第25章 一元二次方程 综合实践与数学活动-【金牌导学案】2026-2027学年九年级上册数学课堂本课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦一元二次方程综合实践，包含“方程公共解条件探究”和“黄金分割”两大活动。先以含参数的一元二次方程引入，引导学生设公共解、联立方程推导关系，再过渡到黄金分割的定义、计算与作图验证，搭建从代数推理到几何应用的学习支架。 其亮点在于以问题驱动探究，培养数学思维与数学语言表达。活动一通过方程相加、因式分解推导参数关系，发展推理能力和抽象能力；活动二用方程求解黄金分割数并作图验证，体现几何直观与模型意识。学生能提升逻辑推理与应用能力，教师可借助结构化素材实施素养导向教学。

 金牌导学案 第二十五章 一元二次方程 综合实践与数学活动 1．阅读材料，回答问题： 探究方程有公共解的条件 已知abc≠0，关于x的三个一元二次方程 2ax2＋3bx＋5c＝0， 3bx2＋5cx＋2a＝0， 5cx2＋2ax＋3b＝0. 恰好有一个公共解．求a，b，c满足的关系式和这个公共解． 第二十五章　综合实践与数学活动 解：设这个公共解为m.由题意，得 2am2＋3bm＋5c＝0，① 3bm2＋5cm＋2a＝0，② 5cm2＋2am＋3b＝0.③ ①＋②＋③，得 （2a＋3b＋5c）m2＋（2a＋3b＋5c）m＋（2a＋3b＋5c）＝0， 即（2a＋3b＋5c）（m2＋m＋1）＝0. 第二十五章　综合实践与数学活动 ∵m2＋m＋1＞0，∴2a＋3b＋5c＝0. 由2a＋3b＋5c＝0，得2a＝－3b－5c④. 把④代入①，得（－3b－5c）m2＋3bm＋5c＝0. 整理，得（m－1）[－3bm－5c（m＋1）]＝0. ∵这三个一元二次方程恰好有一个公共解， ∴m－1＝0，则m＝1，即这个公共解是1. 第二十五章　综合实践与数学活动 根据材料解答下面问题． 已知 a≠0，关于x的三个一元二次方程 ax2＋3x＋1＝0， 3x2＋x＋a＝0， x2＋ax＋3＝0. 恰好有一个公共解． 第二十五章　综合实践与数学活动 （1）求a的值． 解：(1)设这个公共解为n.由题意，得 an2＋3n＋1＝0，① 3n2＋n＋a＝0，② n2＋an＋3＝0.③ ①＋②＋③，得 (a＋3＋1)n2＋(a＋3＋1)n＋(a＋3＋1)＝0， 即(a＋3＋1)(n2＋n＋1)＝0. ∵n2＋n＋1＞0，∴a＋3＋1＝0，解得a＝－4. 第二十五章　综合实践与数学活动 （2）求这个公共解． (2)把a＝－4代入方程，得 －4x2＋3x＋1＝0，3x2＋x－4＝0，x2－4x＋3＝0. 解这三个方程，可得公共解为x＝1. 第二十五章　综合实践与数学活动 2．公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于 较小部分与较大部分的比值． 如图1，在线段上找一个点C，C把AD分为AC和CD两段，其中AC是较小的一段．如果AC∶CD＝CD∶AD，那么称线段AD被点C黄金分割，点C叫作线段AD的黄金分割点，AC与CD的比值叫作黄金分割数. 神奇的线段分割 第二十五章　综合实践与数学活动 （1）求图1的黄金分割数． 第二十五章　综合实践与数学活动 （2）如图2，采用如下方法可以得到黄金分割点： ①设AB是已知线段，过点B作BD⊥AB且使BD＝ AB. ②连接DA，在DA上截取DE＝DB. ③在AB上截取AC＝AE，则点C即为线段AB的黄金分割点．你能说说其中的道理吗？ 第二十五章　综合实践与数学活动 第二十五章　综合实践与数学活动 感谢聆听 12 $