四川省成都实验外国语学校融通班2025-2026学年九年级上学期开学数学试卷

融通班数学周测（01） 满分120分 一、单选题（每小题4分，共32分） 1. 关于x的方程有两个根为、，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 3. 若等腰三角形的三边长均满足方程，则此三角形的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 9或12 D. 不能确定 4. 《感动中国2024年度人物》视频在上线后三天内，播放总次数达到8.9万次，其中第一天的播放量为2万次，若每天的播放量平均增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为和5，乙把常数项看错了，解得两根为和，则原方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是实数，且满足，则的值为（ ） A. 3 B. 3或 C. 或6 D. 6 7. 设关于x的方程在范围内有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，于点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、多选题（每小题4分，共12分） 9. 下列关于函数（为常数）的说法正确的是（ ） A. 该函数的图象与轴始终有两个交点 B. 该函数的图象与轴有一个或两个交点 C. 该函数的图象过一定点 D. 该函数的图象的对称轴为直线 10. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点位于，两点之间．下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若，为方程的两个根，则 D. 若抛物线与x轴的两交点和其顶点组成的三角形为等边三角形，则 11. 若函数的图象过点和．则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每小题4分，共12分） 12. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为__________． 13. 如图，把边长为5的正方形绕点逆时针旋转得到正方形与交于点的延长线交于点，交的延长线于点．若，则__________． 14. 阅读：求方程的正整数解．小张在解决此问题时从多个角度进行了思考，得到了多种解法，其中一种解法是：将方程化为，可知x为偶数，令（为正整数），代入得，即，由y为正整数可知，所以，原方程的正整数解为． 请你在下列两个问题中任选一个作答． 问题①：方程的正整数解是______； 问题②：方程的正整数解是______． 四、解答题（共4题，共64分） 15. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 16. 阅读下列材料： 已知实数、满足，试求的值． 解：设，则原方程可化为，即； 解得． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料为内容，解决下列问题： （1）若四个连续正整数的积为，直接写出这四个连续的正整数为 ． （2）已知实数、满足，求的值． （3）解方程． 17. 定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”________； （2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根________，________．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________； （3）已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 18. 定义：在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如都是“纵三倍点”． （1）有下列函数：①；②；③．其中，图象上只有一个“纵三倍点”的是_________（填序号）； （2）已知抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线对应的函数表达式； （3）若抛物线是常数，上有且只有一个“纵三倍点”，令，求的最值． 19. 我们约定；我们将关于的二次函数（，，，为常数）与称为“匀称二次函数”，根据该约定，解答下列问题： （1）若关于的二次函数与互为“匀称二次函数”，求，，的值； （2）二次函数（，，，为常数），二次函数与互为“匀称二次函数”，直线与、有且只有个交点，且交点分别为点、点、点，，请求出线段的长度： （3）二次函数，二次函数与互为“匀称二次函数”，过的顶点作直线，在直线上任意取一点，过点作轴的垂线，与、分别交于点、（点，，不重合），的最大值为，求的值． 融通班数学周测（01） 满分120分 一、单选题（每小题4分，共32分） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 二、多选题（每小题4分，共12分） 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题（每小题4分，共12分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. ， 四、解答题（共4题，共64分） 【15题答案】 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【16题答案】 【答案】（1），，， （2） （3） 【17题答案】 【答案】（1）； （2），，互为倒数； （3）， 【18题答案】 【答案】（1）①③ （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1），为任意实数，； （2）； （3）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $