精品解析：四川成都市武侯区西川实验学校2026-2027学年 九年级上学期入学考数学试题

定时练习1 A卷（100分） 一．选择题（共8小题）（32分） 1. 下列博物馆标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解∶A．是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义．因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此对各项进行判断即可． 【详解】解：A、是单项式乘多项式的运算，不符合题意； B、右边结果不是积的形式，不符合题意； C、是多项式与多项式的乘法运算，不符合题意； D、属于因式分解，符合题意． 故选：D． 3. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据移项，配方，变形的步骤进行配方后，判断即可． 【详解】解： ∴； 故选D． 4. 如图，直线，直线和被直线，，所截，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理可得：，把，，代入即可求出的长． 【详解】解：直线， ， ，，， ， . 5. 下列选项中不能判定成为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 添加 ， ∴ ， ∴四边形是矩形； 添加， ∴为矩形，A、B不符合题意． 添加， ∴ 为矩形，C不符合题意． 当 时，不能判定 为矩形，D符合题意． 6. 如图，菱形的对角线与相交于点，且，则该菱形的周长是（ ） A. B. 8 C. D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质和勾股定理求得即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， 在中，， ∴该菱形的周长是． 7. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0和根的判别式与根的情况的关系，即可求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 8. 已知关于的二次函数的图象上有三个点：，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合二次函数的开口方向与对称轴，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线． ∵， ∴抛物线开口向下，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小． 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 二．填空题（共5小题）（20分） 9. 若，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】将等式左边拆分变形，结合已知即可求出的值． 【详解】解：，又， ∴，则． 10. 一元二次方程的一个解为，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】把代入原一元二次方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个解， ∴将代入方程， 得， 整理得， 解得． 11. 抛物线的顶点坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线已给出顶点式形式，对照顶点式的结构即可直接得到顶点坐标． 【详解】解： 抛物线的顶点坐标为． 12. 如图，是矩形对角线的中点，是的中点，，则的长为_____ 【答案】## 【解析】 【分析】先根据中位线的性质求出，再根据勾股定理求出，最后根据直角三角形的性质求出的长． 【详解】解：∵是的中点，是的中点，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵，是的中点， ∴． 13. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于、两点；②分别以点为圆心，大于的一半长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交的延长线于点．连接，若，则的长为_____ 【答案】 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，，则，由作图过程可知，平分，可得．进而可得，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 由作图可知，平分， ， ， ， ， . 三．解答题（共8小题）（48分） 14. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）方程无法直接因式分解，可采用一元二次方程公式法求解； （2）方程，先变形，移项后提取公因式，使用因式分解法求解，不能直接两边同除含未知数的因式，避免丢失根． 【小问1详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴或， ∴，． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，． （1）作出以点为对称中心的图形； （2）平移，若点对应点的坐标为，画出平移后对应的； （3）过点作直线平分四边形的面积，并求出四边形的面积． 【答案】（1） （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）根据对称作图即可； （2）由题可知先向左平移2个单位，再向下平移6个单位，再根据平移作图即可； （3）连接、交于点，再连接即为所求直线，然后由平行四边形的面积公式计算面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：平移得到，即先向左平移2个单位，再向下平移6个单位， 则，，如图即为所求； 【小问3详解】 解：连接、交于点，再连接即为所求直线， 如图：略； 设直线分别交于， 四边形是平行四边形， ，，， ，又， ， ，又， ， 直线即为所求直线； 四边形的面积为． 16. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根． 【答案】（1）证明：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴ ， ∵不论为何值，，即， ∴不论为何值，该方程总有两个实数根； （2），方程的另一个根为． 【解析】 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）先把代入原方程求解m，代入原方程，求解另一个根即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：把代入，得： ， 解得：． 则方程为， 方程变为：， 或， 解得：，， ∴方程的另外一个根为2． 17. 如图，菱形的对角线相交于点，点是中点，延长线段至点，使，连接，，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，． ∵点是中点， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先运用菱形的性质结合得出，，再通过点是中点、推出四边形是平行四边形，等量代换推出四边形是平行四边形，最后通过证明平行四边形是矩形即可； （2）先通过菱形的性质推出为等边三角形，结合运用三线合一求出的值，再通过菱形的性质和矩形的性质推出的值，最后根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴． ∵， ∴，． 在中，由勾股定理，得， ∴． 由（1）得，四边形是矩形， ∴，． ∵在中，， ∴． 18. 如图，在中，，对角线，交于点，过点作的垂线分别交于点． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积； （3）求的值（用含的式子表示）． 【答案】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，即可求证； （2）过点A作于点G，根据直角三角形的性质可得，，再结合平行四边形的性质可得四边形的面积为，即可求解； （3）过点B作交的延长线于点H，设，则，根据直角三角形的性质可得，，再由垂直平分，可得，从而得到，进而得到，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点A作于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， 由（1）得：， ∴ ∴四边形的面积为； 【小问3详解】 解：过点B作交的延长线于点H， 设，则， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． B卷（50分） 一．填空题（共5小题）（20分） 19. 设是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再展开所求式子后整体代入计算. 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴根据根与系数的关系可得，， ∴. 20. 如图，在中，分别是边和上的点，且，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据可得，再由相似三角形的性质得到即可求解的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 在矩形中，，分别是边的中点，点在对角线上（如图），如果四边形是矩形，那么的长等于_____． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，，， 设与交于点，由四边形是矩形，，可得，可证明四边形、是平行四边形，，，再由四边形是矩形，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，， 设与交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵分别是边的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 22. 如图，正方形中，为边的一动点（不与点重合），作等腰梯形，其中，与交于点，若，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：如图，延长、交于点，作于点，连接、，设正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 23. 在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线，交直线于点，交直线于点，已知在点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，则的取值范围为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据垂线性质得、的横坐标均为，代入直线方程得到纵坐标，推导的长度表达式，分和两种情况，结合随长度增大而增大的条件求解的范围． 【详解】解：∵过点作轴的垂线，交两条直线于， ∴， 将代入，得，即， 将代入，得，即， ∴， 设的长为，则，， ∵点从运动到， ∴的取值范围是， 分情况讨论： ①当时，，， 代入得， ∵的长随的长的增大而增大， ∴需要在范围内，随增大而增大， 即在上恒成立， ∴当取最小值时，， 解得； ②当时，，，代入得 ， ∵， ∴， 又， ∴， ， ∵的系数为， 随增大而增大恒成立，符合条件； 综上，的取值范围为或． 二．解答题（共3小题） 24. 某校组织全体九年级学生开展“共植一抹绿，一起上春山”活动．经过前期调研，学校决定分两批购买树苗共800棵．第一批用9000元购买了相同数量的甲、乙两种树苗，每棵甲种树苗的价格比每棵乙种树苗的价格少30元，购买甲种树苗的费用是购买乙种树苗费用的一半． （1）求购买一棵甲种树苗、一棵乙种树苗各需要多少元． （2）学校在购买第二批树苗时，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，乙种树苗的售价打九折．若要求第二批购买的甲种树苗数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使第二批购买树苗的费用最少？ 【答案】（1） 购买一棵甲种树苗需要30元，购买一棵乙种树苗需要60元 （2） 第二批购买甲种树苗400棵、乙种树苗200棵时，购买树苗的费用最少 【解析】 【分析】（1）先根据总费用和甲、乙费用的比例关系，分别求出第一批购买甲、乙树苗的总费用，再结合两种树苗数量相等列分式方程求解单价； （2）先计算第一批树苗总数量，得到第二批树苗总数量，设第二批乙种树苗数量为棵，用含的式子表示总费用，结合甲种树苗数量不超过乙的2倍的条件求的取值范围，再根据费用的变化规律确定费用最少的方案． 【小问1详解】 解： ∵ 第一批购买树苗总费用为9000元，购买甲种树苗的费用是乙种的一半， ∴ 购买甲种树苗的总费用为元， 购买乙种树苗的总费用为  元 设购买一棵甲种树苗需要元，则购买一棵乙种树苗需要元 由题意得， 两边同乘，得， 解得 检验：当时，， 故是原方程的解， ∴， 答：购买一棵甲种树苗需要30元，购买一棵乙种树苗需要60元； 【小问2详解】 （2）由（1）得，第一批购买甲种树苗棵，乙种树苗100棵， ∴第一批共购买树苗棵 ∵两批共购买树苗800棵， ∴第二批购买树苗总数量为 棵 设第二批购买乙种树苗棵，则购买甲种树苗棵，总费用为元， 乙种树苗打九折后单价为元 ∴ ∵第二批甲种树苗数量不超过乙种树苗数量的2倍， ∴， 解得 ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值 此时 答：第二批购买甲种树苗400棵、乙种树苗200棵时，购买树苗的费用最少． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1．点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，连接，，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）面积的最大值为，此时点的坐标为 （3）存在，点Q的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答； （2）先求出直线的解析式，证明为等腰直角三角形，则，设，则，可得，即可求解； （3）分两种情况：当点Q在上方时， 当点Q在下方时，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：对于， 当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， 当时，取得最大值，此时点，的面积最大，最大值为； 【小问3详解】 解：存在． 当点Q在上方时，作点关于y轴的对称点，过点B作交抛物线于点Q，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，此时点Q符合题意， 设直线的解析式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点Q的坐标为； 当点Q在下方时，作点，直线与抛物线交于点， 同理直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， 联立得：， 解得：或， ∴点的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 26. 菱形中，，点是菱形所在平面内一点，连接，． （1）如图1，当时，满足，垂足为点，若，求四边形的面积； （2）如图2，当时，在上取一点，连接，，若．猜想并用等号表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； （3）点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，点在直线上运动的过程中，当的长度取最小值时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）解：，证明如下： 如图，连接，，设与交于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，，， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴ ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）首先利用菱形的性质求出，然后得到，求出，，进而得到，，，然后利用四边形的面积求解即可； （2）连接，，设与交于点，证明，得到，然后证明，得到，，推出是等边三角形，得到，然后等量代换求解即可； （3）将绕点B顺时针旋转得到，连接交于点H，证明，得到，然后判断出点M在垂直于的直线上运动，当时，取得最小值，此时点M为和的交点，如图，过点B作于点I，设，然后求出，，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴四边形的面积 ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接交于点H， 由旋转得，，，， ∴，即， ∴， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点M在垂直于的直线上运动， ∴当时，取得最小值． ∵， ∴， ∴此时点M为和的交点，如图，过点B作于点I， 设， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定时练习1 A卷（100分） 一．选择题（共8小题）（32分） 1. 下列博物馆标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是 A. B. C. D. 4. 如图，直线，直线和被直线，，所截，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 下列选项中不能判定成为矩形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，菱形的对角线与相交于点，且，则该菱形的周长是（ ） A. B. 8 C. D. 16 7. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 8. 已知关于的二次函数的图象上有三个点：，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题）（20分） 9. 若，则_____ 10. 一元二次方程的一个解为，则的值为_____． 11. 抛物线的顶点坐标为_____． 12. 如图，是矩形对角线的中点，是的中点，，则的长为_____ 13. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于、两点；②分别以点为圆心，大于的一半长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交的延长线于点．连接，若，则的长为_____ 三．解答题（共8小题）（48分） 14. 解方程： （1）； （2）． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，． （1）作出以点为对称中心的图形； （2）平移，若点对应点的坐标为，画出平移后对应的； （3）过点作直线平分四边形的面积，并求出四边形的面积． 16. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根． 17. 如图，菱形的对角线相交于点，点是中点，延长线段至点，使，连接，，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，求的长． 18. 如图，在中，，对角线，交于点，过点作的垂线分别交于点． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积； （3）求的值（用含的式子表示）． B卷（50分） 一．填空题（共5小题）（20分） 19. 设是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 20. 如图，在中，分别是边和上的点，且，则的长为_____． 21. 在矩形中，，分别是边的中点，点在对角线上（如图），如果四边形是矩形，那么的长等于_____． 22. 如图，正方形中，为边的一动点（不与点重合），作等腰梯形，其中，与交于点，若，则_____． 23. 在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线，交直线于点，交直线于点，已知在点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，则的取值范围为_____． 二．解答题（共3小题） 24. 某校组织全体九年级学生开展“共植一抹绿，一起上春山”活动．经过前期调研，学校决定分两批购买树苗共800棵．第一批用9000元购买了相同数量的甲、乙两种树苗，每棵甲种树苗的价格比每棵乙种树苗的价格少30元，购买甲种树苗的费用是购买乙种树苗费用的一半． （1）求购买一棵甲种树苗、一棵乙种树苗各需要多少元． （2）学校在购买第二批树苗时，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，乙种树苗的售价打九折．若要求第二批购买的甲种树苗数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使第二批购买树苗的费用最少？ 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1．点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，连接，，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 菱形中，，点是菱形所在平面内一点，连接，． （1）如图1，当时，满足，垂足为点，若，求四边形的面积； （2）如图2，当时，在上取一点，连接，，若．猜想并用等号表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； （3）点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，点在直线上运动的过程中，当的长度取最小值时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $