第32章 锐角三角函数专题讲义 2026-2027学年人教版数学九年级下册

本讲义聚焦锐角三角函数核心知识点，系统梳理从定义、特殊角值、增减性到解直角三角形的基础内容，延伸至仰角俯角、坡度坡角、方位角等实际应用及与四边形、圆的综合问题，构建从概念到应用的完整学习支架。 该资料以考情分析把握2027中考趋势，通过典例精讲与变式训练提升推理运算能力，分层检测和十大易错点清单助力课中教学与课后查漏补缺，实际问题建模环节培养用数学语言描述现实世界的应用意识，凸显学科特色教学方法。

人教版 九年级数学下册 第 32 章 锐角三角函数 全章专题讲义 · 教师版 知识清单 · 题型全解 · 变式训练 · 全章总结 · 分层检测 （含全部解析与答案 · 面向 2027 年中考 · 原创命制） 目 录 第一部分 考情分析与 2027 命题趋势 第二部分 知识清单（八大考点） 考点一 锐角三角函数的定义 考点二 特殊角的三角函数值 考点三 锐角三角函数的增减性 考点四 解直角三角形 考点五 仰角、俯角与测量 考点六 坡度与坡角 考点七 方位角 考点八 实际问题与数学建模 全章公式速查表 十大易错点清单 第三部分 题型全解（典例精讲＋变式训练） 题型一 求锐角三角函数值 题型二 含特殊角的实数运算 题型三 解直角三角形 题型四 仰角、俯角的实际应用 题型五 坡度与坡角问题 题型六 方位角与航行问题 题型七 测量高度与宽度 题型八 与四边形、圆的综合 第四部分 全章总结 第五部分 分层检测（A 基础 / B 提升 / C 挑战） 答案速查表与重点逐题详解 第一部分 考情分析与 2027 命题趋势 锐角三角函数是初中"图形与几何""数与代数"两大领域的交汇点，既是解直角三角形、测量与航行的核心工具，又为高中任意角的三角函数奠基，是中考的必考内容。 考查维度 常见考查形式 分值占比（约） 基础概念 定义辨析、特殊角值计算 5~8 分 解直角三角形 已知两个元素求其余元素 6~10 分 实际应用 仰俯角、坡度、方位角等测量情境 8~14 分 综合题 与四边形、圆、函数交叉命题 6~12 分 图 1 中考考点权重分布（面向 2027 预测） 命题趋势：① 情境化——以真实测量、工程、航海避险为背景；② 弱化纯记忆，强化"从实物图剥离直角三角形"的建模能力；③ 与相似、四边形、圆、函数交叉命题。建议本讲义完成后重点突破建模与分类讨论。 第二部分 知识清单（八大考点） 考点一 锐角三角函数的定义（正弦 · 余弦 · 正切） 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°。把锐角 A 的对边与斜边的比叫做 ∠A 的正弦；邻边与斜边的比叫做 ∠A 的余弦；对边与邻边的比叫做 ∠A 的正切，分别记作 sin A、cos A、tan A。它们都只与角 A 的大小有关，与三角形的大小无关。 图 2 直角三角形中的锐角三角函数（∠C = 90°） 定义式（结合图 2，"对边、邻边"是相对所研究的角而言）： 名称 定义（∠C = 90°） 字母表示 正弦 sin A ∠A 的对边 ÷ 斜边 sin A = 余弦 cos A ∠A 的邻边 ÷ 斜边 cos A = 正切 tan A ∠A 的对边 ÷ 邻边 tan A = 【易错提醒】 ① sin A 是"比值"，不是 sin 乘以 A；0 < sin A < 1，0 < cos A < 1，tan A > 0。 ② 换研究角后 a、b 的意义随之改变，切勿把对边、邻边张冠李戴。 ③ 同角关系：tan A = ；sin²A + cos²A = 1。 考点二 特殊角的三角函数值 30°、45°、60° 是中考计算题的常客，其函数值必须熟记： 图 3 两类特殊直角三角板与三边比 角度 sin cos tan 30° 45° 60° 【记忆口诀】 正弦值：分母都为 2，分子依次为 √1、√2、√3；余弦与之相反。tan 30° · tan 60° = 1（互余两角的正切互为倒数）。 考点三 锐角三角函数的增减性 当锐角 α 在 0° ~ 90° 之间增大时： 函数 随角度增大如何变化 增减性 sin α 逐渐增大 增函数 cos α 逐渐减小 减函数 tan α 逐渐增大 增函数 【应用】比较两锐角三角函数值大小：sin、tan 随角增大而增大，cos 随角增大而减小。 考点四 解直角三角形 直角三角形共 6 个元素（3 边 3 角，含 1 个直角）。除直角外，已知其中 2 个元素（至少有一个是边），就能求出其余元素。 已知条件 求解依据 所用公式 两直角边 a、b 勾股定理 c = 斜边 c、直角边 a 勾股定理 b = 斜边 c、锐角 A 三角函数 a = c·sin A，b = c·cos A 直角边 a、锐角 A 三角函数 b = ，c = 两锐角 互余关系 ∠A + ∠B = 90° 【常用结论】 30° 角所对的直角边等于斜边的一半；斜边上的中线等于斜边的一半；斜边上的高 h = 。 考点五 仰角、俯角与测量 测量时视线与水平线所成的角：视线在水平线上方叫仰角，在下方叫俯角。构造直角三角形后，用正（余）切建立"水平距离—铅直高度"关系求解。 图 4 仰角与俯角 考点六 坡度与坡角 坡面的铅直高度 h 与水平宽度 l 的比叫做坡度（坡比），记作 i = h∶l；坡面与水平面的夹角 α 叫坡角。 关键关系：。坡度越大，坡角越大，坡面越陡。 图 5 坡度与坡角 考点七 方位角 方位角以正北（或正南）方向为基准描述目标方向。"北偏东 30°"表示从正北方向顺时针旋转 30°。 图 6 方位角的表示（北偏东 60°） 考点八 实际问题与数学建模 航海避险、测量高度与宽度、大坝堤坡、楼梯改造等，几乎都是"把实际情境抽象为直角三角形"的过程。常见双点测高、测河宽模型见第三部分配图。 全章公式速查表 类别 公式 / 结论 定义（∠C=90°） sin A = ，cos A = ，tan A = 互余关系（A+B=90°） sin A = cos B，cos A = sin B 同角关系 tan A = ，sin²A + cos²A = 1 勾股定理 a² + b² = c² 坡度坡角 i = = tan α 特殊角值 sin 30° = ，cos 45° = ，tan 60° = 十大易错点清单 序号 易错点 正确做法 1 把 sin A 当成 sin 乘 A 它是整体符号，表示比值 2 用错对边 / 邻边 先认准所研究的锐角 3 非直角三角形直接用定义 先作高构造直角三角形 4 特殊角值记混 用三角板边比推导验证 5 比较大小不看增减性 sin、tan 增，cos 减 6 坡度与坡角混淆 i = tan α，不是 sin α 7 仰俯角基准用错 都以水平线为边 8 漏加观测者（仪器）高 楼高 = 水平距·tan α + 目高 9 结果不化简或乱取近似 按题中近似值取 10 分类讨论漏解 高在形内 / 形外需分类 第三部分 题型全解（典例精讲 + 变式训练） 题型一 求锐角三角函数值 典例 1在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，求 sin A、cos A、tan A。 【解析】 由勾股定理 。 【解析】 sin A = ，cos A = ，tan A = 。 【方法提炼】 先用勾股求第三边，再以 ∠A 为中心取"对 / 邻 / 斜"，切勿弄反。 变式 1 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 13，BC = 5，求 ∠A 的三个三角函数值。 （答案：AC = 12，sin A = ，cos A = 12/13，tan A = ） 题型二 含特殊角的实数运算 典例 2计算：2 sin 60° − tan 45°。 【解析】 sin 60° = ，tan 45° = 1。原式 = 2 × − 1 = − 1 【方法提炼】 先代入特殊角值，再按运算顺序化简，结果保留最简根式。 变式 1 计算：cos²30° + sin²30° + tan 45°。 （答案：1 + 1 = 2） 变式 2 计算： · tan 30° − 2 sin 30°。 （答案：1 − 1 = 0） 变式 3 计算 2 cos 45° + · sin 60° · tan 60°，并求其整数部分。 （答案：= + = ≈ 3.54，整数部分为 3） 题型三 解直角三角形 典例 3在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，斜边 AB = 8，解这个直角三角形。 【解析】 ∠B = 90° − 30° = 60°；BC = AB·sin A = 8 × = 4；AC = AB·cos A = 8 × = 4√3。 【方法提炼】 已知斜边与一锐角，用 sin、cos 直接求两直角边，另一锐角用互余。 变式 1 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，∠B = 60°，解直角三角形。 （答案：∠A = 30°，BC = 2 ，AB = 4 ） 变式 2 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a = 6，c = 10，求 sin B、cos B 及 ∠A。 （答案：b = 8，sin B = ，cos B = ，∠A ≈ 37°） 题型四 仰角、俯角的实际应用 典例 4数学小组在离大楼底部水平距离 24 m 的 A 处，用测角仪测得楼顶仰角为 30°，测角仪高 1.6 m，求大楼高度（结果含 √3，并取 √3 ≈ 1.73）。 【解析】 楼顶到水平视线的高度 = 24 × tan 30° = 24 × = 8 (m)。 【解析】 大楼高度 = 8+ 1.6 ≈ 8 × 1.73 + 1.6 ≈ 15.4 (m)。 【方法提炼】 铅直高度 = 水平距离 × tan 仰角，别忘了加上测角仪（人）的高度。 变式 1 飞机在 P 处测地面控制点 A 的俯角为 30°，飞行高度 2000 m，求此时到 A 的水平距离（含 ）。 （答案：2000 ÷ tan 30° = 2000 m） 变式 2 在塔 CD 同侧 A、B 两处测塔顶仰角分别为 45°、30°，A、B 相距 200 m，求塔高 CD（≈ 1.732）。 （答案：CD = 100( + 1) ≈ 273 m） 题型五 坡度与坡角问题 典例 5某拦水坝背水坡坡度 i = 1∶2.4，坡面 AB 长 26 m，求坡面铅直高度和水平宽度。 【解析】 设铅直高 h = k，水平宽 l = 2.4k，坡面 = = 26，得 k = 10。故 h = 10 m，l = 24 m。 【方法提炼】 把 h、l 按坡度设成比例数，再用坡面（斜边）列方程，本质是勾股。 变式 1 坡度 i = 1∶√3 的山坡，人沿坡面前进 100 m，升高了多少米？ （答案：坡角 30°，升高 100·sin 30° = 50 m） 变式 2 坡度 1∶2.5 的斜坡铅直上升 6 m，水平前进了多少米？ （答案：水平 = 6 × 2.5 = 15 m） 题型六 方位角与航行问题 典例 6轮船以 20 n mile/h 向正东航行。在港口 O 测得灯塔 M 在北偏东 60° 方向，OM = 24 n mile。若不改变航向，求航线到灯塔 M 的最近距离，并判断轮船是否会进入距灯塔 10 n mile 的范围。 图 方位角航行示意 【解析】 最近距离即 M 到航线的垂线段长 = OM · cos 60° = 24 × = 12 (n mile)。 【解析】 12 > 10，轮船不会进入灯塔 10 n mile 范围，安全。 【方法提炼】 过目标向航线作垂线，用方位角把垂线段用 cos 求出，再与影响半径比较。 变式 1 台风中心在港口北偏东 60° 方向 30 km 处，影响半径 12 km，轮船沿正东航线是否受影响？ （答案：最近距离 30·cos 60° = 15 km > 12 km，不受影响） 题型七 测量高度与宽度 典例 7测河宽：在河岸 A 处测得对岸大树 P 恰在正北方向，沿河岸向东走 40 m 到 B 处，测得 ∠PBA = 60°，求河宽 PA（结果含 √3）。 图 测河宽（不可到达点）示意 【解析】 P 在 A 正北、AB 沿正东，故 PA ⊥ AB，∠PAB = 90°。 【解析】 河宽 PA = AB·tan∠PBA = 40 × tan 60° = 40√3 ≈ 69.3 (m)。 【方法提炼】 测不可到达距离：构造直角三角形，把所求量放成"对边"，用 tan 与已知边建立关系。 变式 1 若上题中 ∠PBA = 55°，tan 55° ≈ 1.43，河宽 PA 约为多少米？ （答案：PA ≈ 40 × 1.43 = 57.2 m） 题型八 与四边形、圆的综合 典例 8正方形 ABCD 边长为 4，E 是 BC 的中点，连接 AE、DE，求 tan∠BAE 与 cos∠DAE 的值。 【解析】 取 A(0,0)、B(4,0)、C(4,4)、D(0,4)，则 E(4,2)，BE = 2。在 Rt△ABE 中 ∠B = 90°，tan∠BAE = 。 【解析】 以 A 为原点，AD = (0,4)，AE = (4,2)，|AD| = 4，|AE| = 。 【解析】 cos∠DAE = 。 【方法提炼】 正方形 / 网格中的三角函数：建系或用"作高—勾股—定义"三步，避免直接套角。 变式 1 在方格纸中取格点 B(0,0)、A(1,3)、C(3,1)，求 tan∠ABC。 （答案：tan∠ABC = = 4/3） 变式 2 在 ⊙O 中半径为 5，弦 AB = 6，求弦 AB 所对的圆周角的正弦值。 （答案：弦心距 = 4，圆周角正弦 = 3/5（优、劣弧两类圆周角正弦相同）） 第四部分 全章总结 本章以"锐角三角函数"为核心工具，以"解直角三角形"为主线，最终落脚于"用三角函数解决实际问题"。全章知识结构如下： 图 第 32 章知识结构图 一、思想方法总结 数学思想 在本章的体现 建模思想 把测量、航海、堤坡等实际情境抽象为直角三角形 转化思想 斜三角形通过作高转化为直角三角形求解 数形结合 借助图形准确辨认对边、邻边再列比 特殊与一般 由特殊角值归纳一般锐角的函数关系 方程思想 仰俯角、双点测高中设未知数列方程 二、解题通法（三步法） 第一步：构造或找出直角三角形（作高、延长、补形）。 第二步：选定研究角，正确标出对边、邻边、斜边。 第三步：选择恰当的三角函数（或勾股）列式求解——"斜边找 sin/cos，对邻找 tan"，并按要求取近似值。 三、中考展望（面向 2027） 预测 2027 年中考：仰俯角测量、坡度问题、与圆或四边形综合的"背景实际应用题"仍是压轴小题高频区；纯计算题分值下降、情境化程度上升。复习应重点训练"从实际图形剥离直角三角形"的建模能力，而非机械计算。 第五部分 分层检测（A 基础 / B 提升 / C 挑战） A 组（基础） 1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 5，BC = 3，则 sin A = ______。 2. 计算：sin 30° + cos 60° = ______。 3. 若 tan A = 1，则锐角 A = ______°。 4. 把 tan 30°、sin 45°、cos 60° 按从小到大排列：______。 5. Rt△ABC 中 ∠C = 90°，AC = 8，tan A = ，则 BC = ______。 6. 某坡坡度 i = 1∶1，则坡角为 ______°。 7. 一个锐角的正弦值为 ，则它的余弦值为 ______。 8. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，c = 2a，则 sin A = ______。 9. 计算：· cos 45° + · tan 30° = ______。 10. 已知锐角 A 满足 cos A = ，则 tan A = ______。 B 组（提升） 1. 在离旗杆 12 m 处测得旗杆顶仰角 60°（测角仪高 1.5 m），求旗杆高（√3 ≈ 1.73）。 2. 轮船向正东航行，在 A 测灯塔 P 在北偏东 60°，航行 80 n mile 到 B 测 P 在北偏西 60°，求 B 到灯塔 P 的距离。 3. 一段河堤背水坡原坡度 i = 1∶2.4，坡高 6 m；现改为 i = 1∶3，求坡底需向外拓宽多少米。 4. 已知 α 为锐角，sin α = 3/5，求 cos α 与 tan α。 5. 计算：2 cos²45° − tan 60° · sin 60° + sin²30° + cos²30°。 6. 热气球 A 看楼顶部 B 仰角 30°、看底部 C 俯角 45°，与楼水平距离 60 m，求楼高（ ≈ 1.732）。 7. Rt△ABC 中 ∠C = 90°，CD 是斜边上的高，AB = 13，BC = 5，求 tan∠ACD。 8. 斜坡 AB 坡角为 30°，一物体沿斜面滚下 100 m，铅直下降了多少米？ C 组（挑战） 1. 某海岛周围 8 n mile 内有暗礁。轮船由西向东航行，在 A 测海岛在北偏东 60°，继续航行 20 n mile 到 B 测海岛在北偏东 30°。若继续东行，有无触礁危险？ 2. 在 ⊙O 中，半径为 5，弦 AB = 8，求圆心到弦 AB 的距离，并求弦 AB 所对劣弧对应圆心角的一半的正弦值。 3. 已知锐角 A、B 满足 tan A · tan B = 1，求证 A + B = 90°，并用一个具体直角三角形验证。 答案速查表与重点逐题详解 A 组 1–10 t3/5 | 1 | 45 | cos60° < tan30° < sin45 | 6 | 45 | | 1/2 | 2 | 4/3 重点逐题详解 A 组 A5：tan A = BC/AC ⇒ BC = AC·tan A = 8 × 3/4 = 6。 A7：sin A = 1/2 ⇒ A = 30° ⇒ cos A = 。 A9：√2·(√2/2) + √3·(√3/3) = 1 + 1 = 2。 A10：cos A = 3/5 ⇒ 邻 3 斜 5 对 4 ⇒ tan A = 4/3。 B 组 B1：旗杆高 = 12·tan 60° + 1.5 = 12√3 + 1.5 ≈ 20.8 + 1.5 ≈ 22.3 m。 B2：∠PAB = 30°，∠PBA = 30°，∠P = 120°，PA = PB。由正弦定理 PB = n mile。 B3：原水平 = 6×2.4 = 14.4；新水平 = 6×3 = 18；拓宽 = 18 − 14.4 = 3.6 m。 B4：sin α = 3/5 ⇒ cos α = 4/5，tan α = 3/4。 B5：2×(1/2) − √3·(√3/2) + 1 = 1 − 3/2 + 1 = 1/2。 B6：楼高 = 60·tan 30° + 60·tan 45° = 20√3 + 60 ≈ 94.6 m。 B7：AC = 12；CD ⊥ AB ⇒ ∠ACD = ∠B，tan∠ACD = tan∠B = 。 B8：下降 = 100·sin 30° = 50 m。 C 组 C1：作 PD ⊥ 航线于 D，∠PAD = 30°，∠PBD = 60°。设 AD = x，则 PD = ，又 PD = (x−20)tan 60° = (x−20)√3，联立得 x = 30，PD = > 8，无触礁危险。 C2：弦心距 = ；半弦 4、半径 5，圆心角一半的正弦 = 。 C3：tan A = ⇒ A = 90°−B ⇒ A + B = 90°；用 30°/60° 直角三角形验证 tan 30°·tan 60° = 1。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版 九年级数学下册 第 32 章 锐角三角函数 全章专题讲义 · 学生版 知识清单 · 题型全解 · 变式训练 · 全章总结 · 分层检测 （学生版 · 含题目与图表 · 面向 2027 年中考） 目 录 第一部分 考情分析与 2027 命题趋势 第二部分 知识清单（八大考点） 考点一 锐角三角函数的定义 考点二 特殊角的三角函数值 考点三 锐角三角函数的增减性 考点四 解直角三角形 考点五 仰角、俯角与测量 考点六 坡度与坡角 考点七 方位角 考点八 实际问题与数学建模 全章公式速查表 十大易错点清单 第三部分 题型全解（典例精讲＋变式训练） 题型一 求锐角三角函数值 题型二 含特殊角的实数运算 题型三 解直角三角形 题型四 仰角、俯角的实际应用 题型五 坡度与坡角问题 题型六 方位角与航行问题 题型七 测量高度与宽度 题型八 与四边形、圆的综合 第四部分 全章总结 第五部分 分层检测（A 基础 / B 提升 / C 挑战） 第一部分 考情分析与 2027 命题趋势 锐角三角函数是初中"图形与几何""数与代数"两大领域的交汇点，既是解直角三角形、测量与航行的核心工具，又为高中任意角的三角函数奠基，是中考的必考内容。 考查维度 常见考查形式 分值占比（约） 基础概念 定义辨析、特殊角值计算 5~8 分 解直角三角形 已知两个元素求其余元素 6~10 分 实际应用 仰俯角、坡度、方位角等测量情境 8~14 分 综合题 与四边形、圆、函数交叉命题 6~12 分 图 1 中考考点权重分布（面向 2027 预测） 命题趋势：① 情境化——以真实测量、工程、航海避险为背景；② 弱化纯记忆，强化"从实物图剥离直角三角形"的建模能力；③ 与相似、四边形、圆、函数交叉命题。建议本讲义完成后重点突破建模与分类讨论。 第二部分 知识清单（八大考点） 考点一 锐角三角函数的定义（正弦 · 余弦 · 正切） 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°。把锐角 A 的（1）________ 与斜边的比叫做 ∠A 的正弦；（2）________ 与斜边的比叫做 ∠A 的余弦；（3）对边与（4）________ 的比叫做 ∠A 的正切。它们只与角 A 的（5）________ 有关，与三角形的大小无关。 图 2 直角三角形中的锐角三角函数（∠C = 90°） 定义式（结合图 2，"对边、邻边"是相对所研究的角而言）： 名称 定义（∠C = 90°） 字母表示 正弦 sin A ∠A 的对边 ÷ 斜边 sin A = 余弦 cos A ∠A 的邻边 ÷ 斜边 cos A = 正切 tan A ∠A 的对边 ÷ 邻边 tan A = 【易错提醒】 ① sin A 是"比值"，不是 sin 乘以 A；0 < sin A < 1，0 < cos A < 1，tan A > 0。 ② 换研究角后 a、b 的意义随之改变，切勿把对边、邻边张冠李戴。 ③ 同角关系：tan A = ；sin²A + cos²A = 1。 考点二 特殊角的三角函数值 30°、45°、60° 是中考计算题的常客，其函数值必须熟记： 图 3 两类特殊直角三角板与三边比 角度 sin cos tan 30° 45° 60° 【自主默写】tan 30° · tan 60° = ______（互余两角的正切互为______）。 考点三 锐角三角函数的增减性 当锐角 α 在 0° ~ 90° 之间增大时： 函数 随角度增大如何变化 增减性 sin α 逐渐增大 增函数 cos α 逐渐减小 减函数 tan α 逐渐增大 增函数 【应用】比较大小：sin、tan 随角增大而______，cos 随角增大而______。 考点四 解直角三角形 直角三角形共 6 个元素（3 边 3 角，含 1 个直角）。除直角外，已知其中 2 个元素（至少有一个是边），就能求出其余元素。 已知条件 求解依据 所用公式 两直角边 a、b 勾股定理 c = 斜边 c、直角边 a 勾股定理 b = 斜边 c、锐角 A 三角函数 a = c·sin A，b = c·cos A 直角边 a、锐角 A 三角函数 b = ，c = 两锐角 互余关系 ∠A + ∠B = 90° 【填空】30° 角所对的直角边等于斜边的______；斜边上的高 h = （a、b 为直角边，c 为斜边）。 考点五 仰角、俯角与测量 视线在水平线上方所成的角叫______，在下方所成的角叫______（都以______线为一边）。 图 4 仰角与俯角 考点六 坡度与坡角 坡度 i = h∶l，坡角 α。关键关系 （注意是 tan α，不是 sin α）。 图 5 坡度与坡角 考点七 方位角 方位角以正北（或正南）方向为基准描述目标方向。"北偏东 30°"表示从正北方向顺时针旋转 30°。 图 6 方位角的表示（北偏东 60°） 考点八 实际问题与数学建模 航海避险、测量高度与宽度、大坝堤坡、楼梯改造等，几乎都是"把实际情境抽象为直角三角形"的过程。常见双点测高、测河宽模型见第三部分配图。 全章公式速查表 类别 公式 / 结论 定义（∠C=90°） sin A = ，cos A = ，tan A = 互余关系（A+B=90°） sin A = cos B，cos A = sin B 同角关系 tan A = ，sin²A + cos²A = 1 勾股定理 a² + b² = c² 坡度坡角 i = = tan α 特殊角值 sin 30° = ，cos 45° = ，tan 60° = 十大易错点清单 序号 易错点 正确做法 1 把 sin A 当成 sin 乘 A 它是整体符号，表示比值 2 用错对边 / 邻边 先认准所研究的锐角 3 非直角三角形直接用定义 先作高构造直角三角形 4 特殊角值记混 用三角板边比推导验证 5 比较大小不看增减性 sin、tan 增，cos 减 6 坡度与坡角混淆 i = tan α，不是 sin α 7 仰俯角基准用错 都以水平线为边 8 漏加观测者（仪器）高 楼高 = 水平距·tan α + 目高 9 结果不化简或乱取近似 按题中近似值取 10 分类讨论漏解 高在形内 / 形外需分类 第三部分 题型全解（典例精讲 + 变式训练） 题型一 求锐角三角函数值 典例 1在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，求 sin A、cos A、tan A。 变式 1 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 13，BC = 5，求 ∠A 的三个三角函数值。 题型二 含特殊角的实数运算 典例 2计算：2 sin 60° − tan 45°。 变式 1 计算：cos²30° + sin²30° + tan 45°。 变式 2 计算：√3 · tan 30° − 2 sin 30°。 变式 3 计算 2 cos 45° + sin 60° · tan 60°，并求其整数部分。 题型三 解直角三角形 典例 3在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，斜边 AB = 8，解这个直角三角形。 变式 1 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，∠B = 60°，解直角三角形。 变式 2 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a = 6，c = 10，求 sin B、cos B 及 ∠A。 题型四 仰角、俯角的实际应用 典例 4数学小组在离大楼底部水平距离 24 m 的 A 处，用测角仪测得楼顶仰角为 30°，测角仪高 1.6 m，求大楼高度（结果含 √3，并取 √3 ≈ 1.73）。 变式 1 飞机在 P 处测地面控制点 A 的俯角为 30°，飞行高度 2000 m，求此时到 A 的水平距离（含 √3）。 变式 2 在塔 CD 同侧 A、B 两处测塔顶仰角分别为 45°、30°，A、B 相距 200 m，求塔高 CD（√3 ≈ 1.732）。 题型五 坡度与坡角问题 典例 5某拦水坝背水坡坡度 i = 1∶2.4，坡面 AB 长 26 m，求坡面铅直高度和水平宽度。 变式 1 坡度 i = 1∶√3 的山坡，人沿坡面前进 100 m，升高了多少米？ 变式 2 坡度 1∶2.5 的斜坡铅直上升 6 m，水平前进了多少米？ 题型六 方位角与航行问题 典例 6轮船以 20 n mile/h 向正东航行。在港口 O 测得灯塔 M 在北偏东 60° 方向，OM = 24 n mile。若不改变航向，求航线到灯塔 M 的最近距离，并判断轮船是否会进入距灯塔 10 n mile 的范围。 图 方位角航行示意 变式 1 台风中心在港口北偏东 60° 方向 30 km 处，影响半径 12 km，轮船沿正东航线是否受影响？ 题型七 测量高度与宽度 典例 7测河宽：在河岸 A 处测得对岸大树 P 恰在正北方向，沿河岸向东走 40 m 到 B 处，测得 ∠PBA = 60°，求河宽 PA（结果含 √3）。 图 测河宽（不可到达点）示意 变式 1 若上题中 ∠PBA = 55°，tan 55° ≈ 1.43，河宽 PA 约为多少米？ 题型八 与四边形、圆的综合 典例 8正方形 ABCD 边长为 4，E 是 BC 的中点，连接 AE、DE，求 tan∠BAE 与 cos∠DAE 的值。 变式 1 在方格纸中取格点 B(0,0)、A(1,3)、C(3,1)，求 tan∠ABC。 变式 2 在 ⊙O 中半径为 5，弦 AB = 6，求弦 AB 所对的圆周角的正弦值。 第四部分 全章总结 本章以"锐角三角函数"为核心工具，以"解直角三角形"为主线，最终落脚于"用三角函数解决实际问题"。全章知识结构如下： 图 第 32 章知识结构图 一、思想方法总结 数学思想 在本章的体现 建模思想 把测量、航海、堤坡等实际情境抽象为直角三角形 转化思想 斜三角形通过作高转化为直角三角形求解 数形结合 借助图形准确辨认对边、邻边再列比 特殊与一般 由特殊角值归纳一般锐角的函数关系 方程思想 仰俯角、双点测高中设未知数列方程 二、解题通法（三步法） 第一步：构造或找出直角三角形（作高、延长、补形）。 第二步：选定研究角，正确标出对边、邻边、斜边。 第三步：选择恰当的三角函数（或勾股）列式求解——"斜边找 sin/cos，对邻找 tan"，并按要求取近似值。 三、中考展望（面向 2027） 预测 2027 年中考：仰俯角测量、坡度问题、与圆或四边形综合的"背景实际应用题"仍是压轴小题高频区；纯计算题分值下降、情境化程度上升。复习应重点训练"从实际图形剥离直角三角形"的建模能力，而非机械计算。 第五部分 分层检测（A 基础 / B 提升 / C 挑战） A 组（基础） 1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 5，BC = 3，则 sin A = ______。 2. 计算：sin 30° + cos 60° = ______。 3. 若 tan A = 1，则锐角 A = ______°。 4. 把 tan 30°、sin 45°、cos 60° 按从小到大排列：______。 5. Rt△ABC 中 ∠C = 90°，AC = 8，tan A = 3/4，则 BC = ______。 6. 某坡坡度 i = 1∶1，则坡角为 ______°。 7. 一个锐角的正弦值为 1/2，则它的余弦值为 ______。 8. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，c = 2a，则 sin A = ______。 9. 计算：√2 · cos 45° + √3 · tan 30° = ______。 10. 已知锐角 A 满足 cos A = 3/5，则 tan A = ______。 B 组（提升） 1. 在离旗杆 12 m 处测得旗杆顶仰角 60°（测角仪高 1.5 m），求旗杆高（√3 ≈ 1.73）。 2. 轮船向正东航行，在 A 测灯塔 P 在北偏东 60°，航行 80 n mile 到 B 测 P 在北偏西 60°，求 B 到灯塔 P 的距离。 3. 一段河堤背水坡原坡度 i = 1∶2.4，坡高 6 m；现改为 i = 1∶3，求坡底需向外拓宽多少米。 4. 已知 α 为锐角，sin α = 3/5，求 cos α 与 tan α。 5. 计算：2 cos²45° − tan 60° · sin 60° + sin²30° + cos²30°。 6. 热气球 A 看楼顶部 B 仰角 30°、看底部 C 俯角 45°，与楼水平距离 60 m，求楼高（√3 ≈ 1.732）。 7. Rt△ABC 中 ∠C = 90°，CD 是斜边上的高，AB = 13，BC = 5，求 tan∠ACD。 8. 斜坡 AB 坡角为 30°，一物体沿斜面滚下 100 m，铅直下降了多少米？ C 组（挑战） 1. 某海岛周围 8 n mile 内有暗礁。轮船由西向东航行，在 A 测海岛在北偏东 60°，继续航行 20 n mile 到 B 测海岛在北偏东 30°。若继续东行，有无触礁危险？ 2. 在 ⊙O 中，半径为 5，弦 AB = 8，求圆心到弦 AB 的距离，并求弦 AB 所对劣弧对应圆心角的一半的正弦值。 3. 已知锐角 A、B 满足 tan A · tan B = 1，求证 A + B = 90°，并用一个具体直角三角形验证。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $