第一次月考测试卷-【典创·单元学情诊断卷】2026-2027学年九年级上册数学（人教版·新教材）

第一次月考测试卷 题号 三 总分 得分 时间：120分钟 满分：120分 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的) 1.下列方程是一元二次方程的是 ( A.x2+1=0 B.2x2-3xy=-1 C.2-1=4 D.3x+1=2x-5 2.用公式法解方程3x2-7=-5x时，得x=口±二4×3x(-7万 ,则“口”处应填 2×3 A.-5 B.5 C.-7 D.7 3.由二次函数y=2(x-3)2+1,可知 A.其图象开口向下 B.其图象的对称轴为直线x=-3 C.其图象与y轴交点的纵坐标为1 D.当x<3时，y随x的增大而减小 4.二次函数y=x2-9的图象与x轴交于A,B两点，则线段AB的长是 A.3 B.6 C.9 D.18 5.嘉嘉绘制抛物线y=3x2+1时，将“3”看成“-3”，和原图象相比，发生改变的是 A.开口方向 B.对称轴 C.开口大小 D.与y轴的交点 6.定义运算：a⑧b=(a+2b)(a-b),例如4⑧3=(4+2×3)×(4-3)=10，则函数y=(x+1)⑧ 2的最小值为 A.-21 C.-7 B.-9 D.-5 7.若实数a,b(a≠b)满足a2-2a-2=0,b2-2b-2=0,则 A.a+b=2,a2+2b>0 B.a+b=2,a2+2b<0 C.a+b=-2,a2+2b>0 D.a+b=-2,a2+2b<0 .17. 8.已知一次函数y=ax-b的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+b在平面直角坐标系中的图 象可能是 (第8题图) 9.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).①若a-b+c=0,则该方程一定有一个根为x= -1;②若方程的两个根为-1和2，则a和c的数量关系为2a+c=0.下列判断正确的是（) A.①②的说法都正确 B.①②的说法都错误 C.①的说法错误，②的说法正确 D.①的说法正确，②的说法错误 10.2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了12个小组，在小组赛中，每支球队 都要和组内其他球队进行一场比赛，小莹了解到本届世界杯小组赛共有72场，但不知道每个 小组有几支球队，若设每个小组有x支球队，则可列方程为 A.x(x-1)=72 B. 2x(x-1)=72 C.(x-1)×12=72D.号(x-1)×12=72 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.已知m≠n,m2+2012m=2021,n2+2012n=2021,则mn= 12.若(x2+y2)(x2+y2-1)-6=0,则x2+y2的值是 ·18. 13.小明以二次函数y=2x2-4x+8的图象为灵感为某葡萄酒大赛设计了一款杯子，如图所示为 杯子的设计稿，若AB=4,DE=4,则杯子的高CE为 C B D E 第13题图) (第15题图) 14.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1,与x轴交于A,B两点，若B点坐标是 (-4,0),则方程ax2+bx+c=0的两根是 15.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=(x-h)2与x轴只有一个交点M,与平行于x轴的直线 l交于A,B两点，若AB=4,则点M到直线1的距离为 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骠骤或推理过程） 16.（本小题10分) 解方程. (1)(2x+3)2-25=0; (2)(x+2)2-10(x+2)+25=0. 19· 17.（本小题8分) 在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为(2，-4)，且经过点(1，-7). (1)求该抛物线的解析式； (2)将(1)中的抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，直接写出平移后 的抛物线的解析式。 18.（本小题8分) 已知x1,x2是方程2x2-5x+1=0的两实数根. (1)求方程判别式的值； (2)求x1x2+xx2和x1-x2的值， ·20· 19.(本小题8分) 已知抛物线y=-x2与直线y=3x+h都经过点(1，k) (1)求h,k的值； (2)如果一条过原点且对称轴是y轴的抛物线恰好经过点(h,k),请确定此抛物线的解析式， 20.(本小题8分) 已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0. (1)求证：无论k取何值，该方程总有两个实数根； (2)若等腰三角形ABC的一条边长为a=3,另两条边长b,c恰好是这个方程的根，求△ABC的 周长， ·21· 21.（本小题8分) 某公园雕塑OA的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形.测得雕塑OA的高度为 2m,当喷出的水柱与OA的水平距离为4m时，达到最大高度3.6m.以点O为原点，OA所在 直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）. (1)求水柱所在抛物线的函数解析式； (2)求水柱落地点与雕塑OA的水平距离. 0 B x (第21题图)》 ·22· 22.（本小题12分) 某体育用品商店购进一批球衣，每件的进价为80元，出于营销考虑，要求每件球衣的售价不低 于80元且不高于150元.在销售过程中发现，球衣每周的销售量y(单位：件)与每件球衣的售 价x(单位：元)之间满足的函数关系如图所示. (1)求y关于x的函数解析式及x的取值范围； (2)当球衣的销售单价为多少元时，每周销售球衣所获利润为2700元？ y/件1 110 100 90100 x/元 (第22题图) ·23· 23.（本小题13分) 如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C(0,3). (1)求抛物线的解析式； (2)连接BC,点P为抛物线上第一象限内一动点，当△BCP面积最大时，求点P的坐标. 0 （第23题图) ·24·参芳答案 第二十五章测试卷 1.D2.C3.C4.A5.A6.A7.D8.A9.A10.B 11.212.413.a-b=114.300(1+x)2=50715.3 16.解：(1)原方程可化为x2-2x=3,配方，得x2-2x+1=4,即 (x-1)2=4,得x-1=±2，所以x-1=2或x-1=-2,所以 x1=3,x2=-1. (2)原方程可化为3x2+4x-1=0,此时a=3,b=4,c=-1,所 以4=62-4c=4-4×3×(-1)=28>0,所以x=-4±y2⑧ 2×3 =27所以=22 3 17.(1)证明：由题意得：a=1,b=k-3,c=-2k+1,则4=b2-4ac =(k-3)2-4×1×(-2k+1)=k2+2k+5=(k+1)2+4>0, :.无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根. (2)解：将x=1代入方程x2+(k-3)x-2k+1=0可得1+k- 3-2k+1=0,解得k=-1.当k=-1时，原方程为x2-4x+3 =0,解得x1=1,2=3,即这个方程的另一个根为3. 18.解：(1)③方程两边末同时加上()】 (2)2x2-6x+1=0, 2x2-6x=-1, -3x=-分， -+(3+( (-引子 或子 3 2 万3 19.(1)解：把x=-1代入方程(x-1)(x-2)=m2,得m2=6,所 以m=±6.所以(x-1)(x-2)=6,即x2-3x-4=0.解该方 程得x1=-1,x2=4. (2)证明：方程(x-1)(x-2)=m2可化为x2-3x+2-m2=0. 因为4=4m2+1>0,所以原方程有两个不相同的实数根.由根 与系数的关系得x1+x2=3,xx2=2-m2.所以(x1-1)(名 1)=x12-(x1+x2)+1=2-m2-3+1=-m2.因为-m2≤0， 所以(x1-1)(x2-1)≤0. 20.解：(1)因为四边形ABCD是菱形，所以AB=BC.因为AB,BC 的长是方程x2-(m+3)x+2m+2=0的两个实数根，所以4 =[-(m+3)]2-4(2m+2)=(m-1)2=0,所以m=1,所以 原方程为x2-4x+4=0,解得x1=x2=2.故当m=1时，四边形 ABCD是菱形，这时菱形的边长为2. (2)将x=3代入方程x2-(m+3)x+2m+2=0,得9-3(m+3) +2m+2=0,解得m=2,所以原方程为x2-5x+6=0,解得x1 2,2=3,所以BC=2,故□ABCD的周长为2×(2+3)=10. ·81 21.解：(1)当每件盈利50元时，每件商品降价60-50=10（元）， 商场每天可多销售10×2=20（件），每天可销售40+20=60 (件).答：当每件盈利50元时，每天可销售60件. (2)设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到3150元，则商 场每天多销售2x件，根据题意得(60-x)(40+2x)=3150,解得 x1=15,2=25.要尽快减少库存，.x=25.答：每件商品降价 25元时，商场日盈利可达到3150元. 22.解：设运动时间为ts(0<t≤3)，则DN=2tcm,AM=tcm,∴.AW =(6-2t)cm (1)根据题意，由勾股定理得AM+AW2=MW2,:MW的长为 2万cm,2+(6-2)2=(2,解得1=2,5=号放动点 M,N出发2s或5号s后，lMN的长为2万cm (2)矩形ABCD的面积=AB·BC=3×6=18(cm2),△AMW的 面积=之AM·AN=(6-2).由题意得7(6-21)=号× 18,整理，得-3t+2=0,解得t=1,2=2.故动点M,N出发 1s或2s或号s后，△AMN的面积为矩形ACD面积的) 23.(1)3x2+52x+4=0(答案不唯一) (2)证明：由题意可知a2+6=c2,∴△=（2c)-4ab=2c2-4ab =2(a2+b2)-4ab=2(a2+62-2ab)=2(a-b)2≥0，∴.关于x 的“勾系一元二次方程”a2+2cx+b=0必有实数根. (3)解：把x=-1代入ax2+2cx+b=0中得a-2c+b=0,即 a+b=2c..四边形ACDE的周长是9√2，..2a+2b+2c= 92,2(a+b)+2c=92,.2√2c+2c=9V2,解得c=3, .∴.a2+b2=9,a+b=2c=32,.(a+b)2=(3√2)2，即a2+b2 9 +2ab=18,.2ab=18-(a2+b2)=18-9=9,ab=2 56版=3xb=是 第二十六章测试卷 1.B2.C3.A4.D5.D6.A7.A8.A9.D10.C 11.-212.y=3(x-4)213.①②③④14.-2≤x≤115.4 16.解：(1)函数y=(m-1)x2-m为二次函数， .m2-m=2且m-1≠0，解得m=2或m=-1. (2)抛物线的开口向上，.m-1>0,∴.m>1,.m=2,.抛 物线的解析式为y=x2,.将该函数图象向上平移2个单位长 度后得到的抛物线解析式为y=x2+2. 17.解：(1)当x=4时，y=-(4-2)2+5=-4+5=1,.点(4,1) 在此抛物线上. (2)y1>2,理由：当x=1时，y1=-(（1-2)2+5=4;当x=4 时y2=-(4-2)2+5=1..4>1,.y1>2. 18.解：(1)把点M(3,-2)代入y=x2+m+1得-2=32+3m+ 1,解得m=-4,∴y=x2-4x+1=(x-2)2-3,∴.抛物线的顶 点坐标为(2，-3). (2)y=(x-2)2-3,.当x=2时，有最小值-3.当x=-1 时，y=(-1-2)2-3=6,当x=3时，y=(3-2)2-3=-2, .当-1≤x≤3时，y的取值范围是-3≤y≤6. 19.解：(1)当y=0时，(x-a)(x-a+4)=0,解得x1=a,x2=a- 4,∴.抛物线与x轴的交点坐标为(a,0)和(a-4,0),.对称轴 为直线x=a+g-4=a-2 2 (2)设点B的横坐标为xg,:对称轴为直线x=a-2,点A的横19.解：(1)抛物线y=-x2与直线y=3x+h都经过点(1，k), 坐标为a-6.+9-6)=4-2,8=2(0-2）-(a-6) .k=-12=-1.把(1，-1)代入y=3x+h,得h=-4. 2 (2)依题意，设此抛物线的解析式为y=a2,由(1)得h=-4, =a+2,∴.线段AB的长为la+2-(a-6)I=8. k=-1,.此抛物线恰好经过点(-4，-1)，将(-4，-1)代入 20.解：(1)抛物线与x轴有两个公共点.理由：△=[-(2m-1)]2 1 1 -4(m2-m)=1>0,.抛物线与x轴有两个公共点. y=ar2中，得-1=a×（-4),解得a=16心y=-16 (2)将x=0代入y=x-3m+3,得y=-3m+3,.直线y=x- 20.(1)证明：4=(k+2)2-4×2k=2-4k+4=(k-2)2≥0， 3m+3与y轴的公共点坐标为(0，-3m+3).根据题意得点 无论取何实数，该方程总有两个实数根； (0,-3m+3)在抛物线上，.m2-m=-3m+3,整理，得m+ (2)解：①当b=c时，则4=0，即(k-2)2=0,.k=2,.x2-4x 2m-3=0,解得m1=-3,m2=1,∴m的值为-3或1. +4=0..x1=x2=2,即b=c=2,∴.三条边长为2,2,3，满足2 21.解：(1)当x=0时，y=4,.C(0,4).当y=0时，-x2+4=0,解 +2>3,.△ABC的周长=a+b+c=3+2+2=7; 得x=±2，.A(-2,0),B(2,0). ②当b=a=3或者c=a=3时，得32-(k+2)×3+2k=0,解 (2).A(-2,0),B(2,0),∴.AB=4.·四边形ABCD是平行四 得k=3.∴.方程为x2-5x+6=0,解得另一根为x=2.∴.三条 边形，∴.CD=AB=4,CD∥AB,∴.D(-4,4).设向上平移后的抛 边长为2,3,3，满足2+3>3，.△ABC的周长=a+b+c=3+3 物线为y=-x2+4+m,则4=-(-4)2+4+m,解得m=16, +2=8.综上所述，△ABC的周长为7或8. .平移后抛物线的解析式为y=-x+20. 21.解：(1)由题可得，点A的坐标为(0,2)，该抛物线的顶点坐标 22.(1)解：由题可得，顶点坐标为(6,3)，.设抛物线的函数解析式 为(4,3.6).设该抛物线的顶点式为y=a(x-4)2+3.6,把点A 为y=a(x-6)2+3..点0(0,0)在抛物线上，.∴.36a+3=0,解 1 得a=方该抛物线的函数解析武为y=立x-6)+3。 的坐标代人得2=16a+3.6,解得a=-10.该抛物线的函数 (2)当y=号时，-(x-6)2+3=号，解得名=4,6=8 解析式为y=-6(x-4)户+36=0.1+08x+2 (2)令y=0得-0.1x2+0.8x+2=0,解得x1=10,x2=-2, ∵保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧，∴.保温墙AB到点O的 ∴.点B的坐标为(10,0)，∴.水柱落地点与雕塑OA的水平距离 水平距离为8米. 为10m. 23.解：(1)把点A(-2,4)的坐标代入y=ax2(a≠0)，得4=a× 22.解：(1)由题图可知y与x满足一次函数关系，设y关于x的函 (-2)2,解得a=1,∴抛物线的解析式为y=x2,∴.抛物线的对 数解析式为y=kx+b(k≠0).将(90,110)，(100,100)代人， 称轴为y轴.：AB∥x轴，且点B在抛物线上，点A和点B关 于抛物线的对称轴对称，即关于y轴对称，∴.B(2,4). 得0+b-10,解得6怎. 1100k+b=100, b=200. (2).A(-2,4),B(2,4),.AB=2-(-2)=4.△ABP的面 .y关于x的函数解析式为y=-x+200(80≤x≤150) 积为2,4B/x轴Sm=分AB·1-41=2号×4× (2)根据题意，得(x-80)(-x+200)=2700,解得x1=110,x2 =170.:80≤x≤150，.x=110.答：当球衣的销售单价为110 lyp-41=2,解得yp=3或yp=5.在y=x2中，当y=3时，x= 元时，每周销售球衣所获利润为2700元. ±5；当y=5时，x=±5，∴.点P的坐标为(-√5,3)，(5,3)， 23.解：(1)抛物线y=a2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A(-1,0), (-5,5)或(5,5). B(3,0),与y轴交于点C(0,3), 第一次月考测试卷 [a-b+c=0, ra=-1. 1.A2.A3.D4.B5.A6.B7.A8.C9.A10.D .9a+3b+c=0,解得b=2, 11.-202112.313.1214.-4和615.4 Lc=3, lc=3, 16.解：(1)移项，得(2x+3)2=25,∴.2x+3=±5，解得x1=1,x2= .抛物线的解析式是y=-x2+2x+3. -4. (2)如图，连接PC,PB,过点P作PH∥y轴交BC于H, (2)因式分解，得(x+2-5)2=0,即(x-3)2=0,所以x1=x2 =3. 17.解：(1)抛物线的顶点坐标为(2，-4)，∴.设抛物线的解析式 为y=a(x-2)2-4,把点(1，-7)代入得a(1-2)2-4=-7, 解得a=-3,.抛物线的解析式为y=-3(x-2)2-4. (2)将(1)中的抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移5 设直线BC的解析式为y=kx+t(k≠0)， 个单位长度得到y=-3(x-2+2)2-4+5,即平移后的抛物线 的解析式为y=-3x2+1. 、将(30)c(03)代入，得30解得31， lt=3, 18.解：(1)a=2,b=-5,c=1,.4=62-4ac=(-5)2-4×2× .直线BC的解析式为y=-x+3.设P(m,-m2+2m+3),则 1=25-8=17. H(m,-m+3),0<m<3,∴.PH=-m2+2m+3-(-m+3)= (2)由根与系数的关系得+一合(-)=各出 -m㎡+3mSan=7:PH(e-)=2(-m2+3m)× = a 3=- (m-名+受：-子<00<m<3当m= 时，5最大.此时-m+2m+3=-()+2x号+3=， --√厚- 7-☑ 当△BCP面积最大时，点P的坐标为（子） ·82·