学情监测(二)第二章 一元二次方程-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

班级 姓名 得分 九年级数学BS(上册)学情监测（二） (满分：120分时间：100分钟监测范围：第二章) 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个答案， 其中只有一个是正确的) 题号 1 2 3 4 6 7 8 9 10 答案 1.下列方程一定是一元二次方程的是 A.ax2+bxc=0 B.2.x2-1=3.x C.x2+4-3=0 D.2x2-y=1 2.已知x=一1是一元二次方程x2十mx一5=0的一个解，则 m的值是 () A.-4 B.-5 C.5 D.4 3.方程2x2=3(x一6)化为一般形式后二次项系数、一次项系 数、常数项分别是 () A.2,3,-6 B.2,-3,18 C.2,-3,6 D.2,3,6 4.2025年12月10一11日，中央经济工作会议正式定调： 2026年国补“优化不退出”.某型号的笔记本电脑发售时每 台售价12888元，经补贴政策活动优惠后，这台笔记本电 脑的售价下降了两次，且每次降价的百分率相同，现在每 台售价为8888元，设每次降价的百分率为x,则可以列出 相关的方程 ) A.12888(1-2x)=8888 B.12888(1-x)2=8888 C.12888(2-x)=8888 D.12888(x-2)=8888 5.(2025·新疆)用配方法解一元二次方程x2十4x一6=0，此 方程可变形为 () A.(.x+2)2=10 B.(x-2)2=10 C.(x+2)2=2 D.（x-2)2=2 6.(2025·河南)关于x的一元二次方程x2+mx一8=0的根 的情况是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 7.若x1十x2=3,x12十x2=5,则以x1,x2为根的一元二次方 程是 A.x2-3x+2=0 B.x2+3x-2=0 C.x2+3x+2=0 D.x2-3.x-2=0 8.某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，每两队 之间都要赛一场，赛程共5天，每天3场比赛，则参加比赛 的球队应有 () A.5队 B.6队 C.8队 D.9队 9.(2025·兰州)关于x的一元二次方程x2十bx十c=0有两 个相等的实数根，则b2一2(1+2c)= A.-2 B.2 C.-4 D.4 10.(2025·泸州)若一个菱形的两条对角线长分别是关于x 的一元二次方程x2一10x十m=0的两个实数根，且其面 积为11，则该菱形的边长为 ( A.√3 B.2√3 C.√/14 D.2√/14 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.若关于x的一元二次方程(m一2)x2+3x+m2一4=0有 一个根为0，则m= 12.已知a,b是一元二次方程x2十3x一2=0的两个根，则a十 2a一b的值是 13.(2025·锦州)关于x的一元二次方程(m一1)x2+2x+1= 0有实数根，则实数m的取值范围是 14.已知关于x的方程x2-(a2-2a-15)x+a-1=0两个 根是互为相反数，则a的值为 15.我国古代数学家研究过用几何法解一元二次 方程.以方程x(x十6)=72为例加以说明.数 学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的 方法是：如图，将四个长为x十6，宽为x的长方形拼成一 个大正方形，则大正方形的边长是x十6十x,面积是四个 矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即4×72十6= 324=182,据此易得x十6十x=18,x=6(正根).小熙用此 方法解关于x的方程x(7x一a)=20,其中7x一a>x构 造出同样的图形，已知小正方形的面积为64，则a的值是 8 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(10分)选择合适的方法解下列方程： (1)2x2-3x-1=0. (2)x2-1=2(x+1). 17.(8分)已知方程x2一4x十m=0的一根为2十3，求方程 的另一根和m的值， 18.(9分)解方程(x一1)2一5(x一1)十4=0时，我们可以将 x一1看成一个整体，设x一1=y,则原方程可化为y2一 5y十4=0，解得y1=1,2=4.当y=1时，即x-1=1,解 得x=2;当y=4时，即x一1=4，解得x=5,所以原方程 的解为=2，x2=5.请利用这种方法求方程(2x十5)2一 4(2x+5)+3=0的解. 9 19.(9分)已知关于x的一元二次方程x2一6x+2a+5=0有 两个不相等的实数根x1,x2. (1)求a的取值范围. (2)若x12十x22一x1x2≤30，且a为整数，求a的值. 20.(9分)春季是流感的高发时期，某校4月初有1人患了流 感，经过两轮传染后，共有25人患流感 (1)试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少 个人会患流感？ 10 21.(9分)如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm,点 P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点 Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.问：几秒 时△PBQ的面积等于8cm. 22.(10分)【项目化学习】 【项目主题】劳动基地扩建方案 【项目背景】学校计划扩建某劳动基地，综合实践活动小组 以设计“劳动基地扩建方案”为主题开展了一次项目学习. 【信息获取】 信息1，如图，原劳动基地为矩形，AB的长为25m,BC的 长为45m;信息2，如图，扩建后的新劳动基地仍为矩形， BE的最大长度为32m,BG的最大长度为58m. 【问题解决】 (1)若新劳动基地的面积为1500m,且AE=CG,求BG 和BE的长. (2)当CG=3AE时，新劳动基地的面积可以为1800m 吗？请说明理由， 原劳动基地 11 23.(11分)如果关于x的一元二次方程a.x2+bx十c=0有两 个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样 的方程为“三倍根方程”.例如：方程x2一4x十3=0的两 个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”. (1)方程x2一12x+27=0 (填“是”或“不是”)“三 倍根方程”； (2)若x2一(m十n)x十mm=0是关于x的“三倍根方程”， 求代数式mn的值： (3)如果关于x的一元二次方程a.x2+bx十c=0(a≠0)是 “三倍根方程”，试探究a、b、c应满足的数量关系. 12由图知，共有4种等可能结果，其 中A、B之间的两个元件都通过电 专练46统计与概率的综合 流才能正常通过的只有1种结果， 典例导练 所以A、B之间的两个元件都通过 (1)图略50 电流才能正常通过概率为子 (2)2010144 (2)由图知，共有4种等可能结果，(3)画树状图略.共有20种等可能的 其中C、D之间的两个元件都通过：结果，其中恰好是小鹏和小兵参加比 电流才能正常通过的有3种结果，：赛的结果有2种，∴.恰好是小鹏和小 ∴.CD之间两个元件中至少有 兵参加比赛的概率为一0， 21 个元件通时电流就能通过的概率 《学情监测》参考答案 学情监测（一） 菱形 1-5 CBBCC 6-10 CBACB 3)当或12时，△DEF是 11.对角线相等的平行四边形是矩形 直角三角形， 12.(6,2√5)13.AB=BC14.12 ①当t=12时，△DEF是直角三 15.号或1016.S=65. 角形（∠DEF=90).理由如下：当 17.(1)证明略；(2)AE=3. ∠EDF=90时，DE∥BC 18.(1)图略；(2)∠BED=35. ∴.∠ADE=∠C=30°， 19.略. ..AD=2AE,.CD=4t, 20.(1)证明略； .DF=2t=AE,∴.AD=4t, ∴.4t+4t=60, (2)菱形ABCD的面积=18√3. 21.（1)证明略； 12时，∠EDF=90 (2)①120②10√2 ②当∠DEF=90时，DE⊥EF, 22.(1)证明略； ,四边形AEFD是平行四边 (2)EGCG=EF+AF=AE. 形，∴.AD∥EF,∴.DE⊥AD, 23.(1)证明：.Rt△ABC中，∠C ∴.△ADE是直角三角形， 90°-∠A=30°，CD=4t,AE= ∠ADE=90°，.∠A=60°， 2t,在Rt△CDF中，∠C=30°， ∴∠DEA=30,AD=2AE, ∴DF=2CD=2,∴DF=AE, AD-AC-CD=60-4t,AE= (2)DF∥AB,DF=AE,∴.四 DF-CD=21, 边形AEFD是平行四边形，当 ∴.60-4t=t,解得t=12.综上所 AD=AE时，四边形AEFD是 菱形，即60一4t=2t,解得：t= 述，当1=号时，△DEF是直角 10,即当t=10时，□AEFD是 三角形（∠EDF=90°）；当t=12 79 时，△DEF是直角三角形20.河宽为17m. (∠DEF=90). 21.(1)△EAP∽△CBP,△AEP 学情监测（二） △DEC,△BCP∽△DEC; 1-5 BABBA 6-10 AABAC (2)选△EAP∽△CBP,理由略. 11.-212.5 22.(1)略；(2)BD=35 13.m≤2且m≠114.-315.4 23.(1)证明：，∠A=∠A,∠ACD 16.(1).x=3+17 =∠B,.△ACD△ABC, 4 2=37 是SACc=AD:AB: 4·； (2)设AD=m,,点D为AB的 (2)=-1,2=3. 中点，∴.AD=BD=m,AB= 17.x2=2-3, 2m,由(1)得△ACD∽△ABC, m=(2+√3)(2-√3)=1. 畏C品AC=AD 18.x1=-1,x2=-2. ·AB=mX2m=2m2,.AC= 19.(1)a<2. √2m或AC=一√2m(不符合题 (2)a的值为-1,0,1. 20.(1)设每轮传染中平均一个人传 意，合》畏品” 染x个人，根据题意得：1十x十 c=4E,cD-90 ② x(x十1)=25，解得：x1=4,x2 =4,∴.CD的长是4： 6(不合题意，舍去). (3)取BD的中点M,连接CM, (2)25+25×4=125(人). EM,点E为CD的中点， 21.2s或4s后△PBQ的面积等于 .EM是△BCD的中位线， 8cm2. ∴.EM∥CB,∠CDB=∠CBD= 22.(1)BG的长为50m,BE的长为 30°，∴.CD=CB,∠EMD 30m; ∠CBD=30°，.CM⊥BD, (2)不可以，理由略 ∠ADC=∠BME=180°-30°= 23.(1)是 150°，.∠ACD=∠EBD, 28 ∴.△ACDp△EBM, 器腮 (3)a,b,c之间的关系是3b 16ac=0. D=-c. 学情监测（三） ,∠CMB=90°，∠CBM=30, 1-5 BCADB 6-10 CCCAC 11.3512.1.213.2.414.4:1 農 2 15.②③16.相似，理由略. 9c-4 17.S△D=5.18.略. 19.证明略. BEAC=6,BE的长是6， 80 学情监测（四） 17.(1)y=-(x+1)2+4. 1-5 BDCCC 6-10 BDACD (2)令-(x十1)2+4=0，解得 11.平行投影中心投影 =一3，x2=1,故可将图象向右 12.三棱柱13.1014.18 平移3个单位或向左平移1个 15.2216.略.17.20000元. 单位，新图象经过坐标原点. 18.(1)略；(2)DE=7.5(m). 18.(1)A、B两点的坐标分别是（一 19.棱柱的侧面积=80(cm). 1,0),(0,2). 20.两路灯之间的距离是30m (2)由图可知，一1<x<0时，y 21.(1)过C作CH⊥BD交BD延长 >y2, 线于H,在Rt△CDH中，∠CHD 19.(1)将(-1,0)、(2,0)代入y= =90°，∠CDH=30°， 0=1-b+c x2+bx十c得 0=4+2b+c ∴.CH=2CD=7X12=6m b=-1 (2)过H作HE∥AC交AB于E, c=-2y=2-x-2. .AE⊥BD,CH⊥BD,.AE∥ (2):y=x2-x-2=(x-号) CH,.AE=CH=6m,∠CHD =90°，.DH=√CD-Cf 9 ∴抛物线开口向上，顶点 √12-6=6√5m,.BH=BD 坐标为3，) +DH=(86+6√3)m, 山题意，得需2号，即 “x=时y最小值为一是， 1 BE 2 “2-(-2)>1- 86+6√5 3 x=一2时，y=4十2-2=4为 ·BE=2 (86+6/3)≈64， 最大值，∴.当一2≤x≤1时，y的 .AB=AE+BE≈6+64= 最大值与最小值的差为4 70m. (-)翠 答：小明测得的九天楼高度为 20.垂直于墙的边为20m,平行于墙 70m. 的边为60m,花园面积最大为 22.(1)三棱柱；(2)略： 1200m. (3)(600+4002)cm. 21.(1)y=-10.x+900. 学情监测（五） (2)当售价定为60元时，利润最 1.B2.A3.A4.D5.C6.D 大，最大值为6000元. 7.C8.D9.C10.C11.-2 22.(1)P(0,2.8),a的值是-0.4. 12.y=(x-2)2-213.-1<x<3 (2)选择吊球方式，球的落地点 14.1015.9 到C点的距离更近！ 23.(1)4-3 16.y=x2+4x=(.x2+4x+4)-4 (2)点Q的坐标为(2,1一2√5) (x十2)2一4，对称轴为直线x 一2，顶点坐标为（一2，一4）. 或(2,1+25)或(2，-2)或 81