第三章 图形的相似-【典创·单元学情诊断卷】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

第三章图形的相似 题号 二 三 总分 得分 时间：120分钟 满分：120分 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的) 1.下列各组线段中，成比例的一组是 A.a=4,b=6,c=5,d=10 B.a=2,b=4,c=3,d=6 C.a=2,b=√5，c=2√5，d=10 D.a=0.8,b=3,c=1,d=2 2.已知5a=7b(ab≠0)，那么下列比例式中成立的是 B号 c号-号 D.6、7 a=5 3若号=行=号5且6-21+f40,则%-20的值为 3b-2d+/ A号 B.1 C.1.5 D.3 4.如图，/儿2//儿3，AC,DF交于点O,则下列比例中成立的是 A瓷能 B股院 c OB OF D.OC-OE A D/ (第4题图) (第5题图) 5.如图，以正方形ABCD各边中点为顶点，得到一个新正方形EFGH,则新正方形EFGH与原正方 形ABCD的相似比为 （) A.1:2 B.1:√2 C.√2：1 D.1:4 .25. 6.如图，△ABC∽△ACP,若∠A=75°，∠APC=65°，则∠B的度数为 A.40° B.50° C.65° D.75° B (第6题图) (第7题图) 亿在小提琴的设计中，蕴含者数学知识如图所示，4AC,4C,4AB这三部分长度的比满足C=G? 5-⊥若AB=60cm,则BC的长为 2 () A.(60√5-120)cmB.(90-30W5)cmC.(30√5-30)cmD.(15√5+15)cm 8.如图，以点O为位似中心，把△ABC的各边长放大为原来的2倍得到△A'B'C,以下说法中错误 的是 () A.AO:AA'=1:2 B.点C,0,C在同一直线上 C.SAABC:S△Ag"C=1:4 D.BC∥B'C C D B (第8题图) (第9题图) (第10题图) 9.如图，由顶点A射出两条射线AB,AC,过点E作线段DE,EF,作DE的平行线GC,EF的平行线 BC.已知AE:EC=2:3,则DF:GB= () A.2:3 B.2:5 C.4:5 D.3:4 10.如图，在△ACD中，AD=6,BC=5,AC2=AB(AB+BC),且△DAB△DCA,若AD=3AP,点Q 是线段AB上的动点，则PQ的最小值是 () A. 7 B.6 C. D. 2 2 5 ·26· 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.如图，在△ABC和△ADE中，∠CAE=∠BAD,请你补充一个条件 ,使△ABC∽△ADE. (第11题图) (第12题图) (第14题图) (第15题图) 12.如图，利用标杆DA测量楼高，点C,A,B在同一直线上，DA⊥CB,EB⊥CB,垂足分别为A,B.若 测得影长AB=16米，DA=3米，影长CA=4米，则楼高EB为 米。 13.已知△ABC∽△DEF,△ABC的面积与△DEF的面积的比是4：9，AM,DN分别是△ABC和 △DEF对应边上的中线，且AM=6,则DN= 14.如图，△AOB与△ACD关于点A位似，点C的坐标为(3,4)，若△AOB与△ACD的面积比为 4:1,则点A的坐标为 15.如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，点F是CD上一点，连接BE,BF,EF,若∠BEF= 90“能-号，则院的值为 DE 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16.(本小题8分) 我们知道：若号=分，且6+10，那么号=分-分+行 (1)若b+d=0,那么a,c满足什么关系？ (2)若--=，求F-21-1的值 b ·27· 17.（本小题8分) (1)已知a,b,c为非零实数，且a+b+c≠0，当0+h-e=a-b+c=二0+6+C时，求 b (a+b)(b+c)(c+a）的值： abc （2设a,6c是A0c的三条边长.且。：。-6。判断△1c的形状，并德明理血， 18.（本小题8分) 如图，在△ABC中，点D,E分别在BC,AC边上，且AD=AB,∠DEC=∠B. (1)求证：△AED∽△ADC. (2)若AB=2,EC=3,求AC的长. D (第18题图) ·28· 19.（本小题8分) 如图，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度运 动，点Q从点B开始沿BC向点C以2c/s的速度运动.设运动时间为ts. (1)PB= cm,BO= cm;(用含t的代数式表示). (2)如果点P,Q同时出发，经过多长时间后△PBQ与△ABC相似？ (第19题图) 20.（本小题8分) 如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0,0),A(2,1),B(1,-2) (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出与△OAB位似的△OA,B1,使它与△OAB的相似 比为2：1. （(2)将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到△O,A,B,判断△OAB,与 △O,A,B,是不是以某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M, 并写出点M的坐标 (第20题图) ·29· 21.（本小题10分) 小宛想通过自己所学的数学知识计算河流的宽度.如图，河流两侧河岸平行，他在河的对岸选 定一个目标作为点A,再在这一侧的河岸边选出点B和点C,分别在AB,AC的延长线上取点 D,E,连接DE,使得DE∥BC.经测量，BC=80米，DE=2O0米，且点E到河岸BC的距离为 360米.过点A作AF⊥BC,垂足为点F(AF的长即为河流的宽度). (1)求证：△ABC∽△ADE (2)请你根据提供的数据计算河流的宽度. D （第21题图) ·30· 22.（本小题12分)》 体验： (1)如图1，在四边形ABCD中，AB//CD,∠B=90°，点M在BC边上，当∠AMD=90°时，可知 △ABM △MCD(不要求证明). 探究： (2)如图2，在四边形ABCD中，点M在BC上，当∠B=∠C=∠AMD时，求证：△ABM∽ △MCD 拓展： (3)如图3，在△ABC中，点M是边BC的中点，点D,E分别在边AB,AC上.若∠B=∠C= ∠DME=45°，BC=102,CE=8,求DE的长 D D B M M M 图1 图2 图3 (第22题图) ·31· 23.（本小题13分) 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线和对边相交，顶，点与交点之间的线段把这 个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三 角形相似，我们把这条线段叫作这个三角形的完美分割线 (1)如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割 线； (2)在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的 度数； (3)如图2，在△ABC中，AC=2,BC=√2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底 边的等腰三角形，求完美分割线CD的长. D B 图1 图2 (第23题图) .32·所以该方程无实数根.答：饲养场的面积不能达到210平方米 23.解：(1)2t:(12-2t). (2)四边形ABCD是矩形，∴.AD//BC,∠B=90°，又.AP= CQ=(12-2t)cm,.四边形AQCP是平行四边形，当AQ=CQ 时，四边形AQCP是菱形，在Rt△ABQ中，由勾股定理得AQ= 48+B0(12-2)2=6+(2)3,解得4=是当1=号 时，四边形AQCP是菱形： (3)由折叠的性质得∠AQB=∠AQB',AB'=AB=6cm,BQ= B'Q=2tcm,∠AB'Q=∠B=90°，AD/BC,·.∠AQB= ∠PAQ,∴.∠AQB'=∠PAQ,∴.PA=PQ=(12-2t)cm,∴.B'P= 12-2t-2t=(12-4t)cm,∠AB'P=90°，∴△AB'P是直角三 角形，在Rt△AB'P中，AB2+BP2=PA2,62+(12-4t)2= (12-2t)2,整理得t-4t+3=0,解得t1=1,2=3,即当t为1 或3时，翻折后点B的对应点B恰好落在PQ上. 第三章图形的相似 1.B2.C3.A4.C5.B6.A7.C8.A9.B10.A 山.∠B=∠D(答案不唯-）卫.1213.94.(2，号)15 16解：(1)合=分b+d=0a+e=0 (2)①当a+b+c≠0时，6+9=a+9=a+b-2a+b+c=2 h a+b+c =t,∴.t2-2t-1=22-2×2-1=-1.②当a+b+c=0时，a= -6*e06结=-0-1=f-2-1=(-1 -2×(-1)-1=2.综上所述，t2-2t-1的值为-1或2. 17.解：(1)a+b-c=0-b+c=二a+b+c,+也=a+c- b a b b+c :a+b+c≠0，.a+b=a+-6+=a+6+a+c+b+c=2, b a a+b+c sa+b)b+c)(c+@=8. abc (2)△ABC为等边三角形.理由如下：因为a+b+c≠0，所以 比例的性质可得， a-b_b-c=s-a=a-b)+(b=c)+(c-a=0, a+b+c 所以a-b=0,b-c=0,c-a=0,所以a=b=c,故△ABC为等 边三角形. 18.(1)证明：AD=AB,.∠ADB=∠B,又.∠DEC=∠B, .∴.∠DEC=∠ADB,又.·∠DEC+∠AED=180°，∠ADB+ ∠ADC=180°，.∴.∠AED=∠ADC,又.：∠EAD=∠DAC, .∴.△AED∽△ADC. (2)解：由(1)可知，△AED∽△ADC, 小胎2又：B=0=2,=3C3-元解得4C= 4或-1（不合题意，舍去），.AC的长为4， 19.解：(1)(8-t)2t (2)①当器-器时.△P90△48C此时g-解得1 BA BC 8 4即经过4：后△PB0与△4C相似：②当能-器时，△Pa0 ~△CA此时。-受，解得1=1.6即经过1.6s后△PB0 与△ABC相似.综上可知，点P,Q同时出发，经过1.6s或4s 后△PBQ与△ABC相似. 20.解：(1)如图，△OAB即为所求 (2)如图，△OA,B,与△O,A,B,是以点M为位似中心的位似图 ·83 形，点M的坐标为(-4,2) 21.（1)证明：DE/BC,.∠ABC= ∠ADE,∠ACB=∠AED.∴.△ABC △ADE. (2)解：如图，过点E作EH⊥FB,垂足 为点H,由(I)知△ABC∽△ADE, 4C-BC=80=2·4C-2 AE-DE=200=5CE=3EHLBF,AFLBC, ∴.∠EHC=∠AFC=90°.又：∠ECH=∠ACF,△ECH∽ △4GP器-即梁号A=20米 22.(1)解：∽； (2)证明：.·∠AMC=∠BAM+∠B=∠AMD+∠CMD,∠B= ∠AMD,∴.∠BAM=∠CMD,又.·∠B=∠C,∴.△ABM∽△MCD. (3)解：同(2)可得△BDM△CE品登：点M是边 52CD BC的中点，BM=CM=52,“CE=8,BD=5E, 2∠B=LG=450,LA=180°-LB-LG=90°，AB9 AC..AC=AB=BC=x10=10.AD=AB-BD=10 2 -至票46=AC-E=10-8=2,在m△1E中，DB= m+服=√停+2-头 23.(1)证明：.∠A=40°，∠B=60°，.∠ACB=80°，.△ABC不 是等腰三角形.：CD平分∠ACB,∴.∠ACD=∠BCD= 2∠ACB=40°，∠ACD=LA=40,△ACD为等腰三角 1 形..·∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC,∴.△BCD∽△BAC, .∴.CD是△ABC的完美分割线. (2)解：当AD=CD时（如图1），∠ACD=∠A=48°..△BDC △BCA,.∠BCD=∠A=48°.∴.∠ACB=∠ACD+∠BCD= 96.当AD=AC时（知图2），∠ACD=∠4DC=180°-48°。 2 66°..·△BDC∽△BCA,.∠BCD=∠A=48°，.∠ACB= ∠ACD+∠BCD=114°.当AC=CD时，∠ADC=∠A=48°，： △BDC∽△BCA,.∴.∠BCD=∠A=48°，这与∠ADC>∠BCD矛 盾，故舍去.综上，∠ACB的度数为96°或114° 0 D 图1 图2 (3)解：由题意知AD=AC=2,'△BCD一△BAC,B所=BC BC BD 设BD=x,则BA=BD+AD=x+2, x+2 ,∴.x=-1± 5,又：x>0,x=5-1.△BCD△BAC0=82 AC BC c0=5x2=6-E .∴.△EAH≌△GAH(SAS),..EH=GH..DG+DH=GH 2 .∴.BE+DH=EH. 期中测试卷 21.解：(1)B(1,0),C(3,0),D(3,2),E(5,4),F(5,0),G(9,0): 1.D2.B3.D4.D5.B6.A7.A8.C9.C10.D (2)分两种情况讨论： 132.1218-7x+0=0140°15多号 ①如图1，连接HD并延长交x轴于点P,则点P为正方形AB CD与正方形EFGH的位似中心， 16.解：(1)原方程可化为2x(x+1)-x(x+1)=0, 四边形ABCD为正方形，点A的坐标为(1,2)，.点D的坐 ∴.（2x-x)(x+1)=0,.x(x+1)=0,解得：x1=0,x2=-1; 标为(3,2)，：∠DCP=∠HGP=90°，∠DPC=∠HPG, (2)这里a=2,b=-25,c=-1..b2-4ac=(-25)2-4× AP0D△PG%-0即8那1号-子0p-3, 2x(-1）=20>0,x=25t2四-5生51=5,5 2 .正方形ABCD与正方形EFG的位似中心的坐标是(-3,0)： 2×2 2 y 为=B+5 H 17.(1)证明：依题意，可知a=1,b=-(2k+1),c=2+k,∴.△=b2 D -4ac=[-(2k+1)]2-4×1×(k2+k)=1>0,.无论k为何 OB C F B C 值，方程总有两个不相等的实数根； (2)解：由(1)知一元二次方程有两个不相等的实数根，.x三 图1 图2 -b±B=4c_2k+】±1，解得x=k+1,=k“方程的两 ②如图2，连接CE,DF交于点Q,由题意得C(3,0),E(5,4),D 2a 2 (3,2),F(5,0),易求出直线DF的函数表达式为y=-x+5, 1 个根互为相反数，.k+1+k=0,解得k=- 2…心=-2 直线CE的函数表达式为y=2x-6, 1 1分内=弓放当=一分时，方程的两个根互为相反数。 联立，得厂y=x+5, =3 Ly=2x-6. 解得 4, 1 方程的根分别为=2西=-2 3 1 18.解：(1)由图可得：Sc=7×3×2=3: 六直线DF,CE的交点Q的坐标为（兮，号），正方形ABCD (2)S△ANCSA11=3:12=1:4△ABC与△A,B,C,的相 与正方形EFGH的位似中心的坐标是（号，号）.综上，位似中 似比为：1：2，点A的坐标为(-4,1)，点B的坐标为(-1 1),点C的坐标为(0，-1)..点A的坐标为(-8,2)或(8， 心的坐标从-3,0)或号，号. 2),点B的坐标为(-2,2)或(2，-2)，点C的坐标为(0，- 22.解：(1)y=10x+200.设y与x的函数关系式为y=:+b(k≠0)，将 2)或(0,2)，如图，△ABC为所求.（画出其中一个即可） (020),(10,3知)分圳代人y=红+6得a0n.解得 k=10, {6=200,y与x的函数关系式为y=10x+200; (2)根据题意，得(100-60-x)(10x+200)=8910,整理，得 x2-20x+91=0,解得x1=7,x2=13.要求优惠力度最大， .x=13,∴.100-x=100-13=87..∴.每双运动鞋的售价应该 定为87元. 19.证明：(1).·AD⊥BC,.∠ADC=∠ADB=90°。 (3)定价为90元/双时，公司每天能获得9000元的利润.根据 AE=CE,.DE是Rt△ACD斜边上的中线，∴DE=CE, 题意，得(100-60-x)(10x+200)=9000,整理，得x2-20x+ ∴.∠C=∠EDC,又.·∠BDF=∠EDC,∴.∠BDF=∠C 100=0,解得x1=x2=10.每双运动鞋的利润不低于成本价 .∠BAD+∠ABD=90°，∠C+∠ABD=90°，∴.∠BAD=∠C 的50%，∴.100-60-x≥60×50%，.x≤10，∴.x=10符合题 ∠BDF=∠BAD,又∠F=∠F,.△DBF∽△ADF; 意，此时100-x=90,∴.定价为90元/双时，公司每天能获得 (2)y△DBF△ADF,BD=DE 9000元的利润. AD AF :∠ADB=∠CDA=90°， 23.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，∴.A0=C0,AB=DC, ∠B40=LC△A0△CD,号-器装-张 .·BD⊥AC,.·.∠AOB=∠COB=90°，在△AOB和△COB中. rAO=CO. 20.（1)证明：.·四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，.AB=AD, ∠AOB=∠COB,∴.△AOB≌△COB(SAS),.AB=CB AE=AG,∠DAB=∠B=∠EAG=90°，∴.∠EAD+∠DAG=90° BO=BO ∠BAE+∠EAD=9O°，∴.∠BAE=∠DAG.在△BAE和△DAG中 .□ABCD是菱形. rAE=AG, ∠BAE=∠DAG,∴.△BAE≌△DAG(SAS),∴·.∠ADG=∠B=90° (2)①证明：四边形ABCD是平行四边形D0=B0=号BD LAB =AD (2)解：BE+DH=HE,理由如下：△BAE≌△DAG,.BE= =3,A0=C0=2AC=4,A0°+0D=4+3”=25=AD, DG,AE=AG.四边形AEFG是正方形，.∠EAH=∠GAH= .△AOD是直角三角形，且∠AOD=90°，.AC⊥BD, AE=AG. .·.□ABCD是菱形. 45°.在△EAH和△GAH中， ∠EAH=∠GAH, ②解：四边形ABCD是菱形； LAH =AH. .∴.∠ACB=∠ACD, ·84·