2026-2027学年北师大版九年级数学上册第一次月考测试卷测

**基本信息** 本试卷聚焦北师大版九年级数学上册前两章，以特殊平行四边形与一元二次方程为核心，通过流感传染、商场利润等现实情境，融合尺规作图、图形折叠等几何操作，实现基础巩固与创新应用的梯度考查，凸显几何直观、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|菱形性质、一元二次方程定义|尺规作图（第1题）培养空间观念，方程根的判别式（第8题）强化推理意识| |填空题|6/18|矩形面积计算、方程应用|等腰三角形与方程根综合（第15题）体现知识关联，药品涨价问题（第14题）渗透数据观念| |解答题|8/72|方程应用、几何综合证明|商场利润问题（第20题）强化模型意识，正方形中矩形证明（第23题）提升逻辑推理能力|

2026-2027学年北师大版九年级数学上册第一次月考测试卷 测试范围:第一章特殊平行四边形第二章一元二次方程 一、单选题（每题3分，共30分） 1．小馨同学按如下步骤作四边形； （1）画； （2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，； （3）分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点； （4）连接，，．若，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据作图步骤判断四边形的边长关系，因为，所以四边形是菱形，利用菱形性质得到对角相等的性质，得到与的等量关系，结合等腰的角度关系推导的度数． 【详解】解：从作图过程可知：， ∴四边形是菱形， ∴， ∴． 2．如图，在梯形中，，，，，，则的长度为（     ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，可得四边形为矩形，求出的长，再根据含角的直角三角形的性质求解． 【详解】解：过点作于点，则， ，， ∴， 四边形为矩形， ， ， 在中，， ， ． 3．关于的方程是一元二次方程，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程．根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且 ， 由得， ， 又， ， ． 故选：B． 4．若一元二次方程配方得到，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，将原方程配方后，与已知配方结果对比系数即可得到和的值． 【详解】对原方程移项得： ， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方得： ， 整理得：， ∵配方得到， ∴对比等式两边可得，， 解得， 即，． 5．如图，四边形是菱形，于点，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用菱形的性质以及勾股定理求得的长，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半，也等于边长乘以高解题． 【详解】解∶四边形为菱形， ． 设与交于点O， ， ，． ． ， 解得． 6．若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 7．秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人． ∵初始有人患流感， ∴第一轮传染后，总患病人数为， ∵第二轮传染中，有个患者，每人传染人， ∴新增患病人数为， ∴． 8．已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】结合已知确定根的判别式的符号，即可作出判断． 【详解】解：∵一元二次方程的根的判别式为， ①当时，， 若，则，此时方程无实数根，故①错误； ②当时，，此时方程有两个相等的实数根，故②正确； ③当时，， ∵， ∴， ∴，此时方程无实数根，故③正确； ④当时，， 此时方程总有实数根，故④正确； 综上所述，正确的个数有个． 9．如图，在矩形中，，，折叠该矩形，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程求出，根据折叠的性质和矩形的性质得出即到的距离为，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， ∵矩形， ∴，与的距离为，即到的距离为， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， . 10．如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到正方形性质的应用，正确认识图形是解题的关键． 根据题意，结合图形，先得到图1中，结合已知条件，得到，结合图2，得到结果． 【详解】解∶如图，设正方形的面积为，正方形的面积为，图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为， ∵图1中，，，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，图2中，， ∴， 即当的对角线交点与的一个顶点重合时，重叠部分的面积是的， 故选∶． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．已知菱形的周长是，，则该菱形的面积是__________． 【答案】 【分析】根据菱形周长求出边长，结合已知角度，利用菱形对角线互相垂直平分的性质和勾股定理求出两条对角线长度，再根据菱形面积公式计算即可. 【详解】解：菱形的周长为， 菱形的边长， 设对角线，交于点， 菱形对角线互相垂直平分，且平分内角，， ，， ， ， 由勾股定理得， ，， 菱形面积. 12．如图，在矩形中，对角线与交于点，如果，，那么这个矩形的面积是__________． 【答案】 【分析】由题意易得，则有是等边三角形，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为． 13．若是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的特征．把代入方程得到，将原式转化为，然后代入求值即可． 【详解】解：是方程的一个根， ∴， ， ， 故答案为：． 14．某药品两次涨价，零售价涨为原来的倍，已知两次涨价的百分率一样，求每次涨价的百分率________（精确到，） 【答案】约为 【详解】解：设药品的原始零售价为，每次涨价的百分率为， 则， 解得：（舍），， 即每次涨价的百分率约为． 15．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为___________． 【答案】 【分析】分为腰长和为底边长两种情况讨论，结合三角形三边关系判断是否成立，再利用根与系数的关系计算的值． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为腰长时， ∵另两边是方程的两个根， ∴其中一个根为， 设另一根为， 由根与系数的关系得，解得，此时三角形三边长为， ∵，不满足三角形三边关系， ∴这种情况，舍去； ②当为底边长时， ∵另两边是等腰三角形的两腰，为方程的两个根， 设腰长为， 由根与系数的关系得，解得，此时三角形三边长为， ∵，满足三角形三边关系， ∴． 16．如图，在矩形中，为上一点，将沿折叠得到，点恰好在上；如图．将图中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点恰好落在上的点处，为折痕．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得出，，结合矩形性质推出四边形为正方形，从而求出 的长，根据第二次折叠的性质得出，，在中利用勾股定理求出的长，进而求出的长，设，在 中利用勾股定理方程求出即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， ∵四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形， ， ∴四边形是正方形， ， ，， 又由折叠的性质可知，，， 在 中，∵， ， ， 设，则， 在 中，∵， ，即， 解得， ． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．已知是方程的一个根，试求的值． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴． 18．解方程： (1)． (2) 【答案】(1)， (2)，. 【分析】（1）对二次三项式因式分解，即可求解． （2）先将方程整理为一般形式，计算判别式后，利用求根公式求解． 【详解】（1）解： 或， ∴，； （2）解： ， ∴， ∴， 即，． 19．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系可用m表示出已知等式，可求得m的值． 【详解】（1）解：原方程有两个实数根， ，即． 解得． （2）解：且， 即． ， ． 20．一商场以20元的进价购进纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个． (1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度地让利消费者，售价应定为多少钱? (2)因商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 【答案】(1)40元 (2) 【分析】（1）设售价应定为每个元，则每个利润为元，销量为个，利用总利润为8000元，再建立方程解题即可； （2）由（1）得：当售价为每个40元时，销量为400个，设这两周的平均增长率为，再结合增长率的含义建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设售价应定为元，则每个利润为元， 由题意得， 解得：，， ∵更大程度让利消费者， ∴， 答：商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度让利消费者，售价应定为40元； （2）解：由（1）得：当售价为40元时，销量为400个， 设这两周的平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：这两周的平均增长率为． 21．如图，在平行四边形中，点、分别在对角线上，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，且，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵ ∴，即， ∴四边形是平行四边形． (2) 【分析】（1）由四边形是平行四边形，可得其对角线互相平分（，）；又因为，所以；由对角线互相平分的四边形为平行四边形即可求证． （2）由（1）中四边形是平行四边形可得，四边形的对角线互相平分，再由，可得四边形为菱形，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解． 【详解】（1）略． （2）解： 由（1）可得：四边形是平行四边形， 又∵，即， ∴四边形是菱形． ∵，， ∴四边形的面积为：． 22．如图，在矩形中，，点E在边上，，点P从点A出发，沿折线向终点C匀速运动，设点P运动的路程为，连接，当点P运动到点B时，． (1)求的长； (2)当四边形是平行四边形时，求x的值； (3)连接，当的面积为6时，求x的值； (4)作点A关于直线的对称点，当点恰好落在边上时，直接写出x的值． 【答案】(1)3 (2)9 (3)或7 (4)或7 【分析】（1）勾股定理进行求解即可； （2）易得当点P在时，且，四边形是平行四边形，求出的长，即可得出结果； （3）分点P在上时和点P在上时，两种情况进行求解即可； （4）分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：当点P运动到点B时，如图， ∵四边形是矩形， ， ； （2）解：∵矩形， ∴，， ∴ ∴当点P在时，且，四边形是平行四边形，如图， 由（1）知：， ； （3）解：当点P在上时，如图， ，， ， ， ； 当点P在上时，如图， ， ∴， ， ， 综上所述，当的面积为6时，x的值为或7； （4）解：①如图，当点落在边上且靠近点B时， ∵点A关于对称点为， ，， 过E作于点F，则， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ， ， ， 在中，， 即， 解得； ②如图，当点恰好落在边上且靠近点C时， 同理，， ， ， ， 在中，， 即， 解得； 综上，的值为或7． 23．如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，．过点作，交边于点，以为邻边作矩形． (1)求证：； (2)连接，若，求出的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 过点E作于点M，于点N，则， 四边形是正方形， ，， 四边形是矩形， ， 即， ， ∴， 即， ， ，，， ， ， ， ， ∴． (2) 【分析】（1）先由正方形的性质有，，即可证明，得到．过点E作于点M，于点N，先根据正方形的性质证明四边形是矩形，进一步证明，可得，即可得出结论； （2）连接，先证明矩形是正方形，进而可得，从而，并求得的长，进一步证明，并求得的长，再利用勾股定理可求得的长，最后在中，根据勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵， ∴矩形是正方形， ∴，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ， ， ， ，， ． ∵在正方形中，，， ， ， ∴在中，． ∵在正方形中，，， ∴， ． 24．如图，在正方形中，，E为对角线上一动点，连接，过点作交于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)探究之间的数量关系，直接作答无需证明． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点E作于点，于点，先根据角平分线的性质得到，然后证明四边形是矩形，得到，从而得到，然后证明得到，即可证明矩形是正方形； （2）证明得，进而推出，由此利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，过点E作于点，于点， ∴， ∵四边形是正方形， ， ∵，， ． ∵， ∴四边形是矩形． ． ∵ ． ． ． ． ∴矩形是正方形； （2）解：． 证明：∵四边形是正方形，四边形是正方形， ，，． ． ， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版九年级数学上册第一次月考测试卷 测试范围：第一章特殊平行四边形第二章一元二次方程 一、单选题（每题3分，共30分） 1.小馨同学按如下步骤作四边形ABCD: (1)画∠MAW: (2)以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM,AN于点B,D: (3)分别以点B,D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C: (4)连接BC,CD,BD.若∠A=56°，则∠CBD的大小是() M B D N A.64° B.65° C.62 D.66 2.如图，在梯形中，AD∥BC,∠B=90°，AD=2,BC=5,∠C=60°，则CD的长度为() A.4 B.6 C.35 D.45 3.关于x的方程(m-2)x2-5x-1=0是一元二次方程，那么m的值为（) A.2 B.-2 C.+2 D.±3 4若一元二次方程-6x+n=0配方得到-m'=2,则m,”的值分别为《) A.m=3,n=7 B.m=3,n=11 C.m=-3,n=10 D.m=2,n=11 5.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8,DB=6,DH1AB于点H,则DH等于() 试卷第1页（共3页） 24 12 A.5 B.5 C.12 D.24 6,若，是元二次方程-2x-2026=0的两个实数根，则千-有+5的值是（） A.2024 B.2026 C.2028 D.4052 7.秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等，若有一个 人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染 中平均一个人传染了x个人，根据题意，列方程为() A.+(1+x)=81 B.1+x+x2=81 c.1+x+x0+x)=81 D.x+x(1+x)=81 x2+bx+c=0(a≠0) 8.已知关于x的一元二次方程 ,下列说法中正确的个数有() ①若b=0,则方程总有实数根；②若b2=4ac,则方程有两个相等的实数根： ③若a=b=C,则方程无实数根；④若b=a+c,则方程总有实数根. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.如图，在矩形ABCD中，AB=3cm,AD=9cm,折叠该矩形，使点D与点B重合，折痕为EF,则 △BEF的面积为() E D A.3cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.7.5cm2 10.如图，有大小不同的2个正方形A和B,当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积 是A的g,那么当A的对角线交点与B的一个项点重合时，重叠部分的面积是B的(） 试卷第2页（共3页） 9 A.3 c. 4 16 B.16 D.25 二、填空题（每题3分，共18分) 11.已知菱形ABCD的周长是16cm,∠ABC=120°，则该菱形的面积是 cm2 12.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,如果∠BOC=120°，CD=3,那么这个矩形的 面积是 B 13.若m是方程x2-2x-4=0的一个根，则代数式2m2-4m-2025的值为一 14.某药品两次涨价，零售价涨为原来的1.2倍，已知两次涨价的百分率一样，求每次涨价的百分率 .1%V30≈5.477 (精确到 15.等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2-10x+k=0的两个根，则k的值为 16.如图1，在矩形ABCD中，E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠得到△AFE,点F恰好在AD上；如 图2.将图1中的矩形纸片沿过点D的直线折叠，使得点C恰好落在EF上的点H处，DG为折痕.若 AB=5,AD=8,则EG的长为 D E G 图1 图2 三、解答题（每题9分，共72分) 试卷第3页（共3页） 17.已知a是方程2-2026x+1=0的-个根，试求0-2025a- 2026的值. 18.解方程： 0)r-2x-8=0 22+3r=1 19.已知关于X的一元二次方程-2x+m-1=0有两个实数根，5 (1)求m的取值范围。 ②当+污=6x5时，求m的值。 20.一商场以20元的进价购进纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发 现，价格每涨5元，就少卖50个. (1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度地让利消费者，售价应定为多少钱？ (2)因商场改变销售策略，在不改变(1)的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484 个，求这两周的平均增长率， 21.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在对角线BD上，且BE=DF, D (I)求证：四边形AECF是平行四边形. (2)若BD⊥AC,且AC=5,EF=7,求四边形AECF的面积. 22.如图，在矩形ABCD中，AD=II,点E在边AD上，AE=5,点P从点A出发，沿折线AB-BC向终 x(x>0 点C匀速运动，设点P运动的路程为 ,连接PE,当点P运动到点B时，PE=V34 E E D B 备用图 (1)求AB的长： (2)当四边形APCE是平行四边形时，求x的值； 试卷第4页（共3页） (3)连接BE,当△BPE的面积为6时，求x的值： (④)作点A关于直线PE的对称点A,当点A恰好落在边BC上时，直接写出x的值 23.如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE,BE.过点E作EF⊥DE,交边BC 于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG. D 备用图 (I)求证：BE=DE=EF; (②)连接CG,若MB=9,CG=3 2,求出DG的长. ,ABCD AB=2 24.如图，在正方形 中， ,B为对角线1C上一动点，连接DE,过点E作EF1DE交 BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG. y D E (I)求证：矩形DEFG是正方形： (2)探究CE,CG,BC之间的数量关系，直接作答无需证明. 试卷第5页（共3页）