第二十五章 一元二次方程 单元基础卷 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 立足一元二次方程核心知识，融合杨辉数学文化、足球联赛热点情境与几何动态问题，梯度设计适配单元复习，强化运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、解法、根与系数关系|第7题融入杨辉《田亩比类乘除捷法》问题，渗透文化传承| |填空题|5/15|概念辨析、规律探究|第13题通过小圆摆放规律考查建模能力，体现数学眼光| |解答题|8/75|解法应用、实际问题、几何综合|第22题结合2026江苏足球联赛设计利润问题，第23题动态翻折综合考查空间观念与推理能力|

九年级数学新教材第二十五章一元二次方程 基础卷 【人教版2026】 考试范围：人教版 第二十五章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 参考答案与评分标准 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C D C A A A D D 2、 填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11． 12.—2026 13． 7 14． 1 15． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分 （1）解：， ， ，．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 （2）解：， ， ， 或， ，．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 （3）解：， ， ， ， ， ，．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 （4）解：， 整理得：， ，，， ， ， ，．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 17.本小题分) 解：（1）①根据题干信息，解此一元二次方程的方法是配方法，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉1分 配方法依据的数学公式是完全平方公式，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉1分 ②第三步首先出现错误，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉1分 配方时仅在方程左边加上一次项系数一半的平方，右边未同时加上该数，等式不成立┉┉┉┉┉1分 （2）二次项系数化为1，得， 移项，得， 配方，得， 即， 由此可得， 解得，．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 18.本小题8分 （1）证明：． 方程有两个实数根；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 （2）解：由，且， 得 ∴，，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 即、的长为，， 当时，三边为5，5，1，满足三角形构成条件，此时 ，解得；┉┉┉┉┉┉┉┉2分 当时，三边为5，1，1，不满足三角形构成条件．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 综上所述，． 19.本小题8分) 解（1）：∵， ∴， ∴，， 故答案为：2；1．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉每空1分，共2分 （2）由题意得， ，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉3分 ∵， ∴当时，有最小值，无最大值．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉3分 20本小题10分 解：（1）设生产线加工小时，则生产线加工小时， 根据题意可得：，   ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 解得：┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 答：生产线至少加工小时； （2）由题意可得：，    ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 整理得：，   ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 解得，（不符合题意，舍去），  ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 答：的值为． 21.本小题10分）（解：（1）该生产线日产量的增长率， 依题意得：， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 解得：，（不合题意，舍去）． ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 答：该生产线日产量的增长率为；┉┉┉┉┉┉┉┉┉1分 （2）能，理由如下： ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 依题意，（件）． ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 他们的目标能实现．┉┉┉┉┉┉┉┉┉1分 22.本小题12分解：（1）（件）． 故答案为：230．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 （2）设该“苏嘟嘟”的苏超球服的销售单价为x元（），则当天的销售量为件，依题意，得： ，   ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 整理，得， 解得（不合题意，舍去），．   ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 答：当“苏嘟嘟”的苏超球服的销售单价为59元时，该产品的当天销售利润是2610元． （3）不能，理由如下：┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 设“苏嘟嘟”的苏超球服的销售单价为y元（），则当天的销售量为件， 依题意，得，  ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 整理，得． 因为， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 所以该方程无实数根，即“苏嘟嘟”的苏超球服的当天销售利润不能达到3700元． 23本小题12分 解：（1）由已知可得，，， 在矩形中，，，， 当时，四边形为矩形时， ， 解得：， 故当时，四边形为矩形； 故答案为：3；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 （2）∵，， ∴， 即， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， 根据勾股定理得：，， ∴此时， 解得， 故当时，四边形为菱形； 故答案为：；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 （3）不存在某一时刻t使得；理由如下：┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 过Q作，交于M，如图所示： 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此方程无实数根，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 ∴不存在某一时刻t使得； （4）如图2， 根据折叠可知：，，，， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 ∵， 在中，由勾股定理得：， ∴， 即：， 解得：，，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 即当t等于1或3时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 九年级数学新教材第二十五章一元二次方程 基础卷 【人教版2026】 考试范围：人教版 第二十五章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1．下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 解：A．方程中含有两个未知数x和y，是二元二次方程，不符合一元二次方程的定义，故A不符合题意； B．方程中，若，则方程变为一次方程，因此不一定是关于x的一元二次方程，故B不符合题意； C．方程仅含一个未知数x，且x的最高次数为2，同时为整式方程，符合定义，故C符合题意； D．方程中含有分式，属于分式方程，不符合整式方程的要求，故D不符合题意． 故选：C． 2．把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （    ） A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1 【答案】B 解：原方程为， 展开左边得， 移项，得， 方程化简为， 可得，，， 故选：B． 3.将方程配方后，原方程变为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解： ∴； 故选C． 4．若一元二次方程的两根为，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：∵方程中，，，， ∴，， ∴． 5．已知关于x的二次三项式的部分对应值如表： 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 解：时，， 时，， 关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为， 故选：C． 6.已知关于x的方程，下列说法中正确的是（    ） A．当时，方程有两个不相等的实根 B．当时，方程无解 C．当时，方程只有一个实根 D．当时，方程一定有两个不相等的实根 【答案】A 解：A：当时，方程为，解得，有两个不相等的实根，正确． B：当时，方程为，解为，有解，原说法错误． C：当时，方程为：，判别式，方程有两个不相等的实根，原说法错误． D：当时，判别式．当时，，方程有两个相等实根，故“一定有两个不相等的实根”错误． 故选A． 7.我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题：一个矩形长和宽的和为步，面积是平方步，问长比宽多几步？若设长为步，根据题意可列方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 解：设长为步，长和宽的和为步 宽为步 矩形面积长宽，已知矩形面积为平方步 可列方程为 8.如图是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（　　） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中… 开启新对话 给发送消息 88深度思考（）联网搜索+ A．1 B． C． D．1或 【答案】A 解：设这个数为x， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 这个数为1， 故选A． 9．定义新运算：，例如：，．若，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 解：∵ 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得，， 综上所述，x的值是或． 故选：D． 10．如图，将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解：如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形， 根据题意，得， ∴， 解得： (负值舍去)， ∴正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为： ， ∵将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形， ∴，即：， ∴，即：． 故选：D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．．若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】 解：∵是一元二次方程， ∴且 解得，且， 故； 故答案为：． 12已知，，，则______． 【答案】—2026 解： 由题意得， ，且， 可知，是一元二次方程 的两个不相等的实数根， 根据根与系数的关系，得 ． 13．将一些半径相同的小圆按如图所示摆放成一组不仅具有艺术美感，还存在数学规律的图案，请仔细观察，按此规律，如果某个图中小圆的个数恰好为60个，那么它应该是第 个图． 【答案】7 解：由题意可知第1个图形有小圆个； 第2个图形有小圆个； 第3个图形有小圆个； 第4个图形有小圆个； ∴第n个图形有小圆个， 设第x个图中小圆的个数恰好为60个，根据题意得 解得（不符题意，舍去） 所以，第7个图中小圆的个数恰好为60个． 故答案为：7． 14如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 【答案】 解：设矩形纸板各角应切去正方形的边长为． 根据题意，得 ． 整理，得 ． 解得 ． 当 时，，不合题意，舍去． 所以 ，即矩形纸板各角应切去正方形的边长为1． 故答案为：1． 15．在菱形中，点、分别是、边上的点，将沿翻折在同一平面内，使点的对应点落在上，与的角平分线交于点，点为的中点，连接，若，，，则 ． 【答案】 解：连接，过点作交延长线于点，作交于点，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴在中，，在中，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵翻折， ∴，设， ∵在中，， ∴， 解得：（舍）， ∴，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵与的角平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵点为的中点， ∴， 故答案为：． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分解方程： (1)； (2)； (3)（用配方法）； (4)． （1）解：， ， ，． （2）解：， ， ， 或， ，． （3）解：， ， ， ， ， ，． （4）解：， 整理得：， ，，， ， ， ，． 17.本小题分下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：二次项系数化为1，得，……第一步 移项，得，……第二步 配方，得，……第三步 ，……第四步 由此可得，……第五步 解得……第六步 (1)任务一： ①上述小明同学解此一元二次方程的方法是什么？依据的数学公式是什么？ ②哪一步首先出现错误，错误的原因是什么？ (2)任务二：请你写出该方程的正确求解过程． 解：（1）①根据题干信息，解此一元二次方程的方法是配方法， 配方法依据的数学公式是完全平方公式， ②第三步首先出现错误，配方时仅在方程左边加上一次项系数一半的平方，右边未同时加上该数，等式不成立． （2）二次项系数化为1，得， 移项，得， 配方，得， 即， 由此可得， 解得，． 18.本小题8分 关于x的一元二次方程． (1)判定此方程根的情况； (2)等腰的两边 的长是方程的两个实数根，第三边的长为5，求k的值． （1）证明：． 方程有两个实数根； （2）解：由，且， 得 ∴，， 即、的长为，， 当时，三边为5，5，1，满足三角形构成条件，此时 ，解得； 当时，三边为5，1，1，不满足三角形构成条件． 综上所述，． 19.本小题8分配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则________；________． (2)求代数式的最值； 解（1）：∵， ∴， ∴，， 故答案为：2；1． （2）由题意得， ， ∵， ∴当时，有最小值，无最大值． 20本小题10分在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 解：（1）设生产线加工小时，则生产线加工小时， 根据题意可得：，    解得： 答：生产线至少加工小时； （2）由题意可得：，     整理得：，    解得，（不符合题意，舍去），   答：的值为． 21.本小题10分某工厂为了提高生产效率，正对生产线进行技术改革，在第一试验阶段实现了日产量1500件的目标，第三试验阶段实现了日产量2160件的目标． (1)如果第二阶段、第三阶段日产量的增长率相同，求该生产线日产量的增长率； (2)按照（1）中的日产量增长率，该工厂期望第四试验阶段日产量能达到2500件，请通过计算说明他们的目标能否实现． 解：（1）该生产线日产量的增长率， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该生产线日产量的增长率为； （2）能，理由如下： 依题意，（件）． 他们的目标能实现． 22本小题12分2026年4月，伴随着”城市荣耀，绿茵争锋“的口号江苏城市足球联赛正式开赛，全省十三个州（市）的球员在赛场上激情碰撞，也让江苏球迷的足球梦想绽放．为呼应“全民健身、以球兴城”的初心，彰显江苏“体育+文旅”的融合魅力，某商家销售的一款印有吉祥物“苏嘟嘟”的苏超球服深受球迷的喜爱，该商店推出促销活动，已知“苏嘟嘟”的苏超球服服每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该“苏嘟嘟”的苏超球服的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件， (1)若“苏嘟嘟”的苏超球服的销售单价为45元，则当天销售量为_________件； (2)当该“苏嘟嘟”的苏超球服的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元； (3)该“苏嘟嘟”的苏超球服的当天销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 解：（1）（件）． 故答案为：230． （2）设该“苏嘟嘟”的苏超球服的销售单价为x元（），则当天的销售量为件，依题意，得： ，    整理，得， 解得（不合题意，舍去），．    答：当“苏嘟嘟”的苏超球服的销售单价为59元时，该产品的当天销售利润是2610元． （3）不能，理由如下： 设“苏嘟嘟”的苏超球服的销售单价为y元（），则当天的销售量为件， 依题意，得，   整理，得． 因为， 所以该方程无实数根，即“苏嘟嘟”的苏超球服的当天销售利润不能达到3700元． 23本小题12分）如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、，设点P、Q运动的时间为． (1)当__________时，四边形是矩形； (2)当__________时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 解：（1）由已知可得，，， 在矩形中，，，， 当时，四边形为矩形时， ， 解得：， 故当时，四边形为矩形； 故答案为：3； （2）∵，， ∴， 即， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， 根据勾股定理得：，， ∴此时， 解得， 故当时，四边形为菱形； 故答案为：； （3）不存在某一时刻t使得；理由如下： 过Q作，交于M，如图所示： 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此方程无实数根， ∴不存在某一时刻t使得； （4）如图2， 根据折叠可知：，，，， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得：， ∴， 即：， 解得：，， 即当t等于1或3时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 九年级数学新教材第二十五章一元二次方程 基础卷 【人教版2026】 考试范围：人教版 第二十五章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1．下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （    ） A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1 3.将方程配方后，原方程变为（     ） A． B． C． D． 4．若一元二次方程的两根为，，则的值是（     ） A． B． C． D． 5．已知关于x的二次三项式的部分对应值如表： 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6.已知关于x的方程，下列说法中正确的是（    ） A．当时，方程有两个不相等的实根 B．当时，方程无解 C．当时，方程只有一个实根 D．当时，方程一定有两个不相等的实根 7.我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题：一个矩形长和宽的和为步，面积是平方步，问长比宽多几步？若设长为步，根据题意可列方程是（     ） A． B． C． D． 8.如图是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（　　） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中… 开启新对话 给发送消息 88深度思考（）联网搜索+ A．1 B． C． D．1或 9．定义新运算：，例如：，．若，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 10．如图，将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．．若关于x的方程是一元二次方程，则______． 12已知，，，则______． 13．将一些半径相同的小圆按如图所示摆放成一组不仅具有艺术美感，还存在数学规律的图案，请仔细观察，按此规律，如果某个图中小圆的个数恰好为60个，那么它应该是第 个图． 14如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 15．在菱形中，点、分别是、边上的点，将沿翻折在同一平面内，使点的对应点落在上，与的角平分线交于点，点为的中点，连接，若，，，则 ． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分解方程： (1)；(2)；(3)（用配方法）；(4)． 17.本小题分下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：二次项系数化为1，得，……第一步 移项，得，……第二步 配方，得，……第三步 ，……第四步 由此可得，……第五步 解得……第六步 (1)任务一： ①上述小明同学解此一元二次方程的方法是什么？依据的数学公式是什么？ ②哪一步首先出现错误，错误的原因是什么？ (2)任务二：请你写出该方程的正确求解过程． 18.本小题8分 关于x的一元二次方程． (1)判定此方程根的情况； (2)等腰的两边 的长是方程的两个实数根，第三边的长为5，求k的值． 19.本小题8分配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则________；________． (2)求代数式的最值； 20本小题10分在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 21.本小题10分某工厂为了提高生产效率，正对生产线进行技术改革，在第一试验阶段实现了日产量1500件的目标，第三试验阶段实现了日产量2160件的目标． (1)如果第二阶段、第三阶段日产量的增长率相同，求该生产线日产量的增长率； (2)按照（1）中的日产量增长率，该工厂期望第四试验阶段日产量能达到2500件，请通过计算说明他们的目标能否实现． 22本小题12分2026年4月，伴随着”城市荣耀，绿茵争锋“的口号江苏城市足球联赛正式开赛，全省十三个州（市）的球员在赛场上激情碰撞，也让江苏球迷的足球梦想绽放．为呼应“全民健身、以球兴城”的初心，彰显江苏“体育+文旅”的融合魅力，某商家销售的一款印有吉祥物“苏嘟嘟”的苏超球服深受球迷的喜爱，该商店推出促销活动，已知“苏嘟嘟”的苏超球服服每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该“苏嘟嘟”的苏超球服的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件， (1)若“苏嘟嘟”的苏超球服的销售单价为45元，则当天销售量为_________件； (2)当该“苏嘟嘟”的苏超球服的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元； (3)该“苏嘟嘟”的苏超球服的当天销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 23本小题12分）如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、，设点P、Q运动的时间为． (1)当__________时，四边形是矩形； (2)当__________时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $※※请※※※不※※※要※※※在※※※装※※※订※※※线※※※内※※※答※※※题※※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 保密★启用前 九年级数学新教材第二十五章一元二次方程 基础卷 【人教版2026】 考试范围：人教版 第二十五章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1．下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （    ） A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1 3.将方程配方后，原方程变为（     ） A． B． C． D． 4．若一元二次方程的两根为，，则的值是（     ） A． B． C． D． 5．已知关于x的二次三项式的部分对应值如表： 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6.已知关于x的方程，下列说法中正确的是（    ） A．当时，方程有两个不相等的实根 B．当时，方程无解 C．当时，方程只有一个实根 D．当时，方程一定有两个不相等的实根 7.我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题：一个矩形长和宽的和为步，面积是平方步，问长比宽多几步？若设长为步，根据题意可列方程是（     ） A． B． C． D． 8.如图是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（　　） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中… 开启新对话 给发送消息 88深度思考（）联网搜索+ A．1 B． C． D．1或 9．定义新运算：，例如：，．若，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 10．如图，将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．．若关于x的方程是一元二次方程，则______． 12已知，，，则______． 13．将一些半径相同的小圆按如图所示摆放成一组不仅具有艺术美感，还存在数学规律的图案，请仔细观察，按此规律，如果某个图中小圆的个数恰好为60个，那么它应该是第 个图． 14如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 15．在菱形中，点、分别是、边上的点，将沿翻折在同一平面内，使点的对应点落在上，与的角平分线交于点，点为的中点，连接，若，，，则 ． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分解方程： (1)；(2)；(3)（用配方法）；(4)． 17.本小题分下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：二次项系数化为1，得，……第一步 移项，得，……第二步 配方，得，……第三步 ，……第四步 由此可得，……第五步 解得……第六步 (1)任务一： ①上述小明同学解此一元二次方程的方法是什么？依据的数学公式是什么？ ②哪一步首先出现错误，错误的原因是什么？ (2)任务二：请你写出该方程的正确求解过程． 18.本小题8分 关于x的一元二次方程． (1)判定此方程根的情况； (2)等腰的两边 的长是方程的两个实数根，第三边的长为5，求k的值． 19.本小题8分配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则________；________． (2)求代数式的最值； 20本小题10分在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 21.本小题10分某工厂为了提高生产效率，正对生产线进行技术改革，在第一试验阶段实现了日产量1500件的目标，第三试验阶段实现了日产量2160件的目标． (1)如果第二阶段、第三阶段日产量的增长率相同，求该生产线日产量的增长率； (2)按照（1）中的日产量增长率，该工厂期望第四试验阶段日产量能达到2500件，请通过计算说明他们的目标能否实现． 22本小题12分2026年4月，伴随着”城市荣耀，绿茵争锋“的口号江苏城市足球联赛正式开赛，全省十三个州（市）的球员在赛场上激情碰撞，也让江苏球迷的足球梦想绽放．为呼应“全民健身、以球兴城”的初心，彰显江苏“体育+文旅”的融合魅力，某商家销售的一款印有吉祥物“苏嘟嘟”的苏超球服深受球迷的喜爱，该商店推出促销活动，已知“苏嘟嘟”的苏超球服服每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该“苏嘟嘟”的苏超球服的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件， (1)若“苏嘟嘟”的苏超球服的销售单价为45元，则当天销售量为_________件； (2)当该“苏嘟嘟”的苏超球服的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元； (3)该“苏嘟嘟”的苏超球服的当天销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 23本小题12分）如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、，设点P、Q运动的时间为． (1)当__________时，四边形是矩形； (2)当__________时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． —　2　— —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $