第25章 第7课时 实际问题与一元二次方程(1)-【金牌导学案】2026-2027学年九年级上册数学课堂本课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦“实际问题与一元二次方程(1)”，通过直角三角形、长方形面积实例导入，建立方程模型作为学习支架，衔接几何图形面积公式与方程应用的知识脉络。 其亮点在于分层设计（知识导学-课堂讲练-分层检测），结合几何直观（如矩形花园、道路面积问题）、推理意识（列解方程过程）和模型意识（用方程表达数量关系），帮助学生发展数学思维，教师可实施分层教学提升效率。

 第二十五章 金牌导学案 一元二次方程 金牌导学案 金牌导学案 第7课时　实际问题与一元二次方程(1) 2 课堂讲练 1 知识导学 3 分层检测 1.一个直角三角形的两条直角边长的和是10 cm，其中一条直角边长为 x cm，这个直角三角形的面积是　　　　　　　 cm2. 2．一个长方形的长是a m，宽比长短2 m，这个长方形的面积是 　　　　　　　 m2. a(a－2) 知识导学 第7课时　实际问题与一元二次方程(1) 根据题意，先找到数字间的关系，再建立方程求解． 数字问题 1．已知两个数的和等于12，积等于32，设这两个数中一个数为x，则可列方程为　　　　　　　　　　． 2．两个相邻的自然数的积是240，则这两个相邻自然数中较大的数是　　　　　． x(12－x)＝32 16 课堂讲练 第7课时　实际问题与一元二次方程(1) （1）规则图形：利用规则图形的面积间的关系建立方程求解． （2）不规则图形：先采用割补、平移或旋转等方法，将不规则图形转化为规则图形，再根据面积间的关系建立方程求解． 面积问题 课堂讲练 第7课时　实际问题与一元二次方程(1) 3．一个长方形的长比宽多3 cm，面积是4 cm2，这个长方形的长和宽分别为多少厘米？ 解：设这个长方形的宽为x cm. 由题意得x(x＋3)＝4，解得x1＝1，x2＝－4(舍去). 当x＝1时，长为x＋3＝4. 答：这个长方形的长为4 cm，宽为1 cm. 课堂讲练 第7课时　实际问题与一元二次方程(1) 4．一个直角三角形的两条直角边长的和是14 cm，面积是24 cm2，两条直角边的长度分别为多少厘米？ 解：设一条直角边长为x cm. 由题意得 x(14－x)＝24，解得x1＝6，x2＝8. 答：两条直角边的长度分别为6 cm，8 cm. 课堂讲练 第7课时　实际问题与一元二次方程(1) 5．如图，某课外活动小组利用一面墙（墙足够长），另三边用36 m 长的篱笆围成一个面积为160 m2的矩形花园ABCD，则AB的长为多少米？ 解：设AB的长为x m. 由题意得x(36－2x)＝160，解得x1＝8，x2＝10. 答：AB的长为8 m或10 m. 课堂讲练 第7课时　实际问题与一元二次方程(1) 6．如图，用长为36 m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为19 m）围成一个长方形花圃ABCD，并在BC边上留有一扇2 m宽的门．若围成的花圃面积为180 m2，则AB的长是多少米？ 解：设AB的长是x m. 由题意得x(36－2x＋2)＝180，解得x1＝10，x2＝9. 当x＝10时，BC＝36－2x＋2＝18； 当x＝9时，BC＝36－2x＋2＝20＞19(舍去). 答：AB的长是10 m. 课堂讲练 第7课时　实际问题与一元二次方程(1) 7．如图，在宽为20 m、长为30 m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551 m2，则修建的道路宽应为多少米？ 解：设修建的道路宽应为x m. 由题意得(20－x)(30－x)＝551. 整理得x2－50x＋49＝0，解得x1＝1，x2＝49(舍去). 答：修建的道路宽应为1 m. 课堂讲练 第7课时　实际问题与一元二次方程(1) 8．如图，在宽为20 m 、长为32 m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田，假设试验田的面积为570 m2，道路的宽为多少米？ 解：设道路的宽为x m. 由题意得(32－2x)(20－x)＝570， 解得x1＝1，x2＝35(舍去). 答：道路的宽应为1 m. 课堂讲练 第7课时　实际问题与一元二次方程(1) 1．如图，把一块长为40 cm、宽为20 cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为576 cm2，求剪去小正方形的边长． 解：由题意得(40－2x)(20－2x)＝576. 整理得x2－30x＋56＝0，解得x1＝2，x2＝28(舍去). 答：剪去小正方形的边长为2 cm. 分层检测 第7课时　实际问题与一元二次方程(1) 2．如图，在长为16 m、宽为10 m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为整个矩形面积的 ，则道路的宽为多少米？ 解：设道路的宽为x m. 由题意得(16－x)(10－x)＝ ×16×10， 解得x1＝2，x2＝24(舍去). 答：道路的宽为2 m. 分层检测 第7课时　实际问题与一元二次方程(1) 3．【问题情境】任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，使它的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半？ （1）【独立思考】当矩形A的相邻两边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的（请补全小亮同学的研究过程）： 分层检测 第7课时　实际问题与一元二次方程(1) 由题意可得方程组 消去y，得2x2－7x＋6＝0. ∵Δ＝49－48＝1>0， ∴x1＝　　 　　，x2＝　　 　　． ∴存在另一矩形B，使它的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半． 设矩形B的相邻两边长分别是x和y. 2 分层检测 第7课时　实际问题与一元二次方程(1) （2）【拓展探究】 ①如果矩形A的相邻两边长分别为2和1，那么请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B. 解：(2)①设所求矩形的两边长分别是x和y， 由题意得 消去y，得2x2－3x＋2＝0， ∵Δ＝9－16<0，∴不存在矩形B. 分层检测 第7课时　实际问题与一元二次方程(1) ②如果矩形A的相邻两边长分别为m和n，那么请你研究当m，n满足什么条件时，矩形B存在，并说明理由． ②当(m＋n)2－8mn≥0时，矩形B存在． 理由如下：设所求矩形的两边长分别为x，y， 由题意得 消去y，得2x2－(m＋n)x＋mn＝0, Δ＝[－(m＋n)]2－8mn，当(m＋n)2－8mn≥0时，满足要求的矩形B存在． 分层检测 第7课时　实际问题与一元二次方程(1) 感谢聆听 18 $