第25章 一题拆透 一元二次方程根的性质与综合应用-【金牌导学案】2026-2027学年九年级上册数学课堂本课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦一元二次方程根的性质与综合应用，以母题情境为基础，通过证明根的判别式、根的分布、根差及与几何结合等变式问题，构建从基础到综合的学习支架，衔接判别式、韦达定理与实际应用。 其亮点在于“一题多透”设计，融入判别式思想、方程思想等，如直角三角形勾股定理与韦达定理结合体现推理能力，菱形面积公式应用展现模型观念。学生能深化知识联系，教师可高效开展分层教学。

 金牌导学案 第二十五章 一元二次方程 一题拆透　一元二次方程根的性质与综合应用 【母题情境】 已知关于x的方程x2－（4＋3m）x＋2m2＋5m＝0. 根据该母题情境设计若干常见问题并进行分析． 1.求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根． 利用判别式证明根的存在性：（判别式思想、非负数思想） ①计算判别式Δ＝b2－4ac. ②化简得判别式Δ＝b2－4ac. ③判断判别式Δ是否大于0，即可解答． 一题拆透　一元二次方程根的性质与综合应用 证明：∵Δ＝[－(4＋3m)]2－4×1×(2m2＋5m)＝(m＋2)2＋12， 又∵(m＋2)2≥0，∴Δ＝(m＋2)2＋12>0. ∴无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根． 一题拆透　一元二次方程根的性质与综合应用 2．若方程的两根都大于0，求m的取值范围． 利用根的分布与韦达定理求参数 范围：（不等式思想、方程思想） ①两根都大于0⇒ ②代入韦达定理：x1＋x2＝－ ＝ 4＋3m，x1x2＝ ＝2m2＋5m. ③解不等式组求m的取值范围． 解：设两根分别为x1, x2，由韦达定理得x1＋x2＝4＋3m, x1x2＝2m2＋5m. ∵两根都大于 0， ∴x1＋x2>0，x1x2>0. 即 解得m>0. ∴m的取值范围是m>0. 一题拆透　一元二次方程根的性质与综合应用 3．若方程的两根之差为4，求m的值． 利用根差公式与韦达定理求参数：（代数变形思想、整体思想） ①设两根分别为x1，x2，由韦达定理得x1＋x2＝－ ＝4＋3m，x1x2＝ ＝2m2＋5m. ②利用公式（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2，代入 ＝4列方程． ③解方程求m的值． 解：设两根分别为x1, x2， ∵ ＝4，∴(x1－x2)2＝16. ∵(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2， ∴(4＋3m)2－4(2m2＋5m)＝16， 即m2＋4m＝0， 解得m＝0或m＝－4. 一题拆透　一元二次方程根的性质与综合应用 4．若该方程的两个实数根恰好是斜边长为2的直角三角形的两直角边长，求m的值． 利用韦达定理与勾股定理求参数：（方程思想、转化思想） ①设两根分别为x1，x2，由韦达定理得x1＋x2＝－ ＝4＋3m，x1x2＝ ＝2m2＋5m. ②由勾股定理得 ＝（2 ）2＝40，变形为（x1＋x2）2－2x1x2＝40. ③代入韦达定理，解方程求m的值． 一题拆透　一元二次方程根的性质与综合应用 一题拆透　一元二次方程根的性质与综合应用 5．若方程的两根恰好是菱形的两条对角线长，且菱形面积为8，求m的值． 利用韦达定理与菱形面积公式求参数：（转化思想、方程思想） ①菱形面积＝ x1x2＝8，即x1x2＝16. ②由韦达定理x1x2＝2m2＋5m＝16. ③解方程求m的值． 一题拆透　一元二次方程根的性质与综合应用 一题拆透　一元二次方程根的性质与综合应用 6．若该方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两边长，且等腰三角形的周长为12，求m的值． 利用韦达定理与等腰三角形分类讨论求参数：（分类讨论思想、方程思想） ①设两根分别为x1，x2，由韦达定理得x1＋x2＝－ ＝4＋3m，x1x2＝ ＝2m2＋5m. ②分两类：x1＝x2（等边情况）、x1≠x2（其中一边为腰）. ③结合周长为12列方程求解，验证三角形三边关系． 一题拆透　一元二次方程根的性质与综合应用 一题拆透　一元二次方程根的性质与综合应用 感谢聆听 12 $