项判断即可，掌握三角形内角和定理及直角三角形的定义是解题的关键． 【详解】、由题意可设三角形的三个内角度数分别为、、， ∴， ∴，故三角形三个内角的度数分别为、、， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 、设，，（为正数）， ∵， ∵， ∴， ∴，，， ∴此选项中不是直角三角形，符合题意； 、∵，， ∴， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 故选：． 7．一个三角形的两个内角分别为和，那么这个三角形的第三个内角度数为______． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形内角和为． 利用三角形内角和定理，用减去已知的两个内角的度数，即可求出第三个内角的度数． 【详解】第三个内角， 故答案为：． 8．如图，在中，于点D，平分．若，，则的度数为________． 【答案】12 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的角平分线的定义，先求解，，，再进一步求解即可. 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴． 在中，， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为： 9．在直角三角形中，有一个锐角是，则这个三角形中的另一个锐角的度数为_______°． 【答案】60 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余．根据直角三角形两个锐角之和为计算即可求解． 【详解】解：直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是． 故答案为：60． 10．如图，在中，若，于点，则______． 【答案】20 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：20． 11．如图，中，是上的高，平分，，，求的度数． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，结合平分可求出的度数，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，再结合即可求出结论． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵平分， ∴， 在中，，， ∴，， ∴． 12．如图，已知，求的度数． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余得到，，再由平角即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 13．如图，一把直尺的边缘经过一块三角板的直角顶点，交斜边于点，直尺的边缘分别交，于点，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，由题意得，进而由平行线的性质得，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 14．如图，一束光线照射到平面镜上，然后在平面镜和之间来回反射，光线的反射角等于入射角．若，则的度数为（　　） A．50° B．55° C．63° D．65° 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了光线的反射角等于入射角的性质、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决问题的关键． 由光线的反射角等于入射角得出，，由平角的定义和三角形内角和定理求出，即可得出结果． 【详解】解：根据题意，得 ，， ∴． 故选：C． 15．已知中．，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形的性质是解题的关键．根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】解：中．，， ∴， 故选：D． 16．如图，直线，直线分别与直线，相交于点E，F，于点M，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质，根据直角三角形的两个锐角互余得出，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴ 故选：B． 17．如图，在中，平分，平分，如果，那么______°． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 利用三角形内角和定理求出，再根据三等分线的定义求出，即可求出． 【详解】， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 18．如图，直角三角形卡纸，将纸片沿折叠，若，则的度数为___________ 【答案】/38度 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查了三角形折叠问题和三角形内角和，解题关键是根据折叠得出角相等，利用三角形内角和求解．由题意得，由折叠得，那么，故，进而推断出，从而求得． 【详解】解：由题意得：， 由折叠得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 19．把一块直尺与一块三角板按如图所示的方式放置．若，则的度数是______． 【答案】/128度 【知识点】三角板中角度计算问题、利用邻补角互补求角度、根据平行线的性质求角的度数、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查平行线的性质、直角三角形的两个锐角互余，根据平行线的性质、直角三角形的两个锐角互余，结合邻补角求解即可． 【详解】解：如图， 由题意，，，， ∵， ∴，则， ∴， ∴， 故答案为：． 20．如图，，，是边上的高，是的角平分线． (1)求的度数； (2)是的角平分线，与交于点．求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，三角形高线的定义，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为． （1）根据角平分线定义求出，根据是边上的高， 得出，然后在中，利用直角三角形的两锐角互余求得的度数，根据即可求解； （2）根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出，进而根据外角的性质求出． 【详解】（1）解：在中，，是的平分线， ， 是边上的高， ， ， ， 即的度数为； （2）解：是的角平分线， ， ，， ， ， 即的度数为． 21．如图：已知和一块含角的直角三角尺． (1)如图，三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数； (2)如图，三角尺的两个锐角的顶点、分别放在和上，若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查了平行线的性质、直角三角形的两个锐角互余．解决本题的关键是根据平行线的性质和直角三角形的两个锐角互余找角之间的关系． （1）设，则，根据平行线的性质可知，根据平角的定义可知，解方程即可求出的度数． （2）根据两直线平行同旁内角互补可得：，根据直角三角形的两个锐角互余可得：，所以可得：，又因为，可以求出． 【详解】（1）解：设，则， ， ， 由已知可得：， ， 解得：， ； （2）解：， ， 即， 又， ， ． 22．【问题背景】（1）小明在学习多边形时，把如图1的图形看成“8”字形，并得出如下结论：，请你说明理由； 【尝试应用】（2）如图2，、分别平分、，若，，求的度数； 【拓展延伸】（3）如图3，已知，，，，其中，且为整数，请利用上述结论或方法直接写出的度数．（用含n，，的代数式表示） 【答案】 （1）证明：和， ，． ， （2）30°    （3） 【知识点】角平分线的有关计算、对顶角相等、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等，利用类比的思想解答是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理，对顶角相等，即可求证； （2），得，再由角平分线的定义，得到 ，即可求解； （3）利用（1）的结论及（2）的思路得、；结合、，推出、；代入得到含、、的两个等式①②；对①式乘后与②式相加，消去、，整理得 。 【详解】（1）略 （2）分别平分， ， 由（1）可知： 由①+②可得， ，即， ，， ． （3）直接写出结论：． 由（1）可知：， ， ，， ，， ①， ②， 由①②得： ， ． 23．如图所示，有一块直角三角板（足够大），其中，把直角三角板放置在锐角上，三角板的两边，恰好分别经过点，． (1)若，则 ， ， ； (2)若，则 ； (3)请探究与的数量关系． 解：在中，，（ ）（写出依据） 在中，，（ ）（写出依据） ∴， ∴ ． 【答案】(1)；；． (2) (3) 三角形的内角和等于；直角三角形的两锐角互余；． 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和为． （1）根据三角形内角和定理可得，，进而整理可求出的度数； （2）根据三角形内角和定理可得，，进而整理可求出的度数； （3）根据三角形内角和定理有，整理得． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ∵在中，， ， ． 故答案为：；；． （2）解：∵在中，， ， ∵在中，， ， ． 故答案为：． （3）略 链接中考 1．（2026·山东东营·中考真题）随着地摊经济的蓬勃发展，街巷夜市充满了烟火气．某夜市摊主使用的折叠方桌（如图（1））结构稳固、方便收纳，将其展开后可抽象为如图（2）所示的图形．已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何图形中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】根据邻补角的性质得到，再利用两直线平行，内错角相等得到，结合三角形内角和求出，进而利用对顶角相等求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 2．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，把一块直角三角板放置在直线、之间，点B、C分别落在直线、上，若，则（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】根据平行线的性质以及直角三角形两锐角互余的性质，建立角度之间的等量关系进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 由图可知，， ∴， ∵为直角三角板，， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（2026·四川凉山·中考真题）如图，，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两直线平行同旁内角互补、直角三角形的两个锐角互余 【分析】根据垂直定义得出，由平行线的性质得出，从而可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． 4．（2026·上海·中考真题）在等腰三角形（）中，，则的度数为________． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题分是顶角，是底角两种情况，结合等腰三角形性质，三角形内角和定理和已知条件，排除不符合条件的情况后求解． 【详解】已知等腰中，，且． 若是顶角，则，所以，符合； 若是底角，当是顶角时，，所以，符合； 当是顶角时，，与矛盾，故舍去． 综上，的度数为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $