第二十五章 一元二次方程 小结 (课件) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了一元二次方程的概念、解法、根的判别式、根与系数关系及应用，通过知识框架将整式方程定义、一般形式、三种解法（配方法、公式法、因式分解法）及实际问题类型串联，帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于采用“考点解析-易错警示-分层训练”模式，如通过根的判别式判断方程根的情况培养推理能力，结合销售利润问题建立方程模型发展应用意识。分层设计（基础练、拓展题）满足不同学生需求，教师可精准把握学情，提升复习效率。

小结 第二十五章 一元二次方程 人教版九年级上册 一般形式： ax2 + bx + c =0(a≠0) a b c 二次项系数 一次项系数 常数项 一元二次方程 概念 是整式方程 只含一个未知数 未知数的最高次数是2 核心知识点 根 根的判别式Δ=b2−4ac Δ>0,方程有两个不等的实数根 Δ=0,方程有两个相等的实数根 Δ<0,方程无实数根 根与系数的关系 核心知识点 3 解法 因式分解法： 配方法： 公式法： 若A·B=0，则A=0或B=0 形如x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式直接开平方 一般形式的方程先配方为(mx+n)2=p(p≥0)的形式再求解 核心知识点 应用 列一元二次方程解实际问题的步骤： 审、设 列、解 验、答 几种常见类型 传播问题 单(双)循环问题 增长率问题 销售问题 数字问题 图形面积问题 核心知识点 例1 下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　） A．x2−x（x+3）=0 B．ax2+bx+c=0 C．x2−2x−3=0 D．x2−2y −1=0 解析 A.将方程化简后，为一次方程；B.未限定二次项系数a不为0；D.含有两个未知数，只有C符合一元二次方程的定义，故选C. 1.方程5x2−x−3=x2−3+x的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 . 4 −2 0 C 考点一 一元二次方程的有关概念 【练一练】 考点讲练 解析 根据一元二次方程根的定义可知将x=0代入原方程一定会使方程左右两边相等，故只要把x=0代入就可以得到以m为未知数的方程m2−1=0，解得m=±1.这里应填−1.这种题的解题方法我们称之为“有根必代”. 例2 若关于x的一元二次方程(m−1)x2+x+m2−1=0有一个根为0，则m= . 【易错提示】求出m的值有两个，分别为1和−1，由于原方程是一元二次方程，所以1不符合，应引起注意. −1 考点一 一元二次方程的有关概念 考点讲练 2. （1）一元二次方程x2+px−2=0的一个根为2，则p的值为 . （2）若x=−2是方程ax2+bx+3=0（a≠0）的一个解，则代数式1−8a+4b的值是 ． （3）若x=a是方程x2−x−1=0的一个根，则−a3+2a+2020的值为_________. −1 2019 7 考点一 一元二次方程的有关概念 【练一练】 考点讲练 解析：(1)配方法的关键是配上一次项系数一半的平方； (2)先求出方程x2﹣13x+36=0的两根，再根据三角形的三边关系，得到符合题意的边长，进而求得三角形周长． 例3 (1)用配方法解方程x2−2x−5=0时，原方程应变为（ ） A. (x−1)2=6 B.(x+2)2=9 C. (x+1)2=6 D.(x−2)2=9 (2) (易错题）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程 x2﹣13x+36=0的根，则该三角形的周长为（　） 　A.13 B.15 C.18 D.13或18 A A 考点二 解一元二次方程 考点讲练 3.解方程： (1)x2−4x −1=0 ; 考点二 解一元二次方程 【练一练】 考点讲练 (1)x2−4x−1=0 ; 考点二 解一元二次方程 考点讲练 (2)(2x−1)2=(3−x)2; 直接开方法：2x−1=±(3-x)， 即2x−1=3−x或2x−1=−3+x， 所以x1= ，x2=−2． 因式分解法：移项得(2x−1)2−(3−x)2=0. 分解因式，得(2x−1−3+x)(2x−1+3−x)=0. 即3x−4=0，或x+2=0. 所以x1= ，x2=−2． 考点二 解一元二次方程 考点讲练 拓展：(x2−2x)2−5x2+10x+6=0． 解：方程整理得(x2−2x)2−5(x2−2x)+6=0， 设x2−2x=m，则原方程变为m2−5m+6=0， 换元法 解得m1=3，m2=2， 当m=3时，x2−2x=3，解得x=3或−1， 当m=2，x2−2x=2，解得x=1± ， 所以，原方程的解为x1=3，x2=−1， x3=1+ ，x4=1− ． 考点二 解一元二次方程 考点讲练 例4 已知关于x的一元二次方程x2−3m=4x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. m<2 C. m ≥0 D. m<0 A 【易错提示】应用根的判别式之前务必将方程化为一般形式，这样能帮助我们正确确定a，b，c的值. 解析：根据方程根的情况可知，此方程的根的判别式 >0，即(-4)2−4×1×(-3m)=16+12m>0，解得 ，故选A. Δ 考点三 一元二次方程根的判别式 考点讲练 4.下列所给方程中，没有实数根的是（ ） A. x2+x=0 B. 5x2−4x−1=0 C.3x2−4x+1=0 D. 4x2−5x+2=0 5.（开放题）若关于x的一元二次方程x2−x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是　　（写出一个即可）． D 0 考点三 一元二次方程根的判别式 【练一练】 考点讲练 例5 已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝ ． 25 解析：根据根与系数的关系可知，m+n=4，mn=−3. m2－mn＋n2＝m2+n2−mn=(m+n)2−3mn=42−3×(−3)=25.故填25. 【重要变形】 考点四 一元二次方程的根与系数的关系 考点讲练 解：(1)根据题意得Δ=(2m)2−4(m2+m)≥0， 解得m≤0. 6.已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)设x1，x2是方程的两根，且 =12，求m的值． (2)根据题意得x1+x2=−2m，x1x2=m2+m， 故m的值是−2． ∴(−2m)2-2(m2+m)=12， 解得m1=−2，m2=3(不合题意，舍去)． ∵ =12，∴(x1+x2)2−2x1x2=12， 考点四 一元二次方程的根与系数的关系 【练一练】 考点讲练 例6 某班同学毕业时，都将自己的照片向本班其他同学送一张留念，全班一共送了1260张，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　） A．x(x+1)=1260 B．2x(x+1)=1260 C．x(x−1)=1260×2 D．x(x−1)=1260 D 7.有一人患了流感，假如平均一个人传染了x个人，经过两轮感染后共有121人患了流感，依题意可列方程为 ． 1+x+x（1+x）=121 考点五 一元二次方程的应用 【练一练】 考点讲练 例7 新冠肺炎疫情期间，某餐馆老板小王每日为一线抗疫医护人员免费提供3000份盒饭，各省医务人员纷纷驰援武汉之后，小王连续两次增加盒饭数量，每日提供5880份盒饭.求平均每次增加的盒饭数量的百分率. 解：设平均每次增加的盒饭数量的百分率是x， 根据题意得 3000(1+x)2=5880 解得 x1=-2.4 (舍去)， x2=0.4=40%. 答：平均每次增加的盒饭数量的百分率是40%. 考点五 一元二次方程的应用 考点讲练 例8 某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨1元，平均每天就少售出2件. (1)若公司每天的销售价为x元，则每天的销售量为多少？ (2)如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？ 考点五 一元二次方程的应用 考点讲练 解析：本题为销售中的利润问题，其基本数量关系用表析分如下：设公司每天的销售价为x元. 单件利润 销售量（件） 每天利润（元） 正常销售 涨价销售 4 32 x−20 32−2(x−24) (x−20)[32−2(x−24)] 其等量关系：总利润=单件利润×销售量. 解：(1)32−(x−24) ×2=80−2x. (2)由题意可得(x−20)(80−2x)=150. 【易错提示】根据实际情况及题目限制条件，对根进行取舍. 128 解得 x1=25， x2=35. 由题意x≤28，∴x=25，即售价应当为25元. 考点五 一元二次方程的应用 考点讲练 8.2020年，我国脱贫攻坚在力度、广度、深度和精准度上都达到了新的水平，重庆市深度贫困地区脱贫进程明显加快，作风治理和能力建设初见成效，精准扶贫、精准脱贫取得突破性进展．为助力我市脱贫攻坚，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，该村在今年1月份销售256包，2、3月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400包． 考点五 一元二次方程的应用 【练一练】 考点讲练 （1）若设2、3这两个月销售量的月平均增长率为a%，求a的值； 即a的值是25. 解： 由题意得256(1+a%)2=400， 解得a1=25，a2=−225(舍去)， 即2、3这两个月的月平均增长率为25%， 考点五 一元二次方程的应用 考点讲练 （2）若农产品礼包成本为每包25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若该农产品礼包每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？ 答：当农产品每袋降价4元时，该农产品在4月份可获利4620元． 解：设当农产品每袋降价m元时，该农产品在4月份可获利4620元． 根据题意可得(40−25−m) (400+5m)=4620， 解得m1=4，m2=−69(舍去)， 考点五 一元二次方程的应用 考点讲练 例9 某单位准备将院内一个长为30m，宽为20m的长方形空地，建成一个矩形的花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道的宽度应为多少米？（所有小道的进出口的宽度相等，且每段小道为平行四边形） 解：设小道进出口的宽为xcm， 根据题意得 (30−2x)(20−x)=532 x2−35x+34=0 解得x1=1， x2=34（舍去） 答：小道进出口的宽度应为1米. 考点五 一元二次方程的应用 考点讲练 解决有关面积问题时，除了对所学图形面积公式熟悉外，还要会将不规则图形分割或组合成规则图形，并找出各部分图形面积之间的关系，再列方程求解. （注意：这里的横竖斜小路的的宽度都相等） 平移转化 考点五 一元二次方程的应用 考点讲练 考点1 一元二次方程的有关概念 1. 将一元二次方程5x2－1＝4x化为一般形式，其中，一次项系数是（　B　） A. 5 B. －4 C. 4 D. －1 B 考点练习 2. 若关于x的方程（m－2） ＋4x－7＝0是一元二次方程，则m的值满足（　C　） A. m≠2 B. m＝±2 C. m＝－2 D. m＝2 C 3. 若关于x的一元二次方程mx2＋nx－1＝0（m≠0）的一个根是x＝1，则2m＋2n的值是 　2　. 2　 考点2 一元二次方程的解法 4. 用配方法解方程x2＋8x＋7＝0，变形正确的是（　A　） A. （x＋4）2＝9 B. （x－4）2＝9 C. （x－8）2＝16 D. （x＋8）2＝57 5. 若菱形两条对角线的长度是方程x2－4x＋3＝0的两根，则该菱形的面积为 　. A 　 （1） （x－1）2＝ ； 解：x1＝ ，x2＝－ （2） 2（x＋5）2＝x（x＋5）； 解：x1＝－10，x2＝－5 （3） （x＋1）（x＋8）＝－12； 解：x1＝－4，x2＝－5 （4） x2＋4x＝6. 解：x1＝－2＋ ，x2＝－2－ 6. 用适当的方法解下列方程： 考点3 一元二次方程根的判别式 7. [2025德阳]若关于x的一元二次方程－2x2＋4x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值是（　C　） A. 2 B. 0 C. －2 D. －4 8. [2024泰安]若关于x的一元二次方程2x2－3x＋k＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　B　） A. k＜ B. k≤ C. k≥ D. k＜－ C B 考点4 一元二次方程的根与系数的关系 9. 若m，n是一元二次方程x2＋x－2＝0的两根，则m2－n－3的值为（　A　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. [2025泸州]若一元二次方程2x2－6x－1＝0的两根为α，β，则2α2－3α＋3β的值为 　10　. A 10　 考点5 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 11. （易错题）已知关于x的方程x2－2mx＝－m2＋2x的两个实数根x1，x2满足｜x1｜＝x2，则实数m的值为 　－ 　. － 　 （1） 求a的取值范围； 解：（1） ∵ 方程有两个不等的实数根，∴ Δ＝（2a＋1）2－4（a2－1）＝4a＋5＞0.∴ a＞－ （2） 若a为满足条件的负整数，写出a的值，并求出x1＋x2的值. 解：（2） ∵ a为负整数，且a＞－ ，∴ a的值为－1.∴ x1＋x2＝－（2a＋1）＝1 12. 已知关于x的一元二次方程x2＋（2a＋1）x＋a2－1＝0有两个不相等的实数根x1，x2. 考点6 一元二次方程的应用 13. 新情境 数学文化 [2025辽宁]我国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何.”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问：它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为（　A　） A. x（60－x）＝864 B. x（x－60）＝864 C. x（60＋x）＝864 D. 2[x＋（x＋60）]＝864 A 14. 据统计，某景区的游客人数在春节假期第一天为4万，第三天为5.76万.设平均每天的增长率为x，则可列方程为 　4（1＋x）2＝5.76 4（1＋x）2＝5.76 15. 为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园ABCD（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用共18m长的篱笆围成，生态园的面积能否为40m2？如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由. （第15题） 解：生态园的面积能为40m2　∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB＝CD，AD＝BC. 设AB的长为xm，则BC的长为 m.由题意，得x· ＝40.整理，得x2－18x＋80＝0，解得x1＝10，x2＝8.∴ 生态园的面积能为40m2，AB的长为10m或8m 16. 已知关于x的方程x2＋nx＋m＝0有一个根是m（m≠0），则m＋n的值为（　A　） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 A 17. 新情境 数学文化《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短.横放，竿比门宽长4尺；竖放，竿比门高长2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等.门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，则下列方程符合题意的是（　B　） B A. （x＋2）2＋（x－4）2＝x2 B. （x－2）2＋（x－4）2＝x2 C. x2＋（x－2）2＝（x－4）2 D. （x－2）2＋x2＝（x＋4）2 18. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝3cm，动点P，Q同时出发，点P从点A出发以2cm/s的速度向点B移动，点Q从点C出发以1cm/s的速度向点D移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.若点P和点Q之间的距离是5cm，则P，Q两点出发了（　B　） B A. 4s C. s或8s （第18题） B. s或4s D. s 19. 分类讨论思想 若一元二次方程x2－9x＋20＝0的两根恰好是一个直角三角形的两边长，则这个直角三角形的第三边长为 　3或　. 20. 已知关于x的一元二次方程x2－3x＋k＝0的两个实数根为x1，x2.若x1x2＋2x1＋2x2＝1，则k＝ 　－5　. 3或 －5　 （1） 求证：该方程总有两个实数根； 解：（1） ∵ Δ＝（2－m）2－4×1×（1－m）＝m2≥0，∴ 该方程总有两个实数根 （2） 若m＜0，且该方程的两个实数根的差为3，求m的值. 解：（2） 设方程的较大的实数根为x1，较小的实数根为x2.由题意，得x1－x2＝3，x1＋x2＝m－2，x1x2＝1－m.∴ （x1－x2）2＝32，即 ＋ －2x1x2＝9.∴ （x1＋x2）2－4x1x2＝9.∴ （m－2）2－4（1－m）＝9，解得m＝3或m＝－3.∵ m＜0，∴ m＝－3 21. 已知关于x的一元二次方程x2＋（2－m）·x＋1－m＝0. 22. 某数学实践小组去超市调查某种商品的销售情况，下列是调查后三名同学给出的信息. 小阳：据调查，该商品的进价为11元/件. 小佳：当该商品定价为20元/件时，每天可售400件. 小欣：在定价为20元/件的基础上，每涨价1元/件，每天少售20件. 根据他们给出的信息，若销售的商品每天能获利3800元，为尽快减少库存，应该怎样定价更合理？ 解：设每件商品定价为x元，则每件商品的销售利润为（x－11）元.根据题意，得[400－20（x－20）]（x－11）＝3800，整理，得x2－51x＋630＝0，解得x1＝21，x2＝30.∵ 为尽快减少库存，∴ x＝21.∴ 为尽快减少库存，应该定价为每件21元更合理 实际问题 设未知数，列方程 一元二次方程 ax2 + bx + c =0 实际问题的答案 方程ax2 + bx + c =0(a≠0)的根 解方程 配方法 公式法 因式分解法 降次 检验 课堂小结 $